Nůžky a zavěšená tyč

Úloha číslo: 1252

Tyč o délce \(3l\), jejíž hmotnost zanedbáváme, je zavěšena ve vodorovné poloze pomocí dvou vláken, upevněných na koncích tyče. Na tyči jsou nasazeny koule o hmotnostech \(m\) a \(2m\) tak, že jejich středy leží v jedné, resp. dvou třetinách délky tyče. Poloměry koulí jsou malé oproti délce tyče.

Zadání úlohy obrázek

Spočítejte, jak se změní síla napínající vlákno na straně menší koule v okamžiku, kdy druhé vlákno přestřihneme?

  • Průpravná rukojeť

    Při řešení úloh lze v některých případech tuhé těleso s výhodou nahradit soustavou hmotných bodů. V této úloze toho budeme využívat.

    První věta impulsová

    Výslednice všech vnějších sil působících na soustavu hmotných je rovna časové změně celkové hybnosti soustavy. Současně platí druhá rovnost, jakési zobecnění Newtonova zákona síly na soustavu hmotných bodů, kde \(\vec{a_\mathrm{T}}\) je zrychlený těžistě soustavy a \(m\) hmotnost soustavy.

    \[\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_i = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= m\vec{a}_\mathrm{T}. \] Je-li zrychlení těžiště soustavy nulové (je v klidu, nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře), z první věty impulsové plyne \[\sum_{i=1}^{N}\vec{F}_i = \vec{0}.\]

    Druhá věta impulsová

    Druhá věta impulsová říká, že výslednice všech momentů vnějších sil na soustavu působících je rovna časové změně celkového momentu hybnosti soustavy. V případě rotace kolem pevné osy platí druhá rovnost, kde \(J\) je moment setrvačnosti vůči dané ose a \(\vec{\varepsilon}\) úhlové zrychlení. \[\sum_{i=1}^{N}\vec{M}_i = \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{d}t}= J\vec{\varepsilon}. \]

    Vztah úhlových a obvodových veličin

    Bood \(\mathrm{T}\) vykonává otáčivý pohyb kolem bodu \(\mathrm{O}\) tak, že \(|\mathrm{OT}| = \mathrm{konst.}\)
    Jeho polohy v časech \(t\) a \(t + \mathrm{d}t\) jsou zakresleny v následujícím obrázku.

    Vztah obvodového a úhlového posunutí

    Elementární posunutí \(\mathrm{d}s\) na oblouku kružnice o poloměru \(r = |\mathrm{OT}|\) při otočení o elementární úhel \(\mathrm{d}\varphi\) (v radiánech!) je

    \[\mathrm{d}s = r \mathrm{d} \varphi.\] Zajímá-li nás velikost zrychlení takového pohybu, kteréžto je druhou derivací dráhy podle času, lze užitím předešlého vztahu postupnými úpravami získat \[a = \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{r\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\right) = r\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}\right) = r \frac{\mathrm{d}^2 \varphi}{\mathrm{d}t^2} = r\varepsilon,\] tj. souvislost mezi obvodovým zrychlením na levé a úhlovým zrychlením na straně pravé.

    Poznámka. Všiměte si, že v průběhu úprav je poloměr \(r\) vytknut před derivaci. Tato úprava je možná, právě a jen tehdy, je-li \(r\) konstantní. V této úloze je poloha těžiště vůči ose otáčení konstantní, takže tento vztah bude možno použití.

    Výpočet polohy těžiště

    Jsou-li hmotné body \(m_i\) na přímce a \(x_i\) jejich souřadnice vůči bodu \(\mathrm{O}\), je souřadnice těžiště dána vztahem \[x_\mathrm{T} = \frac{\sum_{i=1}^N m_i x_i}{\sum_{i=1}^N m_i}.\]

    Moment setrvačnosti

    Moment setrvačnosti je aditivní veličina. Máme-li soustavu hmotných bodů \(m_i\), jejichž vzdálenost od osy otáčení je \(\vec{r}_i\), je výsledný moment setrvačnosti vůči této ose \[J = \sum_{i=1}^N m_i r_i^2.\]
  • Zápis

    \(m, 2m\) hmotnosti koulí
    \(l\) vzdálenost sousedních koulí

    \(\tilde T_1^\prime/ \tilde T_1 = \mathrm{?}\) poměr síly napínající vlákno po a před přestřihnutím vlákna
  • Nápověda 1 - síla před přestřihnutím

    Do obrázku zakreslete všechny síly, které na tyč s koulemi působí. Tyč s koulemi je před přestřihnutím v klidu - výslednice vektorů působících vnějších sil a jejich momentů je nutně rovna nule.

    Zapište rovnice vyjadřující podmínky rovnováhy a vyjádřete sílu, kterou na tyč s koulemi působí levé vlákno.
  • Nápověda 2 - síla po přestřihnutí

    Po přestřihnutí pravého vlákna se začne soustava tvořená tyčí a koulemi otáčet kolem bodu \(\mathrm{O}\).

    Zakreslete všechny vnější síly, které na soustavu působí. Pak rozepište pro soustavu impulsové věty, tj. vyjádřete pravé strany rovnic

    \[M\vec{a_\mathrm{T}} = \sum_{i=1}^N \vec{F_i}, \qquad J\vec{\varepsilon} = \sum_{i=1}^N \vec{M_i},\]

    a přepište je do skalární podoby.

  • Nápověda 3 - síla po přestřihnutí

    • Určete, jaký je moment setrvačnosti \(J\) soustavy vůči ose otáčení, považujeme-li koule vzhledem k malým poloměrům za hmotné body.
    • Uvědomte si, jak závisí zrychlení těžiště \(a_\mathrm{t}\) na úhlovém zrychlení \(\varepsilon\).
    • Vyjádřete souřadnici těžiště soustavy vůči bodu O.

    Nalezněte velikost síly \(T_1^\prime\), kterou na tyč působí levé vlákno těsně po přestřihnutí vlákna pravého.

  • Nápověda 4 - změna síly v okamžiku přestřižení

    Máme vyjádřené síly \(T_1\), \(T_1'\), které působí před a po přestřižení vlákna na tyč.

    Jaké jsou ve stejných okamžicích síly \(\tilde T_1\), \(\tilde T_1'\) napínající vlákno? Jak se změní síla napínající levé vlákno při přestřižení pravého vlákna?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku zakreslíme všechny vnější síly, které na tyč s koulemi před přestřižením vlákna působí.
    • tíhové síly \(\vec{F_{\mathrm{G1}}}\), \(\vec{F_{\mathrm{G2}}}\)působící na koule o hmotnostech \(m\) a \(2m\),
    • tahové síly \(\vec{T_1}\) a \(\vec{T_2}\), kterými na konce tyče působí vlákna,
    • tíhová síla působící na tyč je nulová, neboť její hmotnost zanedbáváme.
    Rozkreslení působících sil
    Tyč s koulemi je v klidu, výslednice vnějších sil i jejich momentů je nutně nulová, tj. \[ \vec{F_{\mathrm{G1}}} + \vec{F_{\mathrm{G2}}} + \vec{T_1} + \vec{T_2} = \vec{0}, \] \[ \vec{l}\times\vec{F_{\mathrm{G1}}} + 2\vec{l}\times\vec{F_{\mathrm{G2}}} + \vec{0} \times \vec{T_1} + 3\vec{l}\times\vec{T_2} = \vec{0}, \] kde momenty jsou vztaženy k levému konci tyče, tj. bodu \(\mathrm{O}\).

    Rovnice přepíšeme do skalární podoby

    \[ {F_{\mathrm{G1}}} + {F_{\mathrm{G2}}} - {T_1} - {T_2} = 0, \] \[ -{lF_{\mathrm{G1}}} - 2l{F_{\mathrm{G2}}} + 3l{T_2} = 0, \] kde velikosti momentů směřující před nákresnu jsou kladné, za nákresnu záporné.

    Dosazením za velikosti tíhových sil získáme rovnice

    \[ mg + 2mg - {T_1} - {T_2} = 0, \tag{1}\] \[ -lmg - 4lmg + 3l{T_2} = 0. \tag{2}\]

    Druhou rovnici vydělíme l a upravíme

    \[3{T_2} = 5mg\] \[T_2 = \frac{5}{3}mg\]

    Z rovnice (1) vyjádříme hledané \(T_1\), do ní pak dosadíme za \(T_2\).

    \[T_1 = 3mg - T_2\] \[ T_1 = 3mg - \frac{5mg}{3} = \frac{4}{3}mg. \tag{A}\]
    Do obrázku nyní zakreslíme všechny vnější síly, které na tyč s koulemi působí po přestřižení pravého vlákna.
    • tíhové síly \(\vec{F_{\mathrm{G1}}}\), \(\vec{F_{\mathrm{G2}}}\) působící na koule se nezmění,
    • tahová síla \(\vec{T_2}\) s přestřihnutím vlákna přestane působit,
    • tahová síla \(\vec{T_1}\) se změní na sílu \(\vec{T_1^\prime}\),
    • tíhová síla působící na tyč je opět nulová, neboť její hmotnost zanedbáváme.

    Tyč se začne otáčet kolem bodu \(\mathrm{O}\).

    Rozkreslení působících sil
    Dle vět impulsových sestavíme pohybové rovnice \[ \vec{F_{\mathrm{G1}}} + \vec{F_{\mathrm{G2}}} + \vec{T_1^\prime} = M\vec{a_\mathrm{T}}, \] \[ \vec{l}\times\vec{F_{\mathrm{G1}}} + 2\vec{l}\times\vec{F_{\mathrm{G2}}} + \vec{0} \times \vec{T_1^\prime} = J\vec{\varepsilon}, \] kde \(M\) je hmotnost soustavy, \(J\) momenst setrvačnosti vůči ose otáčení a \(\varepsilon\) úhlové zrychlení. Momenty jsou opět vztaženy k levému konci tyče, tj. bodu \(\mathrm{O}\).

    Rovnice přepíšeme do skalární podoby

    \[ {F_{\mathrm{G1}}} + {F_{\mathrm{G2}}} - {T_1^\prime} = Ma_\mathrm{T}, \] \[ -{lF_{\mathrm{G1}}} - 2l{F_{\mathrm{G2}}} = -J\varepsilon, \] kde velikosti momentů směřující před nákresnu jsou kladné, za nákresnu záporné.

    Dosazením za velikosti tíhových sil a hmotnosti soustavy \(M = 3m\) získáme rovnice

    \[ 3mg - T_1^\prime = 3m a_\mathrm{T}, \tag{3}\] \[ 5lmg = J\varepsilon. \tag{4}\] Moment setrvačnosti \(J\) soustavy vzhledem k ose procházející bodem \(\mathrm{O}\) s nahrazením koulí hmotnými body je \[ J = ml^2 + 2m(2l)^2 = 9ml^2. \tag{5}\] Koule jsou na tyči pevně přichycené. Těžiště je stejně jako osa otáčení neměnné. Vzdálenost těžiště od osy je tedy konstantní a zrychlení těžiště \(a_\mathrm{T}\) je tímto poloměrem otáčení vázáno vzhledem k úhlovému zrychlení \(\varepsilon\) vztahem \[a_\mathrm{T}=r_\mathrm{T} \varepsilon.\tag{6}\]

    Poloměr otáčení těziště \(r_\mathrm{T}\) je souřadnice těžiště vůči bodu \(\mathrm{O}\), tj.

    \[r_\mathrm{T} = \frac{ml + 2m2l}{m+2m} = \frac{5}{3}l.\tag{7}\]

    Do rovnice (3) dosadíme za \(a_\mathrm{T}\) z (6), do které jsme za \(r_\mathrm{T}\) dosadili z (7). Do rovnice (4) dosadíme za \(J\) z (5).

    \[3mg-T_1^\prime = 3m \frac{5}{3} l \varepsilon,\tag{8}\] \[5lmg = 9ml^2\varepsilon.\tag{9}\] Rovnice (8) a (9) vydělíme, tím vyloučíme \(\varepsilon\) a vyjádříme hledané \(T_1^\prime\). \[ \frac{3mg-T_1^\prime}{5lmg} = \frac{5}{9l} \] \[ \Longrightarrow T_1^\prime = \frac{2}{9}mg. \tag{B}\]
    Levé vlákno působí na levý konec tyče silou \(T_1\) (resp. \(T_1^\prime\)), konec tyče na stejné vlákno působí silou \(\tilde T_1\) (resp. \(\tilde T_1^\prime\)), která napíná vlákno. Ze zákona akce a reakce pro velikosti sil platí \[T_1 = \tilde T_1 \qquad a \qquad T_1 = \tilde T_1^\prime.\] Poměr sil napínajících vlákno je tedy \[\frac{\tilde T_1^\prime}{\tilde T_1} = \frac{T_1^\prime}{T_1} = \frac{\frac{2}{9}mg}{\frac{4}{3}mg} = \frac{1}{6},\] kde jsme užili výsledků (A) a (B).
  • Odpověď

    V okamžiku přestřižení se síla napínající vlákno na levém konci tyče zmenší šestkrát.
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: FO 48. ročník, kat. A. domácí kolo
Zpracováno s podporou SFG (2013).
×Původní zdroj: FO 48. ročník, kat. A. domácí kolo
Zpracováno s podporou SFG (2013).
Zaslat komentář k úloze