Sbírka řešených úloh

Kosmická sonda

Úloha číslo: 145

• Zápis

  m	hmotnost sondy
  m/3	hmotnost jednotlivých částí sondy
  v0	velikost rychlosti sondy před explozí
  α = 60°	úhel vychýlení 1. a 3. části sondy
  v1 = ?	velikost rychlosti 1. části sondy těsně po explozi
  v2 = ?	velikost rychlosti 2. části sondy těsně po explozi
  v3 = ?	velikost rychlosti 3. části sondy těsně po explozi
  Ek1 = ?	kinetická energie 1. části sondy těsně po explozi
  Ek2 = ?	kinetická energie 2. části sondy těsně po explozi
  Ek3 = ?	kinetická energie 3. části sondy těsně po explozi

• Rozbor

  Při řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

• Nápověda 1 - ZZH

  Nakreslete si obrázek a zvolte vhodně soustavu souřadnic. Rozepište si zákon zachování hybnosti pro naši situaci.

• Řešení k nápovědě 1 - ZZH

  

  $m$…hmotnost sondy

  $v_0$…rychlost sondy před explozí

  $v_1$…rychlost 1. části sondy těsně po explozi

  $v_2$…rychlost 2. části sondy těsně po explozi

  $v_3$…rychlost 3. části sondy těsně po explozi

  $\alpha$…úhel vychýlení 1. a 3. části sondy

  Soustavu souřadnic volíme tak, že osa x má směr pohybu sondy před explozí a osa y je na ni kolmá.

  ZZH: Celková hybnost soustavy se zachovává.

  $$\vec{p}\,=\,\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_3}$$

  $\vec{p}$… vektor hybnosti sondy před explozí

  $\vec{p_1}$… vektor hybnosti 1. části sondy těsně po explozi

  $\vec{p_2}$… vektor hybnosti 2. části sondy těsně po explozi

  $\vec{p_3}$…vektor hybnosti 3. části sondy těsně po explozi

  $$m\vec{v_0}\,=\,\frac{m}{3}\vec{v_1}+\frac{m}{3}\vec{v_2}+\frac{m}{3}\vec{v_3}$$

  Skalárně:

  x-ová složka:

  $$mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\left(-\alpha\right),$$ $$cos\left(-\alpha\right)\,=\, cos\alpha,$$ $$mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\alpha.\tag{1}$$

  y-ová složka:

  $$0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha + \frac{1}{3}mv_3\sin\left(-\alpha\right),$$ $$sin\left(-\alpha\right)\,=\, - sin\alpha,$$ $$0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha - \frac{1}{3}mv_3\sin\alpha.\tag{2}$$

  Ze vztahu (2) vyjádříme rychlost 1. části sondy $v_1$:

  $$v_1\sin\alpha\,=\,v_3\sin\alpha,$$ $$v_1\,=\,v_3.\tag{3}$$

  Dosadíme do vztahu (1):

  $$mv_0\,=\,2\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2.$$

  Odtud vyjádříme rychlost 2. části sondy těsně po srážce:

  $$v_2\,=\,3v_0-2v_1\cos\alpha.\tag{4}$$

• Nápověda 2 - ZZE

  Napište si zákon zachování energie pro naši konkrétní situaci. Uvědomte si, jaká je celková energie sondy při explozi a jaká bezprostředně po jejím rozpadu. Vyjádřete vztahy pro rychlosti jednotlivých části.

• Řešení k nápovědě 2 - ZZE

  ZZE: Součet kinetické energie sondy před explozí a energie vyvinuté při explozi je roven součtu kinetické energie jednotlivých části sondy po explozi:

  $$\mathrm{ZZE:} \hspace{15px} E_\mathrm{k}+ 2E_\mathrm{k}\,=\,E_\mathrm{k1}+E_\mathrm{k2}+E_\mathrm{k3}.$$

  $E_\mathrm{k}$…počáteční kinetická energie sondy

  $2E_\mathrm{k}$…energie vyvinutá při explozi

  $E_\mathrm{k1}$…kinetická energie 1. části sondy těsně po explozi

  $E_\mathrm{k2}$…kinetická energie 2. části sondy těsně po explozi

  $E_\mathrm{k3}$…kinetická energie 3. části sondy těsně po explozi

  $$\frac{1}{2}mv_0^2+2\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_1^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_2^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_3^2$$ $$\frac{3}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2+\frac{1}{6}mv_2^2+\frac{1}{6}mv_3^2$$

  Rovnici vydělíme hmotností m a vynásobíme šesti:

  $$9v_0^2\,=\,v_1^2+v_2^2+v_3^2.$$

  Za rychlost v₃ dosadíme ze vztahu (3):

  $$9v_0^2\,=\,2v_1^2+v_2^2.$$

  Za rychlost v₂ dosadíme ze vztahu (4):

  $$9v_0^2=\,2v_1^2+\left(3v_0-2v_1\cos\alpha\right)^2=\,2v_1^2+9v_0^2-12v_0v_1\cos \alpha +4v_1^2\cos ^2\alpha.$$

  Rovnici upravíme a vyjádříme rychlost v₁:

  $$2v_1^2\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 12v_0v_1\cos \alpha,$$ $$v_1\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 6v_0\cos \alpha,$$ $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos \alpha}{1+2\cos^2 \alpha},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{3v_0}{1+\frac{1}{2}}\,=\,2v_0.$$

  Dosazením do vztahu (4) získáme rychlost v₂:

  $$v_2\,=\,3v_0-\frac{12v_0\cos^2 \alpha}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0(1+2\cos^2 \alpha -4\cos^2 \alpha)}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0\left(1-2\cos^2 \alpha\right)}{1+2\cos^2 \alpha},$$

  $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$v_2\,=\,\frac{3v_0\left(1-\frac{1}{2}\right)}{1+\frac{1}{2}}\,=\,v_0.$$

• Nápověda 3 - kinetická energie části sondy

  Vyjádřete si vztahy pro kinetickou energii jednotlivých částí sondy a dosaďte za příslušné rychlosti.

• Řešení k nápovědě 3 - kinetická energie části sondy

  Vyjádříme kinetickou energii jednotlivých částí sondy a dosadíme za příslušné rychlosti.

  Kinetická energie 1. a 3. části sondy:

  $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2,$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{36v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,6mv_0^2\frac{\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,6mv_0^2\frac{\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{6}{9}mv_0^2,$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_\mathrm{k}.$$

  Kinetická energie 2. části sondy:

  $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{1}{6}mv_2^2,$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{9v_0^2\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{(-\frac{1}{2})^2}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{3}{2}mv_0^2\cdot\frac{4}{4{\cdot}9},$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_\mathrm{k}.$$

• Celkové řešení

  Při řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

  Nakreslíme obrázek situace:

  

  $m$…hmotnost sondy,

  $v_0$…rychlost sondy před explozí,

  $v_1$…rychlost 1. části sondy těsně po explozi,

  $v_2$…rychlost 2. části sondy těsně po explozi,

  $v_3$…rychlost 3. části sondy těsně po explozi,

  $\alpha$…úhel vychýlení 1. a 3. části sondy.

  Soustavu souřadnic volíme tak, že osa x má směr pohybu sondy před explozí a osa y je na ni kolmá.

  ZZH: Celková hybnost soustavy se zachovává.

  $$\vec{p}\,=\,\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_3}$$

  $\vec{p}$…vektor hybnosti sondy před explozí

  $\vec{p_1}$…vektor hybnosti 1. části sondy těsně po explozi

  $\vec{p_2}$…vektor hybnosti 2. části sondy těsně po explozi

  $\vec{p_3}$…vektor hybnosti 3. části sondy těsně po explozi

  $$m\vec{v_0}\,=\,\frac{m}{3}\vec{v_1}+\frac{m}{3}\vec{v_2}+\frac{m}{3}\vec{v_3}$$

  Skalárně:

  x-ová složka:

  $$mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\left(-\alpha\right),$$ $$cos\left(-\alpha\right)\,=\, cos\alpha,$$ $$mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\alpha.\tag{1}$$

  y-ová složka:

  $$0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha + \frac{1}{3}mv_3\sin\left(-\alpha\right),$$ $$sin\left(-\alpha\right)\,=\, - sin\alpha,$$ $$0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha - \frac{1}{3}mv_3\sin\alpha.\tag{2}$$

  Ze vztahu (2) vyjádříme rychlost 1. části sondy $v_1$:

  $$v_1\sin\alpha\,=\,v_3\sin\alpha,$$ $$v_1\,=\,v_3.\tag{3}$$

  Dosadíme do vztahu (1):

  $$mv_0\,=\,2\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2.$$

  Odtud vyjádříme rychlost 2. části sondy těsně po srážce:

  $$v_2\,=\,3v_0-2v_1\cos\alpha.\tag{4}$$

  ZZE: Součet kinetické energie sondy před explozí a energie vyvinuté při explozi je roven součtu kinetické energie jednotlivých části sondy po explozi:

  $$\mathrm{ZZE:} \hspace{15px} E_\mathrm{k}+ 2E_\mathrm{k}\,=\,E_\mathrm{k1}+E_\mathrm{k2}+E_\mathrm{k3}$$

  $E_\mathrm{k}$…počáteční kinetická energie sondy

  $2E_\mathrm{k}$…energie vyvinutá při explozi

  $E_\mathrm{k1}$…kinetická energie 1. části sondy těsně po explozi

  $E_\mathrm{k2}$…kinetická energie 2. části sondy těsně po explozi

  $E_\mathrm{k3}$…kinetická energie 3. části sondy těsně po explozi

  $$\frac{1}{2}mv_0^2+2\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_1^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_2^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_3^2$$ $$\frac{3}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2+\frac{1}{6}mv_2^2+\frac{1}{6}mv_3^2.$$

  Rovnici vydělíme hmotností m a vynásobíme šesti:

  $$9v_0^2\,=\,v_1^2+v_2^2+v_3^2.$$

  Za rychlost v₃ dosadíme ze vztahu (3):

  $$9v_0^2=2v_1^2+v_2^2.$$

  Za rychlost v₂ dosadíme ze vztahu (4):

  $$9v_0^2=\,2v_1^2+\left(3v_0-2v_1\cos\alpha\right)^2=\,2v_1^2+9v_0^2-12v_0v_1\cos \alpha +4v_1^2\cos ^2\alpha.$$

  Rovnici upravíme a vyjádříme rychlost v₁:

  $$2v_1^2\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 12v_0v_1\cos \alpha,$$ $$v_1\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 6v_0\cos \alpha,$$ $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos \alpha}{1+2\cos^2 \alpha},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{3v_0}{1+\frac{1}{2}}\,=\,2v_0.$$

  Dosazením do vztahu (4) získáme rychlost v₂:

  $$v_2\,=\,3v_0-\frac{12v_0\cos^2 \alpha}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0\left(1+2\cos^2 \alpha -4\cos^2 \alpha\right)}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0\left(1-2\cos^2 \alpha\right)}{1+2\cos^2 \alpha},$$

  $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$v_2\,=\,\frac{3v_0\left(1-\frac{1}{2}\right)}{1+\frac{1}{2}}\,=\,v_0.$$

  Vyjádříme kinetickou energii jednotlivých částí sondy a dosadíme za příslušné rychlosti.

  Kinetická energie 1. a 3. části sondy:

  $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2,$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{36v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,6mv_0^2\frac{\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,6mv_0^2\frac{\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{6}{9}mv_0^2,$$ $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_\mathrm{k}.$$

  Kinetická energie 2. části sondy:

  $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{1}{6}mv_2^2,$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{9v_0^2\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},$$ $$\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{3}{2}mv_0^2\cdot\frac{4}{4{\cdot}9},$$ $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_\mathrm{k}.$$

  Odpověď:

  Velikost rychlosti 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos\alpha}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,2v_0.$$

  Velikost rychlosti 2. části bezprostředně po explozi je $$v_2\,=\,\frac {3v_0\left(1-2\cos^2\alpha\right)}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,v_0.$$

  Kinetická energie 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,6m\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_\mathrm{k}.$$

  Kinetická energie 2. části sondy bezprostředně po explozi je $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{3}{2}m\frac{v_0^2\left(1-\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_\mathrm{k}.$$

• Odpověď

  Velikost rychlosti 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je $$v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos\alpha}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,2v_0.$$

  Velikost rychlosti 2. části bezprostředně po explozi je $$v_2\,=\,\frac {3v_0\left(1-2\cos^2\alpha\right)}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,v_0.$$

  Kinetická energie 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je $$E_\mathrm{k1}\,=\,E_\mathrm{k3}\,=\,6m\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_\mathrm{k}.$$

  Kinetická energie 2. části sondy bezprostředně po explozi je $$E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{3}{2}m\frac{v_0^2\left(1-\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_\mathrm{k}.$$