Letci a loping

Úloha číslo: 223

Obrázek k zadání úlohy

Formace tryskových letadel dělá během letecké přehlídky lopingy (viz obrázek). Jaký je minimální poloměr lopingu, jestliže letadlo v nejnižším bodě lopingu letí rychlostí 700 km·h−1 a přetížení působící na pilota v nejnižším bodě dráhy nesmí přesáhnout 6,0g?

Řešte situaci v nejnižším bodě lopingu z hlediska inerciálního neinerciálního systému.

  • Zápis

    amax = 6,0g maximální přetížení
    v = 700 km·h−1 rychlost letadla v nejnižší poloze lopingu
    r = ? (m) poloměr lopingu
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Rozbor z hlediska inerciálního systému

    Zřejmě intuitivně cítíme, že největší přetížení bude na pilota působit právě v nejnižší poloze lopingu. Víme, že právě zde na pilota nesmí působit přetížení větší než \(a_{max}\), tedy zrychlení větší než \(a_{max}\).

    Odtud pro velikost síly, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku) platí, že nesmí být větší než \(ma_{max}\).

    Jde tedy o to, určit velikost síly, kterou sedačka na pilota působí.

  • Nápověda 1 - inerciální systém: síly

    Jaké síly působí v nejnižším bodě na pilota z hlediska inerciálního systému, jaký mají tyto síly směr? Nakreslete si obrázek.

  • Nápověda 2 - inerciální systém: výslednice sil

    Jaká je výslednice dvou zmíněných sil výše? Uvědomte si, že tato výslednice zřejmě „nutí“ letadlo i pilota k pohybu kružnici. Jaká je velikost této výslednice?

  • Nápověda 3 - inerciální systém: velikost síly F

    Vyjádřete ze vztahu (1) velikost síly \(\vec{F}\), kterou působí sedačka na pilota. Co po této síle (dle rozboru výše) požadujeme?

  • Rozbor z hlediska neinerciálního systému

    Podíváme-li se na problém z hlediska neinerciálního systému, který rotuje spolu s letadlem, působí na letce setrvačná odstředivá síla \(\vec{F}_{od}\),  tíhová síla \(\vec{F}_G\) a tlačí do něj sedačka silou \(\vec{F}\). Letec je vzhledem k tomuto systému v klidu, výslednice sil, které na něj působí, je tedy podle 1. Newtonova zákona rovna nule.

    Pro velikost síly, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku) platí, že nesmí být větší než \(ma_{max}\).

    Jde tedy o to, určit velikost síly, kterou sedačka na pilota působí.

  • Nápověda 4 - neinerciální systém: síly

    Nakreslete si obrázek znázorňující síly působící na pilota a zapište, co platí pro jejich výslednici.

  • Nápověda 5 - neinerciální systém: velikost síly F

    Velikost síly \(\vec{F}\) vyjádřete pomocí známých vztahů pro tíhovou a odstředivou sílu. Jaká podmínka musí pro tuto velikost dle rozboru platit?

  • Celkové řešení

    Z hlediska inerciálního systému:

    Z hlediska inerciálního systému působí na pilota v nejnižší poloze lopingu dvě síly:

    a) Tíhová síla \(\vec{F}_G\), mířící svisle dolů.

    b) Reakční síla sedačky \(\vec{F}\), která míří opačným směrem, svisle vzhůru. Pro tuto sílu nám dává zadání omezení - nesmí být větší než \(ma_{max}.\)

    Síly působící na letce z hlediska inerciální soustavy

    Protože pilot se s letadlem pohybuje po kružnici, jistě na něj působí dostředivá síla \(\vec{F}_d\), která zakřivuje jeho trajektorii a míří do středu opisovaného lopingu. Tato dostředivá síla je výslednicí reakční síly sedačky a tíhové síly, tedy:

    \[\vec{F}_d\,=\,\vec{F}\,+\,\vec{F}_G.\]

    Protože síly \(\vec{F}\) a \(\vec{F}_G\) mají opačný směr, lze pro jejich velikosti psát:

    \[F_d\,=\,F\,-\,F_G.\tag{1}\]

    Ze vztahu (1) dostáváme jednoduchou úpravou:

    \[F\,=\,F_d\,+\,F_G.\]

    Ze znalosti vztahů pro dostředivou a tíhovou sílu můžeme psát:

    \[F\,=\,m\frac{v^2}{r}\,+\,mg\,=\,m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,,\]

    kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

    Po této síle přitom požadujeme, aby síla byla menší nebo rovna \(ma_{max}\), tedy:

    \[F\,\leq\,ma_{max},\] \[m(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,ma_{max}.\]

    Odtud dále plyne:

    \[(\frac{v^2}{r}\,+\,g)\,\leq\,a_{max},\] \[\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_{max}\,-\,g,\] \[r\,\geq\,\frac{v^2}{a_{max}\,-\,g}.\]

    Číselně:

    \[a_{max}\,=\,6{,}0g\,=\,(6{,}0{\cdot}9{,}81)\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,=\,58{,}86\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[v\,=\,700\,\mathrm{km{\cdot}h^{-1}}\,\dot{=}\,194{,}4\,\mathrm{m{\cdot}s^{-1}},\] \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}},\] \[r\,\geq\,\frac{v^2}{a_{max}\,-\,g}\,=\,(\frac{194{,}4^2}{58{,}86\,-\,9{,}81})\,\mathrm{m}\,\dot{=}\,770\,\mathrm{m}.\]

    Poloměr lopingu musí být tedy minimálně 770 m.

    Z hlediska neinerciálního systému, který rotuje spolu s letadlem, působí na letce setrvačná odstředivá síla \(\vec{F}_{od}\),  tíhová síla \(\vec{F}_G\) a tlačí do něj sedačka silou \(\vec{F}\). Letec je vzhledem k tomuto systému v klidu, výslednice sil, které na něj působí, je tedy podle 1. Newtonova zákona rovna nule:

    \[\vec{F}\,+\,\vec{F}_G\,+\,\vec{F}_{od}\,=\,\vec{0}. \]  

    Situaci v nejnižším bodě z hlediska neinerciální soustavy ukazuje obrázek níže:

    Síly působící na letce z hlediska neinerciální soustavy

    Protože tíhová a odstředivá síla mají opačný směr než síla F, kterou působí sedačka na pilota (a tedy podle 3. Newtonova zákona i pilot na sedačku), platí pro velikost síly F:

    \[F\,=\,F_G\,+\,F_{od}.\]

    Přitom po této síle požadujeme, aby nebyla větší než \(ma_{max}\).

    S použitím známých vztahů pro odstředivou a tíhovou sílu lze psát:

    \[F\,=\,F_G\,+\,F_{od}\,=\,mg\,+\,m\frac{v^2}{r}\,=\,m(g\,+\,\frac{v^2}{r}),\]

    kde m je hmotnost pilota, v jeho rychlost v nejnižší poloze (zde celý problém řešíme), r poloměr opisovaného lopingu a g tíhové zrychlení.

    Tedy:

    \[F\,\leq\,ma_{max},\] \[m(g\,+\,\frac{v^2}{r})\,\leq\,ma_{max},\] \[g\,+\,\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_{max},\] \[\frac{v^2}{r}\,\leq\,a_{max}\,-\,g,\] \[r\,\geq\,\frac{v^2}{a_{max}\,-\,g}.\]

    Dospěli jsme tedy ke stejnému vztahu jako při počítání v inerciálním systému.

  • Výsledek

    Poloměr lopingu musí být minimálně \[r\,=\,\frac{v^2}{a_{max}\,-\,g}\,\dot{=}\,770\,\mathrm{m}.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze