Moment setrvačnosti obruče a disku

Úloha číslo: 556

Mějme tenký disk a tenkou obruč.

A) Bez výpočtu odhadněte, zda bude mít při stejném poloměru, hmotnosti a poloze osy rotace větší moment setrvačnosti obruč nebo disk.

B) Určete moment setrvačnosti tenké obruče hmotnosti m, tvaru kružnice poloměru R vzhledem k ose procházející kolmo jejím středem.

C)Určete moment setrvačnosti tenkého kruhového disku poloměru R a hmotnosti m vzhledem k ose procházející kolmo jeho středem.

  • Nápověda A

    Uvědomte si, na jakých veličinách a v kolikátých mocninách moment setrvačnosti tělesa závisí.

  • Nápověda 1B

    Projděte si teorii vysvětlenou u příkladu Moment setrvačnosti tyče. Jak ji použijeme v tomto případě?

  • Nápověda 2B

    Rozmyslete si, jak bude vypadat konkrétní integrál. Jak vyjádříme délku malého kousku křivky ds, když známe poloměr kružnice a budeme uvažovat její část odpovídající nekonečně malému úhlu ? Neusnadní nám tento pohled určení mezí integrálu?

    Integrování podél obruče
  • Nápověda 1C

    Jak se bude lišit výpočet momentu setrvačnosti disku a obruče? Nepomohou nám nějak výsledky předchozí části?

  • Nápověda 2C

    Vyjádřete moment setrvačnosti jedné „obroučky“. Využijte přitom výsledek z předchozí části.

    Celkový moment setrvačnosti disku pak spočítáte sečtením příspěvků od všech „obrouček“ – neboli integrací.

  • Další možné řešení C

    Úlohu lze také velmi jednoduše řešit převedením na dvojný integrál v polárních souřadnicích:

    \[J_d = \int_{S} \sigma r^2 dS\,.\]  
    Element plochy disku
    \[dS = rd \varphi dr\,,\]   \[J_d = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{R} \sigma r^3 dr d \varphi = \frac{1}{2}\pi \sigma R^4 = \frac{1}{2}m R^2\,.\]
  • Odpověď

    I bez výpočtu lze určit, že moment setrvačnosti obruče bude díky rozložení hmoty vzhledem k ose rotace větší než moment setrvačnosti disku.

    Moment setrvačnosti tenké obruče hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose procházející jeho středem je:

    \[J_o = mR^2\,.\]

    Moment setrvačnosti disku hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose procházející jeho středem je:

    \[J_d = \frac{1}{2} mR^2\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze