Auto a konstantní brzdná síla

Úloha číslo: 44

Auto o hmotnosti m se pohybuje po vodorovné silnici rovnoměrně přímočaře rychlostí o velikosti v0. V čase t = 0 s na něj začala působit proti směru pohybu konstantní brzdná síla Fb. Předpokládejte, že v čase t = 0 s byla souřadnice x = 0 m.

1) Určete, jak se s časem mění velikost rychlosti v(t) a souřadnice auta x(t).

2) Určete čas tz, za který se auto zastaví, a dráhu xz, kterou přitom urazí.

Obrázek k zadání úlohy

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

  • Zápis

    m hmotnost auta
    v0 počáteční rychlost auta
    Fb konstantní brzdná síla
    v(t) = ? průběh rychlosti auta
    x(t) = ? průběh souřadnice auta
    tz = ? čas zastavení auta
    xz = ? dráha zastavení auta
  • Nápověda 1 - síly působící na auto, pohybová rovnice

    Uvědomte si, jaké síly působí na auto, a napište pro něj pohybovou rovnici.

  • Nápověda 2 - zrychlení auta, průběh v(t), x(t)

    Vyjádřete zrychlení auta a zjistěte nejprve průběh rychlosti a poté průběh souřadnice.

  • Nápověda 3 - čas a dráha zastavení

    Uvědomte si, jaká bude rychlost v okamžiku zastavení, a využijte tento údaj k určení času zastavení. Znáte-li průběh x(t) a čas zastavení, dráhu zastavení již snadno určíte.

  • Poznámka

    Dráha zastavení by se dala určit i ze zákona zachování energie.

    Počáteční kinetická energie auta je rovna práci brzdné síly působící na dráze zastavení.

    \[\frac{mv_0^2}{2}\,=\,F_bx_z.\]

    Odtud:

    \[x_z\,=\,\frac{mv_0^2}{2F_b}.\]
  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Nejprve si rozmyslíme, jaké síly působí na auto a napíšeme pro něj pohybovou rovnici.

    Na auto působí následující síly:

    \(\vec{F}_{b}\)…brzdná síla

    \(\vec{F}_{G}\)…tíhová síla

    \(\vec{N}\)…normálová síla, kterou na auto působí podložka

    Síly působící na auto

    Poznámka: Síla podložky N působí na kola auta, do obrázku kreslíme výslednici těchto sil.

    Pohybová rovnice pro auto je:

    \[\vec{F}_{b}+\vec{F}_{G}+\vec{N}= m\vec{a}.\tag{1}\]

    Rovnici (1) přepíšeme skalárně:

    \[ x : -F_b \,=\, ma,\tag{2}\] \[ y : N - F_G \,=\, 0.\tag{3}\]

    Poznámka: Z obrázku můžete vidět, proč je v rovnici (2) znaménko mínus. Brzdná síla působí proti směru pohybu auta. Síly \(\vec{F}_{G}\) a \(\vec{N}\) jsou kolmé na brzdnou sílu \(\vec{F}_{b}\), jsou stejně veliké opačného směru a jejich výslednice je nulová, zrychlení je ve směru osy y nulové

    Zrychlení auta:

    Ze vztahu (2) pro zrychlení dostáváme:

    \[a \,=\,-\frac{F_{b}}{m}.\tag{4}\]

    Zrychlení auta je konstantní. Jelikož auto vlivem brzdné síly Fb zpomaluje, zrychlení je záporné.

    Průběh v(t):

    Integrací zrychlení ze vztahu (4) získáme závislost rychlosti na čase:

    \[v(t)=\int{a}\,\mathrm{d}t\,=\,\int{-\frac{F_{b}}{m}}\,\mathrm{d}t\,=\,-{\frac{F_{b}}{m}}t+K,\tag{5}\]

    K je konstanta, kterou určíme z počátečních podmínek:

    V čase t = 0 s byla rychlost v = v0. Dosadíme-li t = 0 s do vztahu (5), pak musí platit:

    v0 = 0 + K

    A tedy:

    v0 = K

    Přepíšeme-li rovnici (5), získáme závislost rychlosti auta na čase:

    \[v(t)=-{\frac{F_{b}}{m}}t+v_0.\tag{6}\]

    Průběh x(t):

    Integrací rychlosti ze vztahu (6) získáme závislost souřadnice na čase:

    \[x(t)\,=\,\int{v(t)}\,\mathrm{d}t\,=\,\int{(-\frac{F_{b}}{m}}t+v_0)\,\mathrm{d}t\,=\,-{\frac{F_{b}}{2m}}t^2+v_0t+C,\tag{7}\]

    C je konstanta, kterou určíme z počátečních podmínek:

    V čase t = 0 s byla souřadnice x = 0. Dosadíme-li t = 0 s do vztahu (7), pak musí platit:

    0 = 0 + C

    A tedy:

    C = 0

    Přepíšeme-li rovnici (7), získáme závislost souřadnice auta na čase:

    \[x\left(t\right)\,=\,-{\frac{F_{b}}{2m}}t^2+v_0t.\tag{8}\]

    Čas zastavení tz:

    V okamžiku zastavení bude rychlost nulová. Dosazením do vztahu (6) tak pro čas zastavení dostaneme:

    \[0\,=\,-{\frac{F_{b}}{m}}t_z+v_0.\]

    Odtud:

    \[t_z\,=\,\frac{mv_0}{F_{b}}.\tag{9}\]

    Dráha zastavení xz:

    Dráhu zastavení dostaneme dosazením vztahu (9) pro čas zastavení do vztahu pro závislost souřadnice na čase (8):

    \[x_z\,=\,-{\frac{F_{b}}{2m}}t_z^2+v_0t_z \,=\,-{\frac{F_{b}}{2m}}\left(\frac{mv_0}{F_{b}}\right)^2+v_0\left(\frac{mv_0}{F_{b}}\right),\] \[x_z\,=\,\frac{mv_0^2}{2F_{b}}.\tag{10}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Průběh velikosti rychlosti auta je \(v\left(t\right)\,=\,-{\frac{F_{b}}{m}}t+v_0\).

    Průběh souřadnice auta je \(x\left(t\right)\,=\,-{\frac{F_{b}}{2m}}t^2+v_0t\).

    Čas zastavení auta je \(t_z\,=\,\frac{mv_0}{F_{b}}\).

    Dráha zastavení auta je \(x_z\,=\,\frac{mv_0^2}{2F_{b}}\).

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze