Jedoucí kolo

Úloha číslo: 123

Kolo o poloměru R jede rovnoměrně přímočaře rychlostí v0. V systému souřadnic spojeném se zemí určete:

a) průběh polohového vektoru bodu X na obvodu kola,

b) průběh rychlosti bodu X a průběh její velikosti,

c) pomocí výsledku a) načrtněte tvar trajektorie a vypočtěte délku jednoho jejího oblouku,

d) určete délku uražené dráhy v závislosti na čase.

  • Nápověda 1: Obrázek situace

    Zvolte vhodně souřadnicové osy a počátek soustavy souřadnic.

    Nakreslete situaci pro čas t = 0 s. Počáteční polohu bodu X volte v počátku soustavy souřadnic.

    Pak nakreslete situaci pro čas t a vyznačte polohu bodu X, kam až se za čas t dostal.

    Vyznačte do obrázku dráhu, o kterou se kolo odvalilo za čas t. Jak je dlouhá?

  • Nápověda 2 pro a): Průběh polohového vektoru

    Pohyb bodu X si rozložte na pohyb ve směru osy x a rotaci kolem bodu S.

    Zkuste najít tři jednodušší vektory, s jejichž pomocí můžete polohový vektor \(\vec{PX}\) zapsat.

  • Nápověda 3 pro b): Průběh rychlosti a velikosti rychlosti

    Jakým způsobem získáte z průběhu polohového vektoru bodu X průběh vektoru rychlosti bodu X? Zapište jej.

    Jak z něj zjistíte průběh velikosti rychlosti bodu X?

  • Nápověda 4 pro c): Trajektorie pohybu, délka oblouku

    Tvar trajektorie určete z průběhu polohového vektoru bodu X.

    Nakreslete obrázek.

    Znáte průběh velikosti rychlosti, jak spočtete délku jednoho oblouku, tedy dráhu uraženou za jednu otočku?

  • Nápověda 5 pro d): Uražená dráha v závislosti na čase

    Víte, jakou dráhu urazí bod X za jednu periodu.

    Dráhu uraženou za čas t < T umíte spočítat s pomocí vztahu pro průběh velikosti rychlosti.

    Jak potom vyjádříte celkovou dráhu uraženou za libovolný čas t?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ:

    Obrázek situace:

    Obrázek k řešení situace

    Stopky spustíme (t = 0 s) například v okamžiku, kdy se bod X dotýká vozovky. Tento bod na vozovce zvolíme za počátek P systému souřadnic. Osu x namíříme ve směru pohybu kola podél vozovky, osu y kolmo vzhůru.

    Situaci v čase t = 0 s znázorňuje obrázek.

    Za čas t se kolo odvalí o v0t ve směru osy x a vznikne situace znázorněná druhým obrázkem.

    Z počátku P se bod X přemístí vlevo nahoru. Jestliže kolo neprokluzuje, je oblouk TX stejně velký jako odvalená dráha v0t. Orientovaný úhel TSX je roven: \[\alpha\,=\, -\omega{t}\,=\, -\frac{v_0t}{R}\,.\]

    a) Polohový vektor

    Polohový vektor \(\vec{PX}\,=\,\vec{r}\left(t\right),\) se poměrně složitě mění. Natahuje se doprava a střídavě se zvedá vzhůru a opět klesá. Tento vektor můžeme složit ze tří vektorů, které se chovají mnohem jednodušeji:

    \[\vec{PX}\,=\,\vec{PT}+\vec{TS}+\vec{SX},\]

    \(\vec{PX}\) … se natahuje podél osy x rychlostí v0: \(\vec{PT}\,=\,v_0t\vec{\,i\,},\)

    \(\vec{TS}\) … ční ve směru osy y: \(\vec{TS}\,=\,R\vec{\,j\,},\)

    \(\vec{SX}\) … rovnoměrně rotuje ve směru hodinových ručiček kolem bodu S.

    \[\vec{SX}\,=\,R\cos\left(-\frac{v_0t}{R}-\frac{\pi}{2}\right)\vec{\,i\,}+R\sin\left(-\frac{v_0t}{R}-\frac{\pi}{2}\right)\vec{\,j\,},\]

    kde \(\left(-\frac{v_0t}{R}-\frac{\pi}{2}\right)\) je orientovaný úhel, který svírá vektor \(\vec{SX}\)s osou x.

    Dosazením do vztahu:

    \[\vec{PX}\,=\,\vec{PT}+\vec{TS}+\vec{SX}\]

    a použitím vztahů:

    \[\cos\left(-\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\,=\,-\sin\alpha,\] \[\sin\left(-\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\,=\,-\cos\alpha,\]

    dostáváme pro polohový vektor \(\vec{r}\left(t\right) \,=\, \vec{PX}\):

    \[\vec{PX}\,=\,\left(v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,i\,}+\left(R-R\cos\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,j\,},\]

    případně ve složkách:

    \[x\,=\,v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R},\] \[y\,=\,R-R\cos\frac{v_0t}{R},\] \[z\,=\,0.\]

    b) Průběh vektoru rychlosti a velikosti rychlosti

    Průběh vektoru rychlosti \(\vec{v}\left(t\right)\) určíme derivováním funkce \(\vec{r}\left(t\right)\):

    \[\vec{r}\left(t\right) \,=\, \vec{PX}\,=\,\left(v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,i\,}+\left(R-R\cos\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,j\,},\] \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,\frac{\mathrm{d}\left(v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R}\right)}{\mathrm{d}t}\vec{\,i\,}+\frac{\mathrm{d}\left(R-R\cos\frac{v_0t}{R}\right)}{\mathrm{d}t}\vec{\,j\,}.\]

    Po zderivování obdržíme pro průběh rychlosti:

    \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,\left(v_0-v_0\cos\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,i\,}+v_0\sin\frac{v_0t}{R}\vec{\,j\,}.\]

    Velikost rychlosti je absolutní hodnotou tohoto vektoru:

    \[v\left(t\right)\,=\,\left|\vec{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}\,=\,\sqrt{\left(v_0-v_0\cos\frac{v_0t}{R}\right)^{2}+ \left(v_0\sin\frac{v_0t}{R}\right)^{2}},\] \[v\left(t\right)\,=\, \sqrt{v_0^2 - 2v_0^2{{\cos}\left(\frac{v_0t}{R}\right)} + v_0^{2}\left({\cos}^{2}\left(\frac{v_0t}{R}\right) + {\sin}^{2}\left(\frac{v_0t}{R}\right)\right)},\] \[v(t)= \sqrt{2v_0^{2} - 2v_0^{2}{\cos}(\frac{v_0t}{R})},\] \[v\left(t\right)\,=\, 2v_0\sqrt{\frac{1-\cos\frac{v_0t}{R}}{2}}.\]

    Nebo použitím vztahu \(\left|\sin\frac{\alpha}{2}\right|\,=\,\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}},\) zjednodušeně:

    \[v\left(t\right)\,=\,2v_0\left|\sin\frac{v_0}{2R}t\right|.\]

    c) Trajektorie a délka jednoho oblouku

    Trajektorii určíme nejpohodlněji například ze složek vektoru \(\vec{PX}\):

    \[x\,=\,v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R},\] \[y\,=\,R-R\cos\frac{v_0t}{R},\] \[z\,=\,0.\]

    Určíme několik bodů (x, y) trajektorie například pro časy 0, \(\frac{T}{6}\), \(\frac{2T}{6}\), \(\frac{3T}{6}\) atd.

    Pro zjednodušení numerického výpočtu předpokládáme \(R\,=\,1\,\mathrm{m}\) a \(v\,=\,1\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}.\)

    Ze vztahů

    \[ x\,=\,v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R},\] \[y\,=\,R-R\cos\frac{v_0t}{R},\] \[z\,=\,0,\]

    pak dostáváme:

    Trajektorie bodu na kole
    x 0 0,18 1,23 3,13  5,05  6,10 6,28
    y 0 0,5 1,5 2,0 1,5 0,5 0

     

    Délka jednoho oblouku je rovna dráze uražené bodem za jednu periodu, tedy:

    \[s_T\,=\,\int_0^{T}{v(t)}\,\mathrm{d}t,\]

    kde \(v\left(t\right) \,=\, 2v_0\left|\sin\frac{v_0}{2R}t\right|.\)

    Jedna perioda je rovna \(T\,=\,\frac{2\pi{R}}{v_0}\). V intervalu od 0 do T nabývá \(\sin\frac{v_0}{2R}t\) kladných hodnot, takže není třeba psát absolutní hodnotu.

    \[s_T\,=\,\int_0^{T}\left({2v_0\sin\frac{v_0}{2R}t}\right)\mathrm{d}t \,=\, 2v_0\frac{2R}{v_0}\left[-\cos\frac{v_0t}{2R}\right]_0^{T},\] \[s_T \,=\, 4R\left(-\cos\frac{v_02\pi{R}}{2Rv_0} + 1\right) \,=\, 8R. \]

    Délka jednoho oblouku je tedy: \(s_T\, =\, 8R\)

     

    d) Uražená dráha v závislosti na čase

    Pro odkutálení o víc než jednu obrátku získáme celou dráhu jako součet drah celých otoček a zbytku.

    Víme, že délka jednoho oblouku je \(s_T\,=\,8R.\)

    Dráha celých otoček je rovna:

    \[s_c\,=\,\left(INT\frac{t}{T}\right)\cdot 8R,\]

    kde \(INT\frac{t}{T}\) je celočíselná část podílu \(\frac{t}{T}.\)

    Zbylou dráhu spočítáme ze vztahu:

    \[s_z\,=\,\int_0^{t_z}{v(t)}\,\mathrm{d}t,\]

    kde \(v\left(t\right) \,=\, 2v_0\left|\sin\frac{v_0}{2R}t\right|.\)

    Jedna perioda je rovna \(T\,=\,\frac{2\pi{R}}{v_0}\). V intervalu od 0 do T nabývá \(\sin\frac{v_0}{2R}t\) kladných hodnot a tz < T, takže není třeba psát absolutní hodnotu.

    \[s_z\,=\,\int_0^{t_z}{2v_0\left|\sin\frac{v_0}{2R}t\right|}\mathrm{d}t\,=\,2v_0\frac{2R}{v_0}\left[-\cos\frac{v_0t}{2R}\right]_0^{t_z},\] \[s_z\, =\,4 R\left(1-\cos\frac{v_0t_z}{2R}\right)\,=\,8R\sin^{2}\frac{v_0t_z}{4R}.\]

    Celá dráha uražená za čas t je pak rovna:

    \[s\left(t\right)\,=\,\left(INT\frac{t}{T}\right)\cdot 8R+8R\sin^{2}\frac{v_0t_z}{4R}.\]

    První člen zde představuje součty celých obloučků, druhý člen příslušnou část posledního, neúplného obloučku.

    Graf funkce \(s\left(t\right)\,=\,\left(INT\frac{t}{T}\right)\cdot 8R+8R\sin^{2}\frac{v_0t_z}{4R}\) má tento průběh:

    Graf závislosti dráhy na čase
  • Odpověď

    a) Pro průběh polohového vektoru bodu X na obvodu kola platí:

    \[\vec{r}\left(t\right) \,=\, \vec{PX}\,=\,\left(v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,i\,}+\left(R-R\cos\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,j\,},\]

    případně ve složkách:

    \[x\left(t\right) \,=\, v_0t-R\sin\frac{v_0t}{R},\] \[y\left(t\right) \,=\, R-R\cos\frac{v_0t}{R},\] \[z\left(t\right) \,=\, 0.\]

     

    b) Pro průběh rychlosti bodu X platí:

    \[\vec{v}\left(t\right)\,=\,\left(v_0-v_0\cos\frac{v_0t}{R}\right)\vec{\,i\,}+v_0\sin\frac{v_0t}{R}\vec{\,j\,}.\]

    Velikost rychlosti bodu X je:

    \[v\left(t\right)\,=\,\left|\vec{v}\left(t\right)\right|\,=\,\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}\,=\,2v_0\left|\sin\frac{v_0}{2R}t\right|.\]

     

    c) Tvar trajektorie je:

    Trajektorie bodu na kole

    Délka jednoho oblouku je: \(s_T\,=\, 8R.\)

     

    d) Délka uražené dráhy v závislosti na čase je:

    \[s\left(t\right)\,=\,\left(INT\frac{t}{T}\right)\cdot 8R+8R\sin^{2}\frac{v_0t_z}{4R},\]

    kde \(INT\frac{t}{T}\) je celočíselná část podílu \(\frac{t}{T}\) a \(t_z \,=\,t - \left(INT\frac{t}{T}\right)T.\)

    (První člen zde představuje součty celých obloučků, druhý člen příslušnou část posledního, neúplného obloučku.)

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze