Třecí síla a smyk v zatáčce

Úloha číslo: 230

a) Třecí síla v zatáčce

Jak velká je třecí síla mezi silnicí a pneumatikami dodávky o hmotnosti 2000 kg, která projíždí zatáčkou o poloměru 100 m? Rychlost dodávky je 72 km·h−1. Dodávka nedostala smyk.

b) Smyk v zatáčce

Jakou rychlostí jela dodávka, jestliže v zatáčce o poloměru 100 m dostala smyk? Koeficient klidového tření je 0,35. Hmotnost dodávky je 2000 kg.

Úlohu řešte z pohledu inerciálního pozorovatele spojeného se silnicí i neinerciálního pozorovatele spojeného s dodávkou.

  • Zápis

    m = 2000 kg hmotnost dodávky
    R = 100 m poloměr zatáčky
    v1 = 72 km·h−1 = 20 m·s−1 rychlost dodávky
    f = 0,35 koeficient klidového tření mezi silnicí a pneumatikami
    Ft = ? třecí síla mezi silnicí a pneumatikami (bez smyku)
    v2 = ? rychlost dodávky, při které dostane smyk
  • Nápověda 1a) – třecí síla z hlediska inerciálního systému

    Rozmyslete si, jaké síly působí na auto v zatáčce vzhledem k inerciálnímu systému (spojenému se silnicí).

  • Nápověda 2a) – třecí síla z hlediska inerciálního systému

    Vyjádřete velikost dostředivé síly při dané rychlosti auta.

  • Nápověda 3a) – smyk z hlediska inerciálního systému

    Rozmyslete si, jaké maximální hodnoty může dosáhnout klidová třecí síla. V jakém okamžiku se auto již v zatáčce neudrží a dostane smyk? Jaká bude hraniční rychlost, při které to nastane?

  • Nápověda 4 b)– třecí síla z hlediska neinerciálního systému

    Rozmyslete si, jaké síly působí na auto v zatáčce vzhledem k neinerciálnímu systému spojenému s autem. Co platí pro výslednici sil v tomto systému?

  • Nápověda 5b) – smyk z hlediska neinerciálního systému

    Velikost maximální klidové třecí síly znáte z Nápovědy 3a). Jaká bude hraniční podmínka pro to, aby se auto ještě v zatáčce udrželo a nedostalo smyk? Při jak velké rychlosti to nastane?

  • Celkové řešení

    Tuto úlohu lze řešit z hlediska inerciálního nebo neinerciálního vztažného systému.


    1. Z hlediska inerciálního vztažného systému

    a) Třecí síla v zatáčce

    Na auto v zatáčce z pohledu inerciálního systému spojeného se silnicí působí svisle dolů tíhová síla a v opačném směru do něj tlačí vozovka. Síly jsou stejně velké a jejich výslednice je nula. Na auto dále působí třecí síla Ft (klidová – auto se nesmýká), díky níž auto zatočí. Třecí síla uděluje autu příslušné dostředivé zrychlení a je pro něj současně silou dostředivou.

     
    Obrázek k řešení úlohy

    Velikost dostředivé síly je rovna:

    \[F_{\mathrm{do}} = F_t\,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]

    Číselně:

    \[F_t\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\]

    Aby se auto udrželo při dané rychlosti v zatáčce a nezačalo se pohybovat jinak než po kružnici, musí být třecí síla rovna 8000 N.

      b) Smyk v zatáčce

    Ke zjištění rychlosti, při které dojde ke smyku, potřebujeme zjistit maximální hodnotu klidové třecí síly. Platí pro ni:

    \[F_{tmax} = fF_N=fmg,\]

    kde FN je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

    Jestliže bude rychlost auta taková, že dostředivá síla potřebná k zatočení auta přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

     

    Kritická podmínka je tedy:

    \[F_{tmax} = fmg = m\frac{v_{max}^{2}}{R}.\]

    Odtud:

    \[v_{max}^{2} = fgR,\] \[v_{max} = \sqrt{Rgf}.\]

    Číselně:

    \[v_{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]  

    Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.


    2.Z hlediska neinerciálního vztažného systému

      a) Třecí síla v zatáčce

    Auto je vzhledem k neinerciálnímu systému spojenému s autem v klidu, výslednice sil, které na auto působí, musí být tedy nulová.

    Na auto působí jednak stejné síly jako v inerciálním systému, tedy ve svislém směru tíhová síla a tlaková síla silnice, jejichž výslednice je nulová, a třecí síla Ft. Kromě nich působí ještě setrvačná odstředivá síla Fod.

     
    Obrázek k řešení úlohy

    Má-li být výslednice sil nulová, musí platit:

    \[F_t = F_{od} \,=\,m\frac{v_1^{2}}{R}.\]

    Číselně:

    \[F_t\,=\,2000\,\cdot\,\frac{20^{2}}{100}\,\mathrm{N}\,=\,8000\,\mathrm{N}.\]   b) Smyk v zatáčce

    Maximální hodnota klidové třecí síly je rovna:

    \[F_{tmax} = fF_{N}=fmg,\]

    kde FN je velikost tlakové síly kolmé k silnici a g je tíhové zrychlení.

    Jestliže bude rychlost auta taková, že setrvačná odstředivá síla přesáhne hodnotu maximální klidové třecí síly, dojde ke smyku.

     

    Kritická podmínka je tedy:

    \[F_{tmax} = fmg = m\frac{v_{max}^{2}}{R}.\]

    Odtud:

    \[v_{max}^{2} = fgR,\] \[v_{max} = \sqrt{Rgf}.\]

    Číselně:

    \[v_{max} \,=\,\sqrt{100\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,0{,}35}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}.\]  

    Pro rychlost \(v_2\,>\,\sqrt{Rgf}\,\dot{=}\,18{,}5\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) dojde ke smyku.

  • Odpověď

    Třecí síla mezi pneumatikami a silnicí je při dané rychlosti dodávky rovna 8000 N.

    Aby dodávka dostala smyk, musela jet rychlostí větší než 18,5 m·s−1.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze