Mariánský příkop

Úloha číslo: 913

Nejhlubší podmořská propast Challenger v Mariánském příkopu je hluboká více než 11 km. V roce 1960 dosáhli badatelé Jacques Piccard a Don Walsh se svým batyskafem Triste téměř na její dno, do hloubky asi 10 900 m. Od té doby lidstvo tento výkon dosud nezopakovalo.

Posádka byla při sestupu uzavřena ve speciální kabině ve tvaru koule o průměru 2,2 m. Vypočtěte, jak velké tlakové síle mořské vody muselo v hloubce 10 900 m odolávat okénko O₁ o obsahu 3 dm² na horní části batyskafu a jak velká tlaková síla působila na okénko O₂ o stejném obsahu 3 dm² na spodní části batyskafu. Jak se projeví rozdíl ve velikostech obou sil? Atmosférický tlak neuvažujte.

Zápis

h = 10 900 m	hloubka středu batyskafu
d = 2,2 m	průměr batyskafu
S = 3 dm²	obsah plochy jednoho okénka

Z tabulek:
ρ = 1025 kg/m³	hustota mořské vody
g = 10 N/kg	číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu

Nápověda 1
Jaký druh tlakové síly na okénka v této hloubce působil? Umíte tuto sílu spočítat?
Řešení k nápovědě 1
Na okénka působí hydrostatická tlaková síla, kterou lze spočítat jako:
\[F_{h}\,=\,h{\rho}gS,\tag{1}\]
kde h je hloubka, v níž se dané okénko nachází, ρ je hustota okolní kapaliny (v našem případě mořské vody), g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu), S je obsah plochy, na kterou hydrostatická tlaková síla působí (tedy obsah okénka).
Nápověda 2
Jak určíme hloubku h₁, v níž se nachází okénko O₁, a hloubku h₂, ve které je okénko O₂? (Všimněte si, co všechno známe.)
Řešení k nápovědě 2
Z obrázku je vidět, že střed kabiny se nachází v hloubce 10 900 m. Okénko O₁ je v hloubce h₁ = 10 900 m – d/2, kde d je průměr kabiny. Okénko O₂ je v hloubce h₂ = 10 900 m + d/2.
Nápověda 3
Vypočítejte hydrostatickou tlakovou sílu na okénko O₁.
Řešení k nápovědě 3
Hydrostatická tlaková síla na okénko O₁ je:
\[F_{h1}\,=\,h_1{\rho}gS_1,\]
kde h₁ je hloubka, v níž se nachází okénko O₁, ρ = 1,025 g/cm³ je hustota mořské vody, S₁ je obsah plochy okénka:
\[F_{h1}\,=\,(10900\,-\,1{,}1)\cdot{1025}{\cdot}10{\cdot}0{,}03\,\mathrm{N}\,\dot=\,3\,351\,412\,\mathrm{N},\] \[F_{h1}\,\dot=\,3\,351{,}4\,\mathrm{kN}.\]
Nápověda 4
Pomocí již známé hloubky, ve které je okénko O₂, určete hydrostatickou tlakovou sílu na toto okénko.
Řešení k nápovědě 4
Hydrostatickou tlakovou sílu na okénko O₂ můžeme vypočítat také podle vzorce (1). Tedy:
\[F_{h2}\,=\,h_2{\rho}gS_2,\]
kde h₂ je hloubka, v níž se nachází okénko O₂, ρ = 1,025 g/cm³ je hustota mořské vody, S₂ je obsah plochy okénka.
\[F_{h2}\,=\,(10900\,+\,1{,}1)\cdot{1025}{\cdot}10{\cdot}0{,}03\,\mathrm{N}\,\dot=\,3\,352\,088\,\mathrm{N}\] \[F_{h2}\,\dot=\,3\,352,\,1\,\mathrm{kN}\]
Nápověda 5
Porovnejte velikosti obou sil a porovnejte směr, kterým síly působí.
Řešení k nápovědě 5
Síla působící na spodní okénko O₂ je větší než síla působící na horní okénko O₁. Tyto síly působí opačným směrem − síla na okénko O₁ působí směrem dolů, síla na okénko O₂ působí směrem nahoru.
Nápověda 6
Co se děje s tělesem (v našem případě kabinou batyskafu), na které působí dvě různě velké síly, každá jiným směrem? Využijte poznatky ze skládání sil.
Řešení k nápovědě 6
Tyto dvě síly můžeme přenést do jednoho společného působiště a složit je. Jejich výslednicí bude síla působící ve směru větší z těchto dvou sil. Tedy v našem případě bude výsledná síla působit směrem nahoru. Její velikost pak bude rovna rozdílu velikostí původních (skládaných) sil.

Této „nové“ síle, která vlastně nadlehčuje tělesa v tekutinách, říkáme hydrostatická vztlaková síla.
Poznámka
Spočítali jsme jen jeden příspěvek k celkové vztlakové síle působící na batyskaf. Pokud bychom chtěli spočítat celkovou vztlakovou sílu, museli bychom připočítat i příspěvky od dalších „okének“ na plášti batyskafu.
Celkové řešení
Na okénka působí hydrostatická tlaková síla, kterou lze spočítat jako:
\[F_{h}\,=\,h{\rho}gS,\tag{1}\]
kde h je hloubka, v níž se dané okénko nachází, ρ je hustota okolní kapaliny (v našem případě mořské vody), g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu), S je obsah plochy, na kterou hydrostatická tlaková síla působí (tedy obsah okénka).

Z obrázku je vidět, že střed kabiny se nachází v hloubce 10 900 m. Okénko O₁ je v hloubce h₁ = 10 900 m – d/2, kde d je průměr kabiny. Okénko O₂ je v hloubce h₂ = 10 900 m + d/2.

Hydrostatická tlaková síla na okénko O₁ je:
\[F_{h1}\,=\,h_1{\rho}gS_1,\]
kde h₁ je hloubka, v níž se nachází okénko O₁, ρ = 1025 kg/m³ je hustota mořské vody, S₁ je obsah plochy okénka.
\[F_{h1}\,=\,(10900\,-\,1{,}1)\cdot{1025}{\cdot}10{\cdot}0{,}03\,\mathrm{N}\,\dot=\,3\,351\,412\,\mathrm{N}\] \[F_{h1}\,\dot=\,3\,351{,}4\,\mathrm{kN}\]
Hydrostatickou tlakovou sílu na okénko O₂ můžeme vypočítat také podle vzorce (1). Tedy:
\[F_{h2}\,=\,h_2{\rho}gS_2,\]
kde h₂ je hloubka, v níž se nachází okénko O₂, ρ = 1025 kg/m³ je hustota mořské vody, S₂ je obsah plochy okénka.
\[F_{h2}\,=\,(10900\,+\,1{,}1)\cdot{1025}{\cdot}10{\cdot}0{,}03\,\mathrm{N}\,\dot=\,3\,352\,088\,\mathrm{N}\] \[F_{h2}\,\dot=\,3\,352,\,1\,\mathrm{kN}\]
Síla působící na spodní okénko O₂ je větší než síla působící na horní okénko O₁. Tyto síly působí opačným směrem - síla na okénko O₁ působí směrem dolů, síla na okénko O₂ působí směrem nahoru.

Tyto dvě síly můžeme přenést do jednoho společného působiště a složit je. Jejich výslednicí bude síla působící ve směru větší z těchto dvou sil. Tedy v našem případě bude výsledná síla působit směrem nahoru. Její velikost pak bude rovna rozdílu velikostí původních (skládaných) sil.

Této „nové“ síle, která vlastně nadlehčuje tělesa v tekutinách, říkáme hydrostatická vztlaková síla.

Poznámka: Spočítali jsme jen jeden příspěvek k celkové vztlakové síle působící na batyskaf. Pokud bychom chtěli spočítat celkovou vztlakovou sílu, museli bychom připočítat i příspěvky od dalších „okének“ na plášti batyskafu.
Odpověď
Horní okénko batyskafu by muselo odolávat hydrostatické tlakové síle o velikosti přibližně 3 351,4 kN.

Dolní okénko batyskafu by muselo odolávat hydrostatické tlakové síle o velikosti přibližně 3 352,1 kN.

Výslednice těchto dvou sil směřuje vzhůru a nadlehčuje ve vodě batyskaf (je příspěvkem k hydrostatické vztlakové síle).