Zubař

Úloha číslo: 915

Zubař zvedá pacientku o hmotnosti 60 kg na křesle, které má hmotnost 30 kg. Malý píst zvedacího zařízení má plochu o obsahu 5 cm² a velký píst má plochu 200 cm². Doktor tlačí na menší píst silou 20 N.

a) Zvedne doktor pacientku touto silou?

b) Jestliže nezvedne, určete, o kolik newtonů musí být větší síla, kterou doktor působí na menší píst, aby pacientku zvedl.

Zápis

m₁ = 60 kg	hmotnost pacientky
m₂ = 30 kg	hmotnost křesla
S₁ = 5 cm²	obsah plochy malého pístu
S₂ = 200 cm²	obsah plochy velkého pístu
F₁ = 20 N	síla na malý píst

Z tabulek:
g = 10 N/kg	číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu

K části a: nápověda 1
Na jakém principu funguje zvedací zařízení zubařského křesla? A proč je tedy výhodné, aby pacientka s křeslem byla na pístu, který má větší obsah?
K části a: řešení nápovědy 1
Zvedací zařízení funguje na principu hydraulického lisu. To znamená, že malou silou (F₁, viz obr.) působíme na malý píst, čímž se přečerpává kapalina (zde např. olej) do většího válce. Tím se vyvolává několikrát větší síla (F₂, viz obr.) působící na velký píst. Je tomu tak proto, že tlak v kapalině, který vznikne působením vnější síly na povrch kapaliny v uzavřené nádobě, je v každém místě kapaliny stejný. Tlak kapaliny v nádobě vzniklý působením síly F na plochu o obsahu S je určen vztahem: \[p\,=\,\frac{F}{S},\tag{1}\]
platí tedy:
\[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}.\]
Je vidět, že na píst s větším obsahem musí působit kapalina větší silou, aby platilo, že tlak zůstává stejný.

Proto doktorovi stačí na menší píst působit menší silou, aby větší píst zvedl pacientku s křeslem.
K části a: nápověda 2
Jaké síly působí na pacientku a křeslo a kterým působí směrem? Co musí platit pro působící síly, aby zubař pacientku s křeslem zvedl?
K části a: řešení nápovědy 2
Na pacientku a křeslo působí gravitační síla směrem dolů. Aby je šlo zvednout, musí na velký píst působit síla, která bude větší než gravitační a bude působit opačným směrem (nahoru).
K části a: nápověda 3
Jak velká je gravitační síla, která působí na pacientku s křeslem?
K části a: řešení nápovědy 3
Na pacientku působí gravitační síla F_g1. Její velikost vypočteme podle vzorce:
\[F_\mathrm{g1}\,=\,m_1g\,.\tag{2}\]
Také na křeslo působí gravitační síla o velikosti:
\[F_\mathrm{g2}\,=\,m_2g\,,\tag{3}\]
kde m₁ je hmotnost pacientky, m₂ hmotnost křesla a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Výsledná gravitační síla je součtem těchto dvou sil, tedy:
\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{g1}\,+\,F_\mathrm{g2}\,=\,(m_1\,+\,m_2)g\,.\tag{4}\]
Číselně:
\[F_\mathrm{g} = (60+30)\cdot10\,\mathrm{N}\,=\,900\,\mathrm{N}\,.\]
K části a: nápověda 4
Kde se vezme síla působící na velký píst směrem nahoru?
K části a: řešení nápovědy 4
Síla působící na velký píst směrem nahoru je způsobená tlakem, který vyvolá v kapalině doktor tím, že tlačí na malý píst silou 20 N.
K části a: nápověda 5
Vypočítejte velikost síly působící na velký píst.
K části a: řešení nápovědy 5
Vyjdeme z rovnosti tlaku v celém objemu kapaliny (oleje). Musí platit, že tlak p vyvolaný silou doktora působící na malý píst, je všude v kapalině stejný. Tento tlak umíme vypočítat s využitím (1):
\[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,.\tag{4}\]
A protože víme, že tohle musí platit i pro druhý píst, tak:
\[p\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.\tag{6}\]
Z tohoto vzorce umíme vypočítat sílu F₂:
\[F_2\,=\,pS_2\,=\,\frac{F_1}{S_1}S_2\,.\tag{7}\]
Dosadíme-li číselně, vyjde:
\[F_2\,=\,\frac{20}{5}\cdot200 \,\mathrm{N} = 800 \,\mathrm{N}\,.\]
K části a: nápověda 6
Porovnejte velikost síly F₂ s velikostí gravitační síly působící na pacientku a křeslo a dojděte k závěru.
K části a: řešení nápovědy 6
Protože gravitační síla působící na pacientku a křeslo směrem dolů je větší, než síla působící směrem nahoru, zubař pacientku silou 20 N zvednout nedokáže.
K části b: nápověda 1
Podívejte se na Nápovědu 2 v části a). Co musí platit pro velikost síly, kterou zubař musí tlačit na menší píst, aby pacientku zvedl?
K části b: řešení nápovědy 1
Z a) už víme, jaká gravitační síla působí na pacientku a křeslo směrem dolů. Aby je doktor zvedl, musí síla působící směrem nahoru být větší než tato síla. Dále víme, že tlak v celém objemu kapaliny se zachovává a platí pro něj (5), (6). Budeme vycházet ze situace, kdy by došlo k rovnosti sil působících na křeslo s pacientkou, tedy kdy F_g = F_2n.

F_2n je nová síla, s níž už doktor pacientku zvedne.
K části b: nápověda 2
Vypočtěte velikost síly, kterou doktor musí tlačit na menší píst, aby pacientku zvedl a porovnejte s původní velikostí.
K části b: řešení nápovědy 2
Velikost síly F_g jsme již vypočítali (900 N). Potřebujeme, aby síla F₂ byla také aspoň 900 N (a jak jsme již řekli, budeme uvažovat tento krajní případ F₂ = 900 N). Víme dál, že platí (5) a (6), takže i rovnost:
\[\frac{F_\mathrm{1n}}{S_1}\,=\,\frac{F_\mathrm{2n}}{S_2}\,. \tag{8}\]
Z ní můžeme vyjádřit neznámou sílu, kterou musí doktor tlačit na menší píst:
\[F_\mathrm{1n}\,=\,\frac{F_\mathrm{2n}}{S_2}S_1\,. \tag{9}\]
Číselně:
\[F_\mathrm{1n}\,=\,\frac{900}{200}\cdot5 \,\mathrm{N} = 22{,}5 \,\mathrm{N}\,.\]
Číselně dostáváme, že síla, kterou musí zubař tlačit na menší píst, je 22,5 N. Tedy o 2,5 N větší, než působil původně.
Poznámka
Na začátku musí doktor zatlačit o trochu více, aby křeslo s pacientkou rozjel, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.
Celkové řešení
Zvedací zařízení funguje na principu hydraulického lisu. To znamená, že malá síla (F₁, viz obr.) působí na malý píst a přečerpává kapalinu (zde např. olej) do většího válce. Tím se vyvolává několikrát větší síla (F₂, viz obr.) působící na velký píst. Je tomu tak proto, že tlak v kapalině, který vznikne působením vnější síly na povrch kapaliny v uzavřené nádobě, je v každém místě kapaliny stejný. Tlak kapaliny v nádobě vzniklý působením síly F na plochu o obsahu S je určen vztahem: \[p\,=\,\frac{F}{S},\tag{1}\]
platí tedy:
\[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}.\]
Je vidět, že na píst s větším obsahem musí působit kapalina větší silou, aby platilo, že tlak zůstává stejný.

Proto doktorovi stačí na menší píst působit menší silou, aby větší píst zvedl pacientku s křeslem.

Část a)

Na pacientku a křeslo působí gravitační síla směrem dolů. Aby je šlo zvednout, musí na velký píst působit síla, která bude větší než gravitační a bude působit opačným směrem (nahoru).

Na pacientku působí gravitační síla F_g1. Její velikost vypočteme podle vzorce:
\[F_\mathrm{g1}\,=\,m_1g\,.\tag{2}\]
Také na křeslo působí gravitační síla o velikosti:
\[F_\mathrm{g2}\,=\,m_2g\,,\tag{3}\]
kde m₁ je hmotnost pacientky, m₂ hmotnost křesla a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Výsledná gravitační síla je součtem těchto dvou sil, tedy:
\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{g1}\,+\,F_\mathrm{g2}\,=\,(m_1\,+\,m_2)g\tag{4}\]
a její velikost je po dosazení rovna F_g = 900 N.

Síla působící na velký píst směrem nahoru je způsobená tlakem, který vyvolá v kapalině doktor tím, že tlačí na malý píst silou 20 N. Pro určení její velikosti vyjdeme z rovnosti tlaku v celém objemu kapaliny (oleje). Musí platit, že tlak p vyvolaný silou doktora působící na malý píst, je všude v kapalině stejný. Tento tlak umíme vypočítat s využitím (1):
\[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,.\tag{4}\]
A protože víme, že tohle musí platit i pro druhý píst, tak:
\[p\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.\tag{6}\]
Z tohoto vzorce umíme vypočítat sílu F₂:
\[F_2\,=\,pS_2\,=\,\frac{F_1}{S_1}S_2.\tag{7}\]
Dosadíme-li číselně, vyjde:
\[F_2\,=\,\frac{20}{5}\cdot200 \,\mathrm{N} = 800 \,\mathrm{N}\,.\]
Protože gravitační síla působící na pacientku a křeslo směrem dolů je větší, než síla působící na ně směrem nahoru, zubař pacientku silou 20 N zvednout nedokáže.

Část b)

Z a) už víme, jaká gravitační síla působí na pacientku a křeslo směrem dolů. Aby je doktor zvedl, musí síla působící směrem nahoru být větší než tato síla. Dále víme, že tlak v celém objemu kapaliny se zachovává a platí pro něj (5), (6). Budeme vycházet ze situace, kdy by došlo k rovnosti sil působících na křeslo s pacientkou, tedy kdy F_g = F_2n.

F_2n je nová síla, s níž už doktor pacientku zvedne.

Velikost síly F_g jsme již vypočítali (900 N). Potřebujeme, aby síla F_2n byla také aspoň 900 N (a jak jsme již řekli, budeme uvažovat tento krajní případ F_2n = 900 N). Víme dál, že platí (5) a (6), takže i rovnost:
\[\frac{F_\mathrm{1n}}{S_1}\,=\,\frac{F_\mathrm{2n}}{S_2}\,. \tag{8}\]
Z ní můžeme vyjádřit neznámou sílu, kterou musí doktor tlačit na menší píst:
\[F_\mathrm{1n}\,=\,\frac{F_\mathrm{2n}}{S_2}S_1\,. \tag{9}\]
Číselně:
\[F_\mathrm{1n}\,=\,\frac{900}{200}\cdot5 \,\mathrm{N} = 22{,}5 \,\mathrm{N}\,.\]
Číselně dostáváme, že síla, kterou musí zubař tlačit na menší píst, je 22,5 N. Tedy o 2,5 N větší, než působil původně.

Poznámka: Na začátku musí doktor zatlačit o trochu více, aby křeslo s pacientkou rozjel, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.
Odpověď
a) Doktor pacientku nezvedne.

b) Doktor musí působit silou minimálně o 2,5 N větší, aby pacientku zvedl.