Tyč opřená o schod

Úloha číslo: 525

Homogenní tyč o délce L a hmotnosti m je opřena o schod výšky H < L, tyč svírá se svislým směrem úhel α. Určete velikost a směr sil, kterými působí schod a podlaha na tyč. Určete velikost třecí síly u podlahy, je-li tyč v klidu. Tření mezi tyčí a schodem zanedbejte.
Zadání tyče opřené o žebřík
  • Zápis

    L délka tyče
    m hmotnost tyče
    H výška schodu
    α úhel, který svírá tyč se svislým směrem
    T = ? velikost třecí síly u podlahy
    ? velikost a směr dalších sil, kterými působí schod a podlaha na tyč
  • Nápověda 1

    Jaké síly působí na tyč? Zakreslete je do obrázku.
  • Nápověda 2

    Co platí pro síly a momenty sil, je-li tyč v rovnováze?
  • Nápověda 3

    Zapište si podmínky rovnováhy a přepište je skalárně.

  • Nápověda 4:

    Vyjádřete vzdálenost R a z rovnic (1), (2) a (3) pak hledané síly.

  • Celkové řešení

    Nakreslíme obrázek a vyznačíme působící síly.

    řešení sil

    Na tyč působí v těžišti tíhová síla \(\vec{G} = m \vec{g}\).

    Podlaha na žebřík jednak tlačí kolmo vzhůru silou \(\vec{F}_B\) a dále na něj působí třecí silou \(\vec{T}\), která brání sklouznutí, směrem doleva. Schod tlačí silou \(\vec{F}_A\) kolmo na žebřík.

    Působící síly udržují tyč v rovnováze. Znamená to, že výslednice sil působících na tyč musí být nulová a také výslednice momentů těchto sil musí být rovna nule (vzhledem k libovolnému bodu).

    Výslednice sil je nulová:

    \[\vec{F}_{A}+\vec{F}_{B}+\vec{G}+\vec{T} = \vec{0}\,.\]

    Zvolíme obvyklou soustavu souřadnic (x je kladné doprava, y je kladné nahoru) a přepíšeme skalárně

    \[ x:\hspace{50px} F_{Ax} = T\,,\] \[y:\hspace{10px} F_{Ay}+F_B = G\,.\]

    Pro složky síly \(\vec{F}_A\) platí:

    \[F_{Ax} = F_A \cos \alpha\,,\] \[F_{Ay} = F_A \sin \alpha\,.\]

    A tedy:

    \[ F_A \cos \alpha = T\,,\tag{1}\] \[ F_A \sin \alpha + F_B = G\,.\tag{2}\]

    Výslednice momentů sil je vzhledem k libovolnému bodu nulová :

    \[\vec{M}_{G}+\vec{M}_{A}+\vec{M}_{B}+\vec{M}_T = \vec{0}\,.\]

    Připomeňme si ještě vztah pro moment síly \(\vec{F}\) vzhledem k bodu O:

    \[\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\,.\]

    Pro velikost momentu platí: \(M = rF\sin \varphi\), kde \(\varphi\) je úhel, který svírají vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\).

    ilustrace vektorového součinu

    Směr momentu síly je kolmý na rovinu, ve které leží vektory \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\), orientace se určí pomocí pravidla pravé ruky: prsty dáme tak, aby směřovaly od \(\vec{r}\) k \(\vec{F}\) , napnutý palec pak ukazuje směr vektoru \(\vec{M}\).

    Momenty sil budeme určovat vůči bodu Q, kde tyč stojí na zemi. Tím vynulujeme momenty sil, které působí v daném bodě (\(\vec{r}_T = \vec{0}\) a \(\vec{r}_B = \vec{0}\)).

    Zbývá:

    \[ \vec{M}_G + \vec{M}_A = \vec{0}\,.\]

    Za záporný směr otáčení zvolíme směr otáčení hodinových ručiček, momenty sil mířící „za papír“ budeme uvažovat jako záporný. Pak

    \[ M_G - M_A = 0\,.\]

    Pro velikosti momentů platí:

    \[ \frac{L}{2} G \sin \alpha - RF_A = 0\,,\tag{3}\]

    kde R je vzdálenost bodu Q od působiště síly \(\vec{F}_A\).

    Vzdálenost působiště síly FA od Q spočítáme z trojúhelníku, jehož strany tvoří podlaha, tyč a boční strana schodu. Úhel mezi schodem a tyčí je α, takže

    \[R=\frac{H}{\cos \alpha}\,.\]

    Zbytek je jednoduchá matematika. Z (3) dostáváme:

    \[F_A=GL \frac{\sin \alpha} {2R}\,.\]

    Dosadíme za R:

    \[F_A=GL \frac{\sin \alpha \cos \alpha} {2H}\,.\]

    Z (1):

    \[T= F_A \cos \alpha = GL \frac{\sin \alpha \cos^2\alpha}{2H}\,.\]

    Zbývá síla FB, kterou získáme dosazením FA do (2):

    \[F_B=G -GL \frac{\sin^2\alpha \cos \alpha}{2H}\,.\]

    Výsledky lze ještě upravit pomocí \[\sin(2\alpha)=2 \sin \alpha \cos \alpha\,,\]

    \[F_A=GL \frac{\sin 2\alpha} {4H}\,,\] \[F_B=G-GL \frac{\sin 2\alpha \sin \alpha} {4H}\,,\] \[T=GL \frac{\sin 2\alpha \cos \alpha} {4H}\,.\]
  • Odpověď:

    Pro velikosti působícících sil platí:

    \[F_A=GL \frac{\sin 2\alpha} {4H}\,,\] \[F_B=G-GL \frac{\sin 2\alpha \sin \alpha} {4H}\,.\] \[T=GL \frac{\sin 2\alpha \cos \alpha} {4H}\,.\]

    Směr těchto sil ukazuje obrázek.

    řešení schodu
  • Podobná úloha

    Vyřešeno? Zkuste podobnou úlohu Opřený žebřík.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze