Zlato vyvážené závažím

Úloha číslo: 1034

Zlatý předmět má na vzduchu hmotnost 96,25 g. Ponořen ve vodě je vyvážen závažím o hmotnosti 90,25 g. Rozhodněte, zda je předmět dutý. Pokud ano, určete objem dutiny. Hustota zlata je 19,25 g·cm-3.

  • Zápis

    m1 = 96,25 g = 0,09625 kg hmotnost zlatého předmětu
    m2 = 90,25 g = 0,09025 kg hmotnost závaží
    ρAu = 19,25 g·cm−3 hustota zlata
    ΔV = ? objem dutiny
  • Nápověda 1

    Nakreslete si obrázek a vyznačte do něj síly, které na předmět a závaží působí. Co platí pro velikosti sil?

  • Nápověda 2

    Vyjádřete tíhové síly a vztlakovou sílu ze známých vztahů.

  • Nápověda 3

    Můžete získaný údaj nějak využití k tomu, abyste rozhodli, zda je předmět dutý? Povšiměnte si, že jste dosud nepoužili hustotu zlata. Co by se s její pomocí dalo spočítat?

  • Nápověda 4

    Nyní porovnejte objemy V (reálný objem zlatého předmětu o hmotnosti m1) a  (objem, který by předmět o hmotnosti m1 měl, kdyby byl homogenní). Jak lze interpretovat jejich rovnost? A jak jejich nerovnost?

  • Nápověda 5

    Z rozdílu objemů V vyjádřete případný objem dutiny ΔV a číselně dopočítejte.

  • Celkové řešení

    Nákres situace a působící síly

    Na zlatý předmět působí:

    • tíhová síla FG1 směrem svisle dolů,
    • vztlaková síla Fvz směrem svisle vzhůru,
    • tahová síla lanka F1 směrem svisle vzhůru.

    Na závaží působí:

    • tíhová síla FG2 směrem svisle dolů,
    • tahová síla lanka F2 směrem svisle vzhůru.

    Poznámka: Působiště tahových sil je v místě uchycení lanka, v obrázku jsou již posunuty do působiště tíhové síly, resp. tíhové a vztlakové síly, tedy do těžiště.

     

    Předmět i závaží jsou vyvážené v klidu. Výslednice sil na ně působící bude tedy nulová. Pro velikosti sil platí:

    zlatý předmět:

    \[F_{G1}\,=\,F_{vz}\,+\,F_{1}\,. \]

    závaží:

    \[F_{G2}\,=\,F_{2}\,.\]

    Předpokládáme, že obě tělesa jsou zavěšena ve stejné vzdálenosti od středu vahadla, tah lanka na obou koncích musí být stejný:

    \[F_{1}\,=\,F_{2}\,.\]

    Platí tedy:

    \[F_{G2}\,=\,F_{G1}\,-\,F_{vz}\,.\tag{1}\]

    Tíhovou sílu vyjádříme jako součin hmotnosti m tělesa a tíhového zrychlení g:

    \[F_G\,=\,mg\,.\tag{2}\]

    Pro vztlakovou sílu platí:

    \[F_{vz}\,=\,V{\rho}g\,,\tag{3}\]

    kde V je objem ponořené části tělesa (v našem případě tedy celého zlatého předmětu), ρ hustota kapaliny (zde vody) a g tíhové zrychlení.

    Po dosazení ze vztahů (2) a (3) do vztahu (1) dostáváme rovnost:

    \[m_2g\,=\,m_1g\,-\,V{\rho}g\,.\tag{4}\]

    Zde jedinou neznámou je objem zlatého tělesa V, který vyjádříme jako:

    \[V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,.\tag{5}\]

    Tímto výpočtem jsme určili reálný objem V zlatého předmětu. S pomocí hustoty zlata můžeme ale nyní spočítat objem , který by tento předmět o hmotnosti m1 zaujímal, kdyby byl homogenní - tedy bez dutiny. Z definice hustoty:

    \[{\rho}_{Au}\,=\,\frac{m_1}{V'}\,\Rightarrow\,V'\,=\,\frac{m_1}{{\rho}_{Au}}\,.\tag{6}\]

    Vhodným způsobem, jak porovnat příslušné objemy, je zavedení jejich rozdílu ΔV:

    \[{\Delta}V\,=\,V\,-\,V'\,.\tag{7}\]

    Jsou-li objemy V a stejné, je ΔV = 0 a předmět dutý není.

    Jsou-li objemy V různé, je ΔV > 0, předmět dutý je a právě ΔV je objem, který reálnému tělesu „přebývá“ - tedy hledaný objem dutiny.

    Spojením vztahů (5), (6) a (7) dostáváme:

    \[{\Delta}V\,=\,\frac{m_1\,-\,m_2}{\rho}\,-\,\frac{m_1}{\rho_{Au}}\,.\]

    Číselně:

    \[{\Delta}V\,=\,(\frac{0{,}09625\,-\,0{,}09025}{1000}\,-\,\frac{0{,}09625}{19250})\,\mathrm{m^3}\,\dot=\,1\,\mathrm{cm^3}\,.\]

    Zlatý předmět dutý je a objem dutiny je přibližně 1 cm3.

  • Odpověď

    Zlatý předmět je dutý a objem dutiny je přibližně 1 cm3.

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze