Bedna na nakloněné rovině s kladkou

Úloha číslo: 95

Za jakou dobu sjede bedna o hmotnosti m1 délku s po nakloněné rovině s úhlem sklonu α, je-li bedna pomocí provazu a kladky spojena s kbelíkem o hmotnosti m2? Vzájemný poměr m1/m2 je takový, že pohyb probíhá po nakloněné rovině směrem dolů. Tření, moment setrvačnosti kladky a hmotnost provazu zanedbejte.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m1 hmotnost bedny
    m2 hmotnost kbelíku
    s vzdálenost, kterou bedna ujede
    α sklon roviny
    t = ? čas, za který bedna urazí dráhu s
  • Nápověda 1 – pohybové rovnice

    Nakreslete si obrázek a vyznačte v něm všechny síly působící na bednu a kbelík. Napište pohybovou rovnici pro bednu a pro kbelík.

  • Nápověda 2 – zrychlení bedny

    Z pohybových rovnic (4) a (5) vyjádřete zrychlení bedny.

  • Řešení k nápovědě 2 – zrychlení vozíku

    Dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, po jejím vyřešení získáme zrychlení soustavy.

    Sečteme-li obě rovnice (4) a (5), dostáváme:

    \[m_1g \sin\alpha \,-\, m_2g\,=\,\left(m_1+m_2\right)a\,.\] \[a\,=\,\frac{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}{m_1\,+\,m_2}\tag{6}\]

    Vztah (6) udává velikost zrychlení, se kterým bedna sjíždí po nakloněné rovině.

  • Nápověda 3 – doba, za kterou bedna urazí dráhu s

    Závisí zrychlení bedny na čase? O jaký typ pohybu jde? Jak můžete v tomto případě vyjádřit uraženou dráhu?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Síly působící na bednu a kbelík:

    Na bednu působí tyto síly:

    \(\vec{F}_{G1}\)…síla tíhová

    \(\vec{N}\)…tlaková síla podložky

    \(\vec{T}\)…tahová síla provazu

    Na kbelík působí tyto síly:

    \(\vec{F}_{G1}\)…síla tíhová

    \(\vec{T^{'}}\)…tahová síla provazu

    Síly působící na kbelík a bednu

    Pohybové rovnice:

    Bedna i kbelík se pohybují se stejným zrychlením.

    Pro bednu:

    \[\vec{F}_{G1}+\vec{N}+\vec{T}\,=\,m_1\vec{a}\]

    Pro kbelík:

    \[\vec{F}_{G2}+\vec{T^{'}}\,=\,m_2\vec{a}\]

    Abychom mohli pohybové rovnice přepsat skalárně, zvolíme si souřadný systém os x, y tak, že osu x zvolíme ve směru pohybu bedny (kbelíku), osu y kolmo na osu x.

    Síly působící na kbelík a bednu (se souřadnicemi)

    Sílu \(F_{G1}\) rozložíme na 2 složky do směru těchto os.

    \[F_{{G1}_x}\,=\,F_{G1}\sin\alpha\] \[F_{{G1}_y}\,=\,F_{G1}\cos\alpha\]

    Pohybové rovnice přepíšeme skalárně:

    Pro bednu:

    \[x:\qquad F_{G1} sin\alpha - T \,=\, m_1a\tag{1}\] \[y:\qquad N - F_{G1} cos\alpha \,=\, 0\tag{2}\]

    Ve směru osy y se bednu nepohybuje, proto je zrychlení rovno nule.

    Pro kbelík:

    \[x:\qquad T^{'} - F_{G2} \,=\, m_2a\tag{3}\]

    Jelikož hmotnost kladky zanedbáváme, nemá tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňuje provazové síly. Kbelík působí prostřednictvím provazu na bednu a bedna zase na kbelík. Podle 3. Newtonova zákona platí:

    \[\left|\vec{T}\right|\,=\,\left|\vec{T^{'}}\right|\,.\]

    Dosadíme za \(F_{G1}\,=\,m_1g\), \( F_{G2}\,=\,m_2g\) a přepíšeme rovnice (1) a (3):

    \[m_1g sin\alpha - T \,=\, m_1a\tag{4}\] \[T - m_2g\,=\, m_2a\tag{5}\]

    Dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, po jejím vyřešení získáme zrychlení soustavy.

    Sečteme-li obě rovnice (4) a (5), dostáváme:

    \[m_1g \sin\alpha \,-\, m_2g\,=\,\left(m_1+m_2\right)a\,.\] \[a\,=\,\frac{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}{m_1\,+\,m_2}\tag{6}\]

    Vztah (6) udává velikost zrychlení, se kterým bedna sjíždí po nakloněné rovině.

    Výpočet času, za který bedna urazí dráhu s:

    Ze vztahu (6) vidíme, že zrychlení bedny nezávisí na čase, jde tedy o pohyb rovnoměrně zrychlený, pro něž platí vztah pro uraženou dráhu s:

    \[s\,=\,\frac{at^2}{2}\,.\tag{7}\]

    t… čas, za který ujede bedna dráhu s

    Ze vztahu (7) vyjádříme čas t:

    \[t\,=\, \sqrt{\frac{2s}{a}}\,.\tag{8}\]

    Do vztahu (8) dosadíme zrychlení ze vztahu (6):

    \[t\,=\,\sqrt{\frac{2s\left(m_1\,+\,m_2\right)}{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}}\,.\tag{9}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Bedna sjede délku s po nakloněné rovině za dobu \[t\,=\,\sqrt{\frac{2s\left(m_1\,+\,m_2\right)}{\left(m_1 \sin\alpha \,-\, m_2\right)g}}\,.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze