Zubař

Úloha číslo: 915

Zubař zvedá pacientku o hmotnosti 60 kg na křesle, které má hmotnost 30 kg. Malý píst zvedacího zařízení má plochu o obsahu 5 cm2 a velký píst má plochu 200 cm2. Doktor tlačí na menší píst silou 20 N.

a) Zvedne doktor pacientku touto silou?

b) Jestliže nezvedne, urči, o kolik newtonů musí být větší síla, kterou by měl doktor působit na menší píst, aby pacientku zvedl.

  • Zápis

    m1 = 60 kg hmotnost pacientky
    m2 = 30 kg hmotnost křesla
    S1 = 5 cm2 obsah plochy malého pístu
    S2 = 200 cm2 obsah plochy velkého pístu
    F1 = 20 N síla na malý píst
    Z tabulek:
    g = 10 N/kg číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu
  • K části a: nápověda 1

    Na jakém principu funguje zvedací zařízení zubařského křesla? A proč je tedy výhodné, aby pacientka s křeslem byla na pístu, který má větší obsah?

  • K části a: nápověda 2

    Jaké síly působí na pacientku a křeslo a kterým působí směrem? Co musí platit pro působící síly, aby zubař pacientku s křeslem zvedl?

  • K části a: nápověda 3

    Jak velká je gravitační síla, která působí na pacientku s křeslem?

  • K části a: nápověda 4

    Kde se vezme síla působící na velký píst směrem nahoru?

  • K části a: nápověda 5

    Vypočítejte velikost síly působící na velký píst.

  • K části a: nápověda 6

    Porovnejte velikost síly F2 s velikostí gravitační síly působící na pacientku a křeslo a vytvořte závěr.

  • K části b: nápověda 1

    Podívejte se na Nápovědu 2 v části a). Co musí platit pro velikost síly, kterou zubař musí tlačit na menší píst, aby pacientku zvedl?

  • K části b: nápověda 2

    Vypočtěte velikost síly, kterou doktor musí tlačit na menší píst, aby pacientku zvedl a porovnejte s původní velikostí.

  • Poznámka

    Na začátku musí doktor zatlačit o trochu více, aby křeslo s pacientkou rozjel, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.

  • Celkové řešení

    Zvedací zařízení funguje na principu hydraulického lisu. Tedy malou silou (F1, viz obr.) působící na malý píst se přečerpává kapalina (zde např. olej) do většího válce a vyvolává se několikrát větší síla (F2, viz obr.) působící na velký píst. Je to proto, že tlak v kapalině, který vznikne působením vnější síly na povrch kapaliny v uzavřené nádobě, je v každém místě kapaliny stejný. A protože tlak kapaliny v nádobě vzniklý působením síly F na plochu o obsahu S je učen vztahem: \[p\,=\,\frac{F}{S},\tag{1}\]

    platí tedy:

    \[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}\]

    a je vidět, že na píst s větším obsahem musí působit kapalina větší silou, aby platilo, že tlak zůstává stejný.

    Obrázek k úloze

    Proto doktorovi stačí na menší píst působit menší silou, aby větší píst zvedl pacientku s křeslem.

    Část a)

    Na pacientku a křeslo působí gravitační síla směrem dolů. Aby je šlo zvednout, musí na velký píst působit síla, která bude větší než gravitační a bude působit opačným směrem (nahoru).

    Na pacientku působí gravitační síla Fg1. Její velikost vypočteme podle vzorce:

    \[F_{g1}\,=\,m_1g\,.\tag{2}\]

    Také na křeslo působí gravitační síla o velikosti:

    \[F_{g2}\,=\,m_2g\,,\tag{3}\]

    kde m1 je hmotnost pacientky, m2 hmotnost křesla a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu)

    Výsledná gravitační síla je součtem těchto dvou sil, tedy:

    \[F_g\,=\,F_{g1}\,+\,F_{g2}\,=\,(m_1\,+\,m_2)g\tag{4}\]

    a její velikost je po dosazení rovna Fg = 900 N.

    Síla působící na velký píst směrem nahoru je způsobená tlakem, který vyvolá v kapalině doktor tím, že tlačí na malý píst silou 20 N. Pro určení její velikosti vyjdeme z rovnosti tlaku v celém objemu kapaliny (oleje). Musí platit, že tlak p vyvolaný silou doktora působící na malý píst, je všude v kapalině stejný. Tento tlak umíme vypočítat s využitím (1):

    \[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,.\tag{4}\]

    A protože víme, že tohle musí platit i pro druhý píst, tak:

    \[p\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.\tag{6}\]

    Z tohoto vzorce umíme vypočítat sílu F2.

    \[F_2\,=\,pS_2\,=\,\frac{F_1}{S_1}S_2.\tag{7}\]

    Dosadíme-li číselně, vyjde:

    \[F_2\,=\,\frac{20}{5}\cdot200 \,\mathrm{N} = 800 \,\mathrm{N}\,.\]

    Protože gravitační síla působící na pacientku a křeslo směrem dolů je větší, než síla působící na ně směrem nahoru, zubař pacientku silou 20 N zvednout nedokáže.

    Část b)

    Z a) už víme, jaká gravitační síla působí na pacientku a křeslo směrem dolů. Aby je doktor zvedl, musí síla působící směrem nahoru být větší než tato síla. Dále víme, že tlak v celém objemu kapaliny se zachovává a platí pro něj (5), (6). Budeme vycházet ze situace, kdy by došlo k rovnosti sil působících na křeslo s pacientkou, tedy kdy Fg = F2n.

    F2n je nová síla, s níž už doktor pacientku zvedne.

    Velikost síly Fg jsme již vypočítali (900 N). Potřebujeme, aby síla F2n byla také aspoň 900 N (a jak jsme již řekli, budeme uvažovat tento krajní případ F2n = 900 N). Víme dál, že platí (5) a (6), takže i rovnost:

    \[\frac{F_{1n}}{S_1}\,=\,\frac{F_{2n}}{S_2}\,. \tag{8}\]

    Z ní můžeme vyjádřit neznámou sílu, kterou musí doktor tlačit na menší píst:

    \[F_{1n}\,=\,\frac{F_{2n}}{S_2}S_1\,. \tag{9}\]

    Číselně:

    \[F_{1n}\,=\,\frac{900}{200}\cdot5 \,\mathrm{N} = 22{,}5 \,\mathrm{N}\,.\]

    Číselně dostáváme, že síla, kterou musí zubař tlačit na menší píst, je 22,5 N. Tedy o 2,5 N větší, než působil původně.

    Poznámka: Na začátku musí doktor zatlačit o trochu více, aby křeslo s pacientkou rozjel, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.

  • Odpověď

    a) Doktor pacientku nezvedne.

    b) Doktor musí působit silou minimálně o 2,5 N větší, aby pacientku zvedl.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na porovnávání a rozlišování
Úloha na hodnocení
Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
×Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
Zaslat komentář k úloze