Těžiště homogenního rotačního kužele

Úloha číslo: 1127

Určete polohu těžiště přímého homogenního rotačního kužele o poloměru podstavy R a výšce v.

  • Nápověda 1

    Zamyslete se nad tím, co vlastně znamená úkol „určete polohu těžiště“. Co má být výstupem úlohy, co vlastně určujete?

  • Nápověda 2

    Vhodně umístěte kužel do souřadného systému. Lze jeho polohu zvolit tak, aby se další výpočty zjednodušily? (Nelze vybrat souřadný systém takovým způsobem, aby některé souřadnice nebylo nutné vůbec počítat?)

  • Nápověda 3

    Jak je obecně definován vztah pro výpočet polohového vektoru rT, který určuje polohu těžiště?

  • Nápověda 4

    Kužel v zadání úlohy výše je homogenní. Využijte toho k tomu, abyste od hmotnostních elementů ve vztahu (1) přešli k elementům objemovým.

  • Nápověda 5

    Jak se změní vztah (2), pokud se budeme (dle počáteční úvahy) zabývat pouze z-ovou souřadnicí těžiště zT?

  • Nápověda 6

    Integrál ve vztahu (3) je trojný a jako takový ho lze řešit (viz. Alternativní řešení). Vhodnou volbou objemového elementu dV lze ale tento integrál převést na jednorozměrný. Kužel rozdělíme vodorovnými řezy na „placky“ o výšce dz a proměnném poloměru podstavy r - při malé výšce dz je můžeme považovat za válečky. Nakreslete si obrázek takto rozděleného kužele ve svislém řezu a vyjádřete z něj objemový element dV pouze pomocí proměnné z a konstant (R, v). Užitečná pro vás bude například podobnost trojúhelníků.

  • Nápověda 7

    Nyní již doplňte ve vztahu (6) pouze integrační meze a integrál dopočítejte.

  • Celkové řešení

    Určit polohu těžiště znamená určit souřadnice těžiště v nějakém vhodně zvoleném souřadném systému. Výstupem jsou tři souřadnice těžiště T: xT, yT, zT.

    Velmi výhodné umístění kužele do souřadného systému ukazuje obrázek níže. Kruhová podstava kužele leží v rovině xy, osa z je na tuto rovinu kolmá a prochází středem podstavy i vrcholem kužele.

    Umístění kužele do souřadného systému

    Protože takto umístěný útvar je rotačně symetrický kolem osy z, musí jeho těžiště ležet na této ose – libovolný bod na ose z má ovšem nulovou x-ovou i y-ovou souřadnici, tedy ihned můžeme psát:

    \[x_T\,=\,y_T\,=\,0.\]

    Dále stačí vypočítat pouze z-ovou souřadnici těžiště zT.

    Polohový vektor rT určující polohu těžiště daného objektu lze určit jako:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dm}{{\int}dm}.\tag{1}\]

    Element hmotnosti dm lze pro homogenní kužel rozepsat jako součin:

    \[dm\,=\,{\rho}dV,\]

    kde ρ je hustota materiálu a dV je element objemu. Pak platí:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{{\rho}\int{\vec{r}}dV}{{\rho}{\int}dV}\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dV}{{\int}dV}.\]

    Výraz ve jmenovateli představuje vysčítání všech objemových elementů, kterými je kužel tvořen – dostáváme zde tedy celkový objem kužele V:

    \[\vec{r}_T\,=\,\frac{\int{\vec{r}}dV}{V}.\tag{2}\]

    Protože souřadnice polohového vektoru rT se ve vztazích (1) i (2) počítají po složkách, lze jednoduše pro z-ovou souřadnici psát:

    \[z_T\,=\,\frac{\int{z}dV}{V}.\tag{3}\]

    Pro převedení trojného integrálu ve vztahu (3) na integrál jednorozměrný si celý kužel rozdělíme vodorovnými řezy na soustavu „skoro“ válečků výšky dz a proměnného poloměru podstavy r (viz obrázek).

    Geometrie objemového integračního elementu
    Z obrázku výše je patrné, že pro dostatečně malá dz platí:

    \[dV\,=\,{\pi}r^2dz.\tag{4}\]

    Přitom z podobnosti trojúhelníků VSA a VCD platí:

    \[\frac{r}{R}\,=\,\frac{v\,-\,z}{v}\,\Rightarrow\,r\,=\,R\frac{v\,-\,z}{v}.\tag{5}\]

    Dosazením z rovnic (4) a (5) do vztahu (3) dostáváme:

    \[z_T\,=\,\frac{\int{z}{\pi}(R\frac{v\,-\,z}{v})^2dz}{V}.\]

    Doplnit můžeme ještě objem kužele V, který je V = πR2v/3:

    \[z_T\,=\,\frac{3\int{z}{\pi}(R\frac{v\,-\,z}{v})^2dz}{{\pi}R^2v}\,=\,\frac{3}{v^3}\int{z(v-z)^2dz}.\tag{6}\]

    Abychom vyčerpali celý objem kužele, budeme integrovat od z = 0 do z = v:

    \[z_T\,=\,\frac{3}{v^3}\int_0^v{z(v^2\,-\,2vz\,+\,z^2)dz}\,=\,\frac{3}{v^3}\int_0^v{(zv^2\,-\,2vz^2\,+\,z^3)dz},\] \[z_T\,=\,\frac{3}{v^3}[\frac{1}{2}z^2v^2\,-\,\frac{2}{3}vz^3\,+\,\frac{1}{4}z^4]_0^v\,=\,\frac{3}{v^3}(\frac{1}{2}v^4\,-\,\frac{2}{3}v^4\,+\,\frac{1}{4}z^4),\] \[z_T\,=\,\frac{3}{v^3}{\cdot}\frac{1}{12}v^4\,=\,\frac{v}{4}.\]

    Těžiště kužele má tedy z-ovou souřadnici zT = v/4.

  • Alternativní řešení

    Ukážeme si ještě jiné možné řešení úlohy, spočívající v jiném matematickém přístupu. Úvodní úvahy jsou zcela stejné jako ve výše uvedeném postupu, liší se ale výpočet integrálu ve vztahu (3).

    Tento trojný integrál si přepíšeme do válcových (cylindrických) souřadnic, jejichž počátek je identický s počátkem našeho kartézského systému. Připomeňme si převod kartézských souřadnic na válcové:

    \[x\,=\,r\cos{\varphi},\] \[y\,=\,r\sin{\varphi},\] \[z\,=\,z.\tag{7}\]

    Protože v integrálu ve vztahu (3) se objevuje pouze proměnná z, využijeme pouze poslední ze vztahů výše, který navíc tvar integrálu nemění.

    Dále rozepíšeme objemový element dV ve válcových souřadnicích: \[dV\,=\,rdrdzd{\varphi}.\tag{8}\]

    Jde vpodstatě o plošný element v polárních souřadnicích (viz alternativní řešení úlohy Těžiště čtvrtkruhu), přenásobený „výškou“ dz.

    Vztahy (7) a (8) dosadíme do rovnice (3), stejně jako objem kužele V:

    \[z_T\,=\,\frac{\int{zdV}}{V}\,=\,\frac{\int\int\int{zrdrdzd\varphi}}{\frac{{\pi}R^2v}{3}}\,=\,\frac{3}{{\pi}R^2v}\int\int\int{zrdrdzd\varphi}.\]

    Zvýšenou pozornost budeme věnovat určení integračních mezí. Nejsnadnější situace je v proměnné φ, kde budeme integrovat od φ = 0 do φ = 2π. To je logické, potřebujeme obsáhnout těleso vzniklé rotací, musíme tedy integrovat přes všechny úhly.

    V proměnné z je situace také jasná, budeme integrovat od z = 0 do z = v, abychom vyčerpali celou výšku kužele.

    Pozor si ovšem musíme dát v proměnné r. Aktuální r (tedy vlastně aktuální vzdálenost od osy z) se totiž podle vztahu (5) mění v závislosti na z - musíme tedy integrovat nejdříve podle r a teprve poté podle z (jinak je pořadí integrace libovolné). V proměnné r budou mezemi r = 0 a r = (v-z)R/v (dle vztahu (5). Tuto druhou integrační mez označíme pro přehlednost jako r0.

    Nyní sepíšeme výše uvedené poznatky do výsledného integrálu:

    \[z_T\,=\,\frac{3}{{\pi}R^2v}\int_0^{2\pi}{d\varphi}\int_0^v(\int_0^{r_0}{zrdr)dz}\,=\,\frac{3{\cdot}2{\pi}}{{\pi}R^2v}\int_0^v{[\frac{1}{2}zr^2]_0^{r_0}}dz,\] \[z_T\,=\,\frac{3}{R^2v}\int_0^v{(zr_0^2)}dz\,=\,\frac{3}{R^2v}\int_0^v{z{\cdot}(\frac{R^2(v\,-\,z)^2}{v^2})}dz,\] \[z_T\,=\,\frac{3}{v^3}\int_0^v{z(v\,-\,z)^2}dz.\]

    Tím jsme ale integrál převedli na tvar uvedený v původním postupu ve vztahu (6), také integrační meze jsou stejné - alternativní výpočet tedy dává stejný výsledek.

  • Odpověď

    Souřadnice těžiště homogenního přímého kužele v námi zvoleném souřadném systému jsou:

    \[x_T\,=\,0,\] \[y_T\,=\,0,\] \[z_T\,=\,\frac{v}{4}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze