Výška družice

Úloha číslo: 204

Vypočítejte, v jaké výšce nad rovníkem se pohybuje geostacionární družice (tj. družice, která se pohybuje stále nad stejným místem Země).

Řešte z pohledu inerciální i neinerciální vztažné soustavy.

  • Zápis

    T = 24 h perioda rotace Země kolem své osy

    Z tabulek:

    κ = 6,67·10−11 N m2 kg−2 gravitační konstanta
    M = 5,97·1024 kg hmotnost Země
    R = 6378 km poloměr Země
  • Nápověda 1 – řešení z pohledu inerciální soustavy

    Rozmyslete si, které síly působí na družici a co způsobují.

  • Nápověda 2

    Napište si Newtonův gravitační zákon a vztah pro dostředivou sílu.

  • Nápověda 3

    Rozmyslete si, jakou musí mít družice rychlost, aby byla geostacionární.

  • Nápověda 4

    Pomocí vztahů (1) a (2) vyjádřete hledanou výšku.

  • Nápověda 5 – řešení z pohledu neinerciální vztažné soustavy

    Rozmyslete si, jaké síly na družici působí a jaká je jejich výslednice.

  • Celkové řešení

    Napřed se na tuto úlohu budeme dívat z hlediska inerciálního systému.

    Obrázek družice

    V tomto systému je gravitační síla působící na družici silou dostředivou, která zakřivuje dráhu družice, proto:

    \[F_{g}\,=\,F_{d}.\]

    Protože ve výšce, kde létá družice, už hodnota g nebude rovna 9,81 m s−1, budeme gravitační sílu počítat podle Newtonova gravitačního zákona a na pravou stranu dosadíme vztah pro dostředivou sílu

    \[\kappa\frac{mM}{(R+h)^{2}}\,=\,m\frac{v^{2}}{R+h}\, ,\]

    kde m je hmotnost družice, M je hmotnost Země, v je obvodová rychlost oběhu družice, R je poloměr Země a h výška družice nad povrchem Země. Nyní ještě musíme určit rychlost v.

    Družice je geostacionární, tedy musí obíhat se stejnou úhlovou rychlostí, kterou rotuje Země. Perioda jejího oběhu musí být také stejná tedy 24 hodin.

    Obvodová rychlost družice tedy je

    \[v = \omega \left( R+h \right) = \frac{2\pi}{T}\left( R+h \right) ,\]

    kde T je perioda oběhu.

    Po dosazení rychlosti do předchozího vztahu dostaneme výraz, ze kterého postupnými úpravami vyjádříme h:

    \[\kappa\frac{mM}{\left( R+h \right)^{2}} = \frac{4\pi^{2}m\left( R+h\right)}{T^{2}}\, \Rightarrow \, \frac{\kappa MT^{2}}{4\pi^{2}} = \left( R+h \right)^{3}.\]

     

    Výsledný vztah pro h je

    \[h = \sqrt[3]{\kappa\frac{MT^{2}}{4\pi^{2}}}-R.\]

     

    Z pohledu neinerciální vztažné soustavy otáčející se spolu s družicí je družice v klidu.

    Působí na ni gravitační síla a setrvačná odstředivá síla, jejich výslednice je nulová.

    Působící síly
    \[\vec{F}_{g}\,+\,\vec{F}_{od}\,=\,\vec{o}\]

    Pro velikost sil platí:

    \[F_{g} - F_{od} = 0,\]

    tedy

    \[F_{g} = F_{od}, \] \[F_{g} = \kappa\frac{mM}{\left( R+h\right)^{2}}.\]

    Velikost setrvačné odstředivé síly je stejná jako velikost dostředivé síly.

    \[F_{od} = m\frac{v^{2}}{R+h}\]

    Dostáváme tedy:

    \[\kappa\frac{mM}{\left( R+h\right)^{2}} = m\frac{v^{2}}{R+h}.\]

    Dále je řešení stejné jako v předchozí části.

  • Číselné dosazení

    \[h = \sqrt[3]{\kappa\frac{MT^{2}}{4\pi^{2}}}-R = (\sqrt[3]{6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\cdot\,\frac{5{,}97{\cdot}10^{24}\,\cdot\, \left( 86{,}4{\cdot}10^{3} \right) ^{2}}{4\pi^{2}}}-\] \[-6378{\cdot}10^{3}) \,\mathrm{m} \dot{=} 36{\cdot}10^{6}\,\mathrm{m} = 36\, 000\,\mathrm{km} \]
  • Odpověď

    Výška družice: \[h\,=\,\sqrt[3]{\kappa\frac{MT^{2}}{4\pi^{2}}}-R.\]

    Výška družice nad povrchem Země je přibližně 36 000 km.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze