Nit navinutá na kladce

Úloha číslo: 532

Na obvodu kladky o hmotnosti 5 kg a průměru 30 cm jsou navinuty 4 závity režné nitě. Máme za 1 s nit odvinout. Jakou minimální konstantní silou musíme táhnout za nit?

  • Zápis:

    m = 5 kg hmotnost kladky
    r = 15 cm poloměr kladky
    n = 4 počet navinutí nitě
    t = 1 s čas odvinutí
    F = ? (N) minimální síla, kterou musíme táhnout za nit
  • Moment setrvačnosti:

    Kladku můžeme považovat za válec o hmotnosti m a poloměru r. V tabulkách lze nalézt vztah pro moment setrvačnosti válce vzhledem ke geometrické ose:

    \[J=\frac{1}{2} mr^2 \,.\tag{0}\]

    (Odvození tohoto vztahu bude uvedeno v jedné z budoucích úloh.)

  • Rozbor

    Úlohu lze řešit buď pomocí 2.věty impulsové (\(\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\)), kterou je třeba napsat pro otáčející se kladku.

    Druhou možností je využít zákon zachování energie. Práce, kterou konáme táhnutím za nit, se mění na pohybovou energii kladky.

  • Nápověda A1: 2. věta impulsová

    Nakreslete si obrázek situace, vyznačte síly působící na kladku. Napište druhou větu impulsovou pro kladku.

  • Nápověda A2: 2. věta impulsová

    Co můžete říci o úhlovém zrychlení kladky? Napište, jak se s časem mění úhel, o který se kladka otočí. Uvědomte si, že tento úhel znáte, máte-li zadaný počet odvinutých závitů nitě.

  • Nápověda B1: Zákon zachování energie

    Napište, čemu je rovna práce, kterou vykonáme při tahu za nit. Uvědomte si, na co se spotřebovává.

  • Nápověda B2: Zákon zachování energie

    Uvědomte si, jaký pohyb vykonává konec nitě a vyjádřete jeho rychlost v okamžiku odmotání všech závitů.

  • Celkové řešení pomocí impulsové věty

    Nakreslíme si obrázek situace a vyznačíme síly působící na kladku. Napíšeme druhou větu impulsovou pro kladku.

    působící síly

    Na kladku působí tíhová síla Fg, závěs silou Fz a nit, za kterou táhneme, silou F.

    Druhá impulsová věta říká:

    \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\,.\]

    V případě rotace tuhého tělesa kolem pevné osy platí:

    \[L = J \omega\,,\] \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt} = J\vec{\epsilon}\,,\]

    kde \(\vec{M}\) je výsledný moment sil působících na kladku vzhledem ke zvolenému bodu a \(\vec{L}\) je celkový moment hybnosti vzhledem k tomuto bodu, \(J\) moment setrvačnosti kladky vzhledem k pevné ose jdoucí zvoleným bodem a \(\vec{\epsilon}\) úhlové zrychlení kladky.

    Pro výsledný moment působících sil vzhledem ke středu kladky S platí:

    \[\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} = J\vec{\epsilon}\,.\]

    Přepíšeme skalárně a dosadíme za moment setrvačnosti:

    \[M = rF = \frac{1}{2} mr^2\epsilon\,.\]

    Vyjádříme úhlové zrychlení kladky:

    \[\epsilon =\frac{F}{\frac{1}{2} mr}\,.\tag{1}\]

    Úhlové zrychlení kladky je konstantní. Úhel, o který se za čas t otočí bod na obvodu kladky, můžeme napsat jako:

    \[\alpha = \frac{1}{2}\epsilon t^2\,.\tag{2}\]

    Zároveň víme, že máme odvinout n závitů nitě. Kladka se tedy otočí o úhel:

    \[\alpha = n 2\pi\,.\]

    Platí tedy (s použitím vztahu (2)):

    \[\alpha = n 2\pi = \frac{1}{2}\epsilon t^2\,.\]

    Dosadíme za úhlové zrychlení ze vztahu (1):

    \[n 2\pi = \frac{1}{2}(\frac{F}{\frac{1}{2} mr})t^2\,. \]

    Upravíme:

    \[n 2\pi mr = Ft^2\,.\]

    Odtud:

    \[F = \frac{2n\pi rm}{t^2}\,.\]

    Číselně:

    \[F = \frac{2{\cdot}4\cdot\pi\cdot 0{,}15{\cdot} 5}{1^2}\,\mathrm{N} \dot{=}18{,}9\,\mathrm{N}\,.\]
  • Celkové řešení pomocí zákona zachování energie

    Práce konstantní síly působící ve směru pohybu je rovna

    \[W=Fs\,,\]

    kde s je vzdálenost, kterou urazil konec nitě při rozmotávání.

    Tato práce je v našem případě spotřebována na roztočení kladky, potažmo změnu její kinetické energie.

    \[E=\frac{1}{2}J\omega^2=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}mr^2)\omega^2= \frac{1}{4}mr^2(\frac{v}{r})^2=\frac{1}{4}mv^2\,.\]

    Kde \(v\) je obvodová rychlost na konci roztáčení, tj. rychlost, kterou táhneme konec nitě v okamžiku rozmotání všech závitů.

    Platí tedy:

    \[Fs = \frac{1}{4}mv^2\,.\tag{3}\]

    Konec nitě koná rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb. Vzdálenost s, kterou urazí, spočítáme z množství nitě namotané na kladce: je to n-krát obvod kladky, kde n je počet závitů.

    \[s=2n\pi r\]

    K vyjádření hledané rychlosti v použijeme následující vztahy:

    \(v=at\)  a  \(s=\frac{1}{2}at^2,\)

    což lze upravit na

    \[a=\frac{2s}{t^2}\,.\]

    Pro rychlost pak dostáváme:

    \[v=at=\frac{2s}{t^2}t=\frac{2s}{t}\,.\]

    Dosadíme postupně do (3).

    \[Fs=\frac{1}{4}m(\frac{2s}{t})^2\,,\] \[F=m\frac{s}{t^2}\,,\] \[F=\frac{2n\pi rm}{t^2}\,.\]

    Číselně:

    \[F = \frac{2{\cdot}4\cdot\pi\cdot 0{,}15{\cdot} 5}{1^2}\,\mathrm{N} \dot{=}18{,}9\,\mathrm{N}\,.\]
  • Odpověď

    Musíme táhnout silou F:

    \[F=\frac{2nm\pi r}{t^2}\,,\] \[F\dot{=}18{,}85\,\mathrm{N}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze