Závaží na laně

Úloha číslo: 521

Závaží B hmotnosti 10 kg je uvázáno na laně, jak ukazuje obrázek. Vzdálenost AB je konstantní. Jak těžké závaží P je potřeba zvolit, aby α = 45°, β = 60°? Jak velké bude v tomto případě namáhání lana AB?
zadání 521
  • Zápis

    mb = 10 kg hmotnost závaží B
    α = 45° požadovaný úhel svíraný lanem AB se svislicí
    β = 60° požadovaný úhel svíraný lanem mezi bodem B a kladkou se svislicí
    mp =? (kg) hmotnost závaží P
    Fa =? (N) namáhání lana AB
  • Nápověda 1

    Nakreslete si do obrázku všechny síly působící na závaží B a na závaží P. Co musí platit pro jejich výslednice?
  • Nápověda 2

    Zvolte vhodně soustavu souřadnic a přepište rovnice (1) a (2) skalárně. Ze získaných rovnic vyjádřete hledané veličiny.

  • Celkové řešení

    Do obrázku nakreslíme všechny síly působící na závaží B a na závaží P a zvolíme soustavu souřadnic.

    Popis obrázku

    Závaží P:

    • \(\vec{F}_{Gp}\) .......tíhová síla (FGp = mpg)

    • \(\vec{F}_{p}\).......síla, kterou táhne lano

    Závaží B:

    • \(\vec{F}_{Gb}\) .......tíhová síla (FGb = mbg)

    • \(\vec{F^,}_{p}\) ....... síla, kterou táhne lano, na kterém je závaží P

      (kladka je v klidu, takže pro velikost sil \(\vec{F}_{p}\) a \(\vec{F^,}_{p}\) platí, že Fp = F´p, závaží P táhne prostřednictvím lana za závaží B a naopak)

    • \(\vec{F}_{a}\) ....... síla, kterou táhne lano upevněné na stěně

    Obě závaží jsou v klidu, takže musí platit, že výslednice sil, které na ně působí, jsou rovny nulovému vektoru.

    Závaží P:

    \[\vec{F}_{Gp}+\vec{F}_{p}=\vec{0}\,.\tag{1}\]

    Závaží B:

    \[\vec{F}_{Gb}+\vec{F'}_{p}+\vec{F}_{a}=\vec{0}\,.\tag{2}\]

    Rovnice (1), (2) přepíšeme skalárně:

    Závaží P:

    \[{F}_{p}=F_{Gp}=m_pg\,.\]

    Závaží B:

    \[x:\hspace{60px}F_p\sin\beta-F_a\sin\alpha=0,\tag{3}\]

    \[y:\hspace{10px}F_a\cos\alpha+F_p\cos\beta-F_{Gb}=0.\tag{4}\]

    Z rovnice (3):

    \[F_a = F_p \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\,.\tag{5}\]

    Dosadíme do rovnice (4):

    \[F_p \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} \cos \alpha + F_p \cos \beta = F_{Gb}\,.\]

    A upravíme:

    \[F_p\frac{\sin\beta\cos\alpha+\sin\alpha\cos \beta}{\sin \alpha} = F_{Gb}\,.\]

    S použitím vztahu pro sinus součtu úhlů:

    \[F_p\sin(\alpha+\beta)=F_{Gb}\sin\alpha\,,\] \[F_p=F_{Gb}\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\,.\]

    Tedy:

    \[gm_p=gm_b\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\,,\] \[m_p=m_b\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\,.\]

    Dosadíme získané Fp do rovnice (5):

    \[F_a = F_{Gb} \frac{\sin \alpha}{\sin (\alpha + \beta)} \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}\,,\] \[F_a = F_{Gb} \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}\,,\] \[F_a = gm_{b} \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)}\,.\]

    Dosadíme zadané hodnoty:

    α, β, mb:

    \[m_p=10\frac {\sin45^\circ}{\sin(45^\circ+60^\circ)}\,\mathrm{kg}\dot{=}7{,}3 \,\mathrm{kg}\,,\] \[F_a=10{\cdot}10\frac {\sin60^\circ}{\sin(45^\circ+60^\circ)}\,\mathrm{N} \dot{=} 90 \,\mathrm{N}\,.\]
  • Odpověď

    Hledaná hmotnost závaží P je rovna:

    \[m_p=m_b\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\,.\]

    Namáhání lana AB je rovno:

    \[F_a = gm_{b} \frac{\sin \beta}{\sin (\alpha + \beta)} \,.\]

    Číselně:

    \[m_p \dot{=}7{,}3 \,\mathrm{kg}\,,\] \[F_a \dot{=} 90 \,\mathrm{N}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze