Zlato vyvážené závažím

Úloha číslo: 1034

Zlatý předmět má na vzduchu hmotnost 96,25 g. Ponořen ve vodě je vyvážen závažím o hmotnosti 90,25 g. Rozhodněte, zda je předmět dutý. Pokud ano, určete objem dutiny. Hustota zlata je 19,25 g·cm^-3.

Zápis

m₁ = 96,25 g = 0,09625 kg	hmotnost zlatého předmětu
m₂ = 90,25 g = 0,09025 kg	hmotnost závaží
ρ_Au = 19,25 g·cm⁻³	hustota zlata
ΔV = ?	objem dutiny

Nápověda 1
Nakreslete si obrázek a vyznačte do něj síly, které na předmět a závaží působí. Co platí pro velikosti sil?
Řešení nápovědy 1
Na zlatý předmět působí:
- tíhová síla F_G1 směrem svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru,
- tahová síla lanka F₁ směrem svisle vzhůru.
Na závaží působí:
- tíhová síla F_G2 směrem svisle dolů,
- tahová síla lanka F₂ směrem svisle vzhůru.
Poznámka: Působiště tahových sil je v místě uchycení lanka, v obrázku jsou již posunuty do působiště tíhové síly, resp. tíhové a vztlakové síly, tedy do těžiště.

Předmět i závaží jsou vyvážené v klidu. Výslednice sil na ně působící bude tedy nulová. Pro velikosti sil platí:

zlatý předmět:
\[F_\mathrm{G1}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F_{1}\,. \]
závaží:
\[F_\mathrm{G2}\,=\,F_{2}\,.\]
Předpokládáme, že obě tělesa jsou zavěšena ve stejné vzdálenosti od středu vahadla, tah lanka na obou koncích musí být stejný:
\[F_{1}\,=\,F_{2}\,.\]
Platí tedy:
\[F_\mathrm{G2}\,=\,F_\mathrm{G1}\,-\,F_\mathrm{vz}\,.\tag{1}\]
Nápověda 2
Vyjádřete tíhové síly a vztlakovou sílu ze známých vztahů.
Řešení nápovědy 2
Tíhovou sílu vyjádříme jako součin hmotnosti m tělesa a tíhového zrychlení g:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,.\tag{2}\]
Pro vztlakovou sílu platí:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\tag{3}\]
kde V je objem ponořené části tělesa (v našem případě tedy celého zlatého předmětu), ρ hustota kapaliny (zde vody) a g tíhové zrychlení.

Po dosazení ze vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme rovnost:
\[m_2g\,=\,m_1g\,-\,V{\rho}g\,.\tag{4}\]
Zde jedinou neznámou je objem zlatého tělesa V, který vyjádříme jako:
\[V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,.\tag{5}\]
Nápověda 3
Můžete získaný údaj nějak využít k tomu, abyste rozhodli, zda je předmět dutý? Povšimněte si, že jste dosud nepoužili hustotu zlata. Co by se s její pomocí dalo spočítat?
Řešení nápovědy 3
Předcházejícím výpočtem jsme určili reálný objem V zlatého předmětu. S pomocí hustoty zlata můžeme ale nyní spočítat objem V´, který by tento předmět o hmotnosti m₁ zaujímal, kdyby byl homogenní – tedy bez dutiny. Z definice hustoty:
\[{\rho}_\mathrm{Au}\,=\,\frac{m_1}{V'}\,\Rightarrow\,V'\,=\,\frac{m_1}{{\rho}_\mathrm{Au}}\,.\tag{6}\]
Nápověda 4
Nyní porovnejte objemy V (reálný objem zlatého předmětu o hmotnosti m₁) a V´ (objem, který by předmět o hmotnosti m₁ měl, kdyby byl homogenní). Jak lze interpretovat jejich rovnost? A jak jejich nerovnost?
Řešení nápovědy 4
Vhodným způsobem, jak porovnat příslušné objemy, je zavedení jejich rozdílu ΔV:
\[{\Delta}V\,=\,V\,-\,V'\,.\tag{7}\]
Jsou-li objemy V a V´ stejné, je ΔV = 0 a předmět dutý není.

Jsou-li objemy V a V´ různé, je ΔV > 0, předmět dutý je a právě ΔV je objem, který reálnému tělesu „přebývá“ – tedy hledaný objem dutiny.
Nápověda 5
Z rozdílu objemů V a V´ vyjádřete případný objem dutiny ΔV a číselně dopočítejte.
Řešení nápovědy 5
Spojením vztahů (5), (6) a (7) dostáváme:
\[{\Delta}V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,-\,\frac{m_1}{\rho_\mathrm{Au}}\,.\]
Číselně:
\[{\Delta}V\,=\,(\frac{0{,}09625\,-\,0{,}09025}{1000}\,-\,\frac{0{,}09625}{19250})\,\mathrm{m^3}\,\dot=\,1\,\mathrm{cm^3}\,.\]
Zlatý předmět dutý je a objem dutiny je přibližně 1 cm³.
Celkové řešení
Na zlatý předmět působí:
- tíhová síla F_G1 směrem svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru,
- tahová síla lanka F₁ směrem svisle vzhůru.
Na závaží působí:
- tíhová síla F_G2 směrem svisle dolů,
- tahová síla lanka F₂ směrem svisle vzhůru.
Poznámka: Působiště tahových sil je v místě uchycení lanka, v obrázku jsou již posunuty do působiště tíhové síly, resp. tíhové a vztlakové síly, tedy do těžiště.

Předmět i závaží jsou vyvážené v klidu. Výslednice sil na ně působící bude tedy nulová. Pro velikosti sil platí:

zlatý předmět:
\[F_\mathrm{G1}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F_{1}\,. \]
závaží:
\[F_\mathrm{G2}\,=\,F_{2}\,.\]
Předpokládáme, že obě tělesa jsou zavěšena ve stejné vzdálenosti od středu vahadla, tah lanka na obou koncích musí být stejný:
\[F_{1}\,=\,F_{2}\,.\]
Platí tedy:
\[F_\mathrm{G2}\,=\,F_\mathrm{G1}\,-\,F_\mathrm{vz}\,.\tag{1}\]
Tíhovou sílu vyjádříme jako součin hmotnosti m tělesa a tíhového zrychlení g:
\[F_\mathrm{G}\,=\,mg\,.\tag{2}\]
Pro vztlakovou sílu platí:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\tag{3}\]
kde V je objem ponořené části tělesa (v našem případě tedy celého zlatého předmětu), ρ hustota kapaliny (zde vody) a g tíhové zrychlení.

Po dosazení ze vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme rovnost:
\[m_2g\,=\,m_1g\,-\,V{\rho}g\,.\tag{4}\]
Zde jedinou neznámou je objem zlatého tělesa V, který vyjádříme jako:
\[V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,.\tag{5}\]
Tímto výpočtem jsme určili reálný objem V zlatého předmětu. S pomocí hustoty zlata můžeme ale nyní spočítat objem V´, který by tento předmět o hmotnosti m₁ zaujímal, kdyby byl homogenní – tedy bez dutiny. Z definice hustoty:
\[{\rho}_\mathrm{Au}\,=\,\frac{m_1}{V'}\,\Rightarrow\,V'\,=\,\frac{m_1}{{\rho}_\mathrm{Au}}\,.\tag{6}\]
Vhodným způsobem, jak porovnat příslušné objemy, je zavedení jejich rozdílu ΔV:
\[{\Delta}V\,=\,V\,-\,V'\,.\tag{7}\]
Jsou-li objemy V a V´ stejné, je ΔV = 0 a předmět dutý není.

Jsou-li objemy V a V´ různé, je ΔV > 0, předmět dutý je a právě ΔV je objem, který reálnému tělesu „přebývá“ – tedy hledaný objem dutiny.

Spojením vztahů (5), (6) a (7) dostáváme:
\[{\Delta}V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,-\,\frac{m_1}{\rho_\mathrm{Au}}\,.\]
Číselně:
\[{\Delta}V\,=\,(\frac{0{,}09625\,-\,0{,}09025}{1000}\,-\,\frac{0{,}09625}{19250})\,\mathrm{m^3}\,\dot=\,1\,\mathrm{cm^3}\,.\]
Zlatý předmět dutý je a objem dutiny je přibližně 1 cm³.
Odpověď
Zlatý předmět je dutý a objem dutiny je přibližně 1 cm³.