Záhadný kov

Úloha číslo: 935

Při archeologických vykopávkách nalezl jeden archeolog úlomek neznámého kovu. Chtěl zjistit, o jaký kov se jedná. Zavěsil úlomek kovu na siloměr a zjistil, že ukazuje výchylku 0,92 N. Pak ponořil úlomek do vody. Siloměr ukázal 0,84 N. O jaký kov se jednalo?

Obrázek k zadání
  • Nápověda 1

    Jaká fyzikální veličina, kterou můžeme určit ze zadání, by nám pomohla zjistit, o jaký kov se jedná?

  • Nápověda 2

    Rozmyslete si, jaké síly působí na úlomek zavěšený na siloměru ve vzduchu a ve vodě a co pro ně platí.

  • Nápověda 3

    Vydělte rovnice (1), (2) a vyjádřete hustotu ρ.

  • Nápověda4

    Z tabulek či internetu zjistěte hustotu vody a vzduchu, dosaďte do vztahu (3) a číselně dopočítejte hustotu ρ. S pomocí tabulek či internetu určete, o jaký kov se jednalo.

  • Celkové řešení

    Hledáme hustotu ρ kovu, ze kterého je úlomek.

     

    Síly působící na úlomek ve vzduchu a ve vodě

    Síly působící na úlomek ve vzduchu a ve vodě

    Ve vzduchu

    Platí:

    \[F_{G}=F_{1}+F_{v1}\,,\]

    kde FG je tíhová síla, F1 síla, kterou táhne siloměr, a Fv1 je vztlaková síla vzduchu.

    Tedy:

    \[mg=F_{1}+ V\rho_v g\,,\]

    kde m je hmotnost úlomku, g tíhové zrychlení, V objem úlomku a ρv je hustota vzduchu.

    Protože \(m=\rho V\), kde ρ je hustota úlomku, dostáváme:

    \[\rho Vg=F_{1}+ V\rho_v g\,.\]

    Vyjádříme F1:

    \[F_{1}=Vg(\rho-\rho_v)\,.\tag{1}\]

     

    Ve vodě

    Platí:

    \[F_{G}=F_{2}+F_{v2}\,,\]

    kde F2 je síla, kterou táhne siloměr, a Fv2 je vztlaková síla vody.

    Tedy:

    \[mg=F_{2}+ V\rho_{H_{2}O} g\,,\]

    kde ρH2O je hustota vody.

    Protože \(m=\rho V\), dostáváme:

    \[\rho Vg=F_{2}+ V\rho_{H_{2}O} g\,.\]

    Vyjádříme F2:

    \[F_{2}=Vg(\rho-\rho_{H_{2}O})\,.\tag{2}\]

     

    Vydělení rovnic (1), (2) a vyjádření ρ

    Vydělením rovnic (1), ( 2) dostáváme:

    \[ \frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{Vg(\rho -\rho_v )}{Vg(\rho-\rho_{H_{2}O})}\,.\]

    Vykrátíme Vg a obě strany rovnice vynásobíme F2(ρρH2O):

    \[ F_{1}(\rho-\rho_{H_{2}O})=F_{2}(\rho -\rho_v )\,.\]

    Roznásobíme závorky, členy s ρ převedeme na levou stranu a zbylé členy na pravou stranu rovnice.

    \[ F_{1}\rho-F_{2}\rho=F_{1}\rho_{H_{2}O} -F_{2}\rho_v\,.\]

    Vytkneme ρ a obě strany rovnice vydělíme (F1F2):

    \[\rho= \frac{F_{1}\rho_{H_{2}O}-F_{2}\rho_v}{F_{1}-F_{2}}\,.\tag{3}\]

     

    Číselné řešení

    Ze zadání víme, že F1  = 0,91 N a F2 = 0,83 N.

    Hustotu vzduchu při 20 °C je podle tabulek: \(\rho_v \dot= 1{,}2\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\).

    Hustota vody při 20 °C je podle tabulek: \(\rho_{H_{2}O} \dot= 998\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\).

    Po dosazení do (3) získáme:

    \[\rho= \frac{0{,}91{\cdot}998-0{,}83{\cdot}1{,}2}{0{,}91-0{,}83}\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \dot =  \frac{907}{0{,}08}\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}} \dot =  11{,}3{\cdot}10^3\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\,.\]

    V tabulkách můžeme dohledat, že hodnota \(\rho=11{,}3\cdot{10}^3\,\mathrm{{\frac{kg}{m^3}}}\) odpovídá olovu.

  • Odpověď

    Hustota nalezeného úlomku je rovna: \[\rho= \frac{m_{v}\rho_{H_{2}O}-m_{{H_{2}O}}\rho_v}{m_{v}-m_{{H_{2}O}}} \dot = 11\cdot{10}^3\,\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\,.\]

    Tato hodnota odpovídá hustotě olova. Nalezený úlomek byl asi olověný.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze