Sbírka řešených úloh

Letci a loping

Úloha číslo: 223

Formace tryskových letadel dělá během letecké přehlídky lopingy (viz obrázek). Jaký je minimální poloměr lopingu, jestliže letadlo v nejnižším bodě lopingu letí rychlostí 700 km·h⁻¹ a přetížení působící na pilota v nejnižším bodě dráhy nesmí přesáhnout 6,0g?

Řešte situaci v nejnižším bodě lopingu z hlediska inerciálního i neinerciálního systému.

• Zápis

  amax = 6,0g	maximální přetížení
  v = 700 km·h−1	rychlost letadla v nejnižší poloze lopingu
  r = ? (m)	poloměr lopingu
  Z tabulek:
  g = 9,81 m·s−2	tíhové zrychlení

• Rozbor z hlediska inerciálního systému

  Zřejmě intuitivně cítíme, že největší přetížení bude na pilota působit právě v nejnižší poloze lopingu. Víme, že právě zde na pilota nesmí působit přetížení větší než $a_\mathrm{max}$, tedy zrychlení větší než $a_\mathrm{max}$.

  Odtud pro velikost síly, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku) platí, že nesmí být větší než $ma_\mathrm{max}$.

  Jde tedy o to, určit velikost síly, kterou sedačka na pilota působí.

• Nápověda 1 – inerciální systém: síly

  Jaké síly působí v nejnižším bodě na pilota z hlediska inerciálního systému, jaký mají tyto síly směr? Nakreslete si obrázek.

• Řešení k nápovědě 1

  Z hlediska inerciálního systému působí na pilota v nejnižší poloze lopingu dvě síly:

  a) Tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$, mířící svisle dolů.

  b) Reakční síla sedačky $\vec{F}$, která míří opačným směrem, svisle vzhůru.

  

• Nápověda 2 – inerciální systém: výslednice sil

  Jaká je výslednice dvou zmíněných sil výše? Uvědomte si, že tato výslednice zřejmě „nutí“ letadlo i pilota k pohybu po kružnici. Jaká je velikost této výslednice?

• Řešení k nápovědě 2

  Protože pilot se s letadlem pohybuje po kružnici, jistě na něj působí dostředivá síla $\vec{F}_\mathrm{d}$, která zakřivuje jeho trajektorii a míří do středu opisovaného lopingu. Tato dostředivá síla je výslednicí reakční síly sedačky a tíhové síly, tedy:

  $$\vec{F}_\mathrm{d}\,=\,\vec{F}\,+\,\vec{F}_\mathrm{G}.$$

  Protože síly $\vec{F}$ a $\vec{F}_\mathrm{G}$ mají opačný směr, lze pro jejich velikosti psát:

  $$F_\mathrm{d}\,=\,F\,-\,F_\mathrm{G}.\tag{1}$$

• Nápověda 3 – inerciální systém: velikost síly F

  Vyjádřete ze vztahu (1) velikost síly $\vec{F}$, kterou působí sedačka na pilota. Co po této síle (dle rozboru výše) požadujeme?

• Řešení k nápovědě 3

  Ze vztahu (1) dostáváme jednoduchou úpravou

  $$F\,=\,F_\mathrm{d}\,+\,F_\mathrm{G}.$$

  Ze znalosti vztahů pro dostředivou a tíhovou sílu můžeme psát:

  $$F_\mathrm{d} = ma_\mathrm{d} = m\frac{v^2}{r},$$ $$F_\mathrm{G} = mg,$$

  $$F\,=\,m\frac{v^2}{r}\,+\,mg\,=\,m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,,$$

  kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

  Po této síle přitom požadujeme, aby byla menší nebo maximálně rovna $ma_\mathrm{max}$, tedy:

  $$F\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,ma_\mathrm{max}.$$

  Odtud dále plyne:

  $$(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,a_\mathrm{max},$$ $$\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max}\,-\,g,$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}.$$

  Číselně:

  $$a_\mathrm{max}\,=\,6{,}0g\,=\,(6{,}0{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,=\,58{,}86\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$v\,=\,700\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,\dot{=}\,194{,}4\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}\,=\,(\frac{194{,}4^2}{58{,}86\,-\,9{,}81})\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,770\,\mathrm{m}.$$

  Poloměr lopingu musí být minimálně 770 m.

• Rozbor z hlediska neinerciálního systému

  Podíváme-li se na problém z hlediska neinerciálního systému, který rotuje spolu s letadlem, působí na letce setrvačná odstředivá síla $\vec{F}_\mathrm{od}$, tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$ a tlačí do něj sedačka silou $\vec{F}$. Letec je vzhledem k tomuto systému v klidu, výslednice sil, které na něj působí, je tedy podle 1. Newtonova zákona rovna nule.

  Pro velikost síly, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku), platí, že nesmí být větší než $ma_\mathrm{max}$.

  Jde tedy o to, určit velikost síly, kterou sedačka na pilota působí.

• Nápověda 4 – neinerciální systém: síly

  Nakreslete si obrázek znázorňující síly působící na pilota a zapište, co platí pro jejich výslednici.

• Řešení k nápovědě 4

  Situaci v nejnižším bodě z hlediska neinerciální soustavy ukazuje obrázek níže:

  

  Pro výslednici působících sil platí:

  $$\vec{F}\,+\,\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{od}\,=\,\vec{0}.$$

  Pro velikost síly F pak platí:

  $$F\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{od}.$$

• Nápověda 5 – neinerciální systém: velikost síly F

  Velikost síly $\vec{F}$ vyjádřete pomocí známých vztahů pro tíhovou a odstředivou sílu. Jaká podmínka musí pro tuto velikost dle rozboru platit?

• Řešení k nápovědě 5

  S použitím známých vztahů pro odstředivou a tíhovou sílu lze psát:

  $$F\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{od}\,=\,mg\,+\,m\frac{v^2}{r}\,=\,m(g\,+\,\frac{v^2}{r}),$$

  kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

  Dle rozboru víme, že velikost výsledné síly $F$ musí být menší nebo rovna $ma_\mathrm{max}$, tedy:

  $$F\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$m(g\,+\,\frac{v^2}{r})\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$g\,+\,\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max},$$ $$\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max}\,-\,g,$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}.$$

  Dospěli jsme tedy ke stejnému vztahu jako při počítání v inerciálním systému.

• Celkové řešení

  Z hlediska inerciálního systému:

  Z hlediska inerciálního systému působí na pilota v nejnižší poloze lopingu dvě síly:

  a) Tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$, mířící svisle dolů.

  b) Reakční síla sedačky $\vec{F}$, která míří opačným směrem, svisle vzhůru. Pro tuto sílu nám dává zadání omezení – nesmí být větší než $ma_\mathrm{max}.$

  

  Protože pilot se s letadlem pohybuje po kružnici, jistě na něj působí dostředivá síla $\vec{F}_\mathrm{d}$, která zakřivuje jeho trajektorii a míří do středu opisovaného lopingu. Tato dostředivá síla je výslednicí reakční síly sedačky a tíhové síly, tedy:

  $$\vec{F}_\mathrm{d}\,=\,\vec{F}\,+\,\vec{F}_\mathrm{G}.$$

  Protože síly $\vec{F}$ a $\vec{F}_\mathrm{G}$ mají opačný směr, lze pro jejich velikosti psát:

  $$F_\mathrm{d}\,=\,F\,-\,F_\mathrm{G}.\tag{1}$$

  Ze vztahu (1) dostáváme jednoduchou úpravou:

  $$F\,=\,F_\mathrm{d}\,+\,F_\mathrm{G}.$$

  Ze znalosti vztahů pro dostředivou a tíhovou sílu můžeme psát:

  $$F\,=\,m\frac{v^2}{r}\,+\,mg\,=\,m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,,$$

  kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

  Po této síle přitom požadujeme, aby síla byla menší nebo rovna $ma_\mathrm{max}$, tedy:

  $$F\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,ma_\mathrm{max}.$$

  Odtud dále plyne:

  $$(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,a_\mathrm{max},$$ $$\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max}\,-\,g,$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}.$$

  Číselně:

  $$a_\mathrm{max}\,=\,6{,}0g\,=\,(6{,}0{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,=\,58{,}86\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$v\,=\,700\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,\dot{=}\,194{,}4\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},$$ $$g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}\,=\,(\frac{194{,}4^2}{58{,}86\,-\,9{,}81})\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,770\,\mathrm{m}.$$

  Poloměr lopingu musí být tedy minimálně 770 m.

  Z hlediska neinerciálního systému:

  Z hlediska neinerciálního systému, který rotuje spolu s letadlem, působí na letce setrvačná odstředivá síla $\vec{F}_\mathrm{od}$, tíhová síla $\vec{F}_\mathrm{G}$ a tlačí do něj sedačka silou $\vec{F}$. Letec je vzhledem k tomuto systému v klidu, výslednice sil, které na něj působí, je tedy podle 1. Newtonova zákona rovna nule:

  $$\vec{F}\,+\,\vec{F}_\mathrm{G}\,+\,\vec{F}_\mathrm{od}\,=\,\vec{0}.$$  

  Situaci v nejnižším bodě z hlediska neinerciální soustavy ukazuje obrázek níže:

  

  Protože tíhová a odstředivá síla mají opačný směr než síla F, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku), platí pro velikost síly F:

  $$F\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{od}.$$

  Přitom po této síle požadujeme, aby nebyla větší než $ma_\mathrm{max}$.

  S použitím známých vztahů pro odstředivou a tíhovou sílu lze psát:

  $$F\,=\,F_\mathrm{G}\,+\,F_\mathrm{od}\,=\,mg\,+\,m\frac{v^2}{r}\,=\,m(g\,+\,\frac{v^2}{r}),$$

  kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

  Tedy:

  $$F\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$m(g\,+\,\frac{v^2}{r})\,\leq\,ma_\mathrm{max},$$ $$g\,+\,\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max},$$ $$\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_\mathrm{max}\,-\,g,$$ $$r\,\geq\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}.$$

  Dospěli jsme tedy ke stejnému vztahu jako při počítání v inerciálním systému.

• Výsledek

  Poloměr lopingu musí být minimálně $$r\,=\,\frac{v^2}{a_\mathrm{max}\,-\,g}\,\dot{=}\,770\,\mathrm{m}.$$