Kosmická sonda

Úloha číslo: 145

Kosmická sonda pohybující se rychlostí o velikosti v0 za letu exploduje a rozpadne se na 3 části o stejné hmotnosti. Jedna část pokračuje v letu původním směrem, zbývající dvě v různých směrech, které svírají s původním směrem úhel 60° a −60°. Energie vyvinutá při explozi je dvakrát tak velká jako kinetická energie, kterou měla sonda bezprostředně před explozí. Určete velikost rychlosti a kinetickou energii jednotlivých částí bezprostředně po explozi.

  • Zápis

    m hmotnost sondy
    m/3 hmotnost jednotlivých částí sondy
    v0 velikost rychlosti sondy před explozí
    α = 60° úhel vychýlení 1. a 3. části sondy
    v1 = ? velikost rychlosti 1. části sondy těsně po explozi
    v2 = ? velikost rychlosti 2. části sondy těsně po explozi
    v3 = ? velikost rychlosti 3. části sondy těsně po explozi
    Ek1 = ? kinetická energie 1. části sondy těsně po explozi
    Ek2 = ? kinetická energie 2. části sondy těsně po explozi
    Ek3 = ? kinetická energie 3. části sondy těsně po explozi
  • Rozbor

    Při řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

  • Nápověda 1 - ZZH

    Nakreslete si obrázek a zvolte vhodně soustavu souřadnic. Rozepište si zákon zachování hybnosti pro naši situaci.

  • Nápověda 2 - ZZE

    Napište si zákon zachování energie pro naši konkrétní situaci. Uvědomte si, jaká je celková energie sondy při explozi a jaká bezprostředně po jejím rozpadu. Vyjádřete vztahy pro rychlosti jednotlivých části.

  • Nápověda 3 - kinetická energie části sondy

    Vyjádřete si vztahy pro kinetickou energii jednotlivých částí sondy a dosaďte za příslušné rychlosti.

  • Celkové řešení

    Při řešení úlohy využijeme zákon zachování hybnosti (ZZH) a energie (ZZE).

    Nakreslíme obrázek situace:

    Kosmická sonda

    \(m\)…hmotnost sondy,

    \(v_0\)…rychlost sondy před explozí,

    \(v_1\)…rychlost 1. části sondy těsně po explozi,

    \(v_2\)…rychlost 2. části sondy těsně po explozi,

    \(v_3\)…rychlost 3. části sondy těsně po explozi,

    \(\alpha\)…úhel vychýlení 1. a 3. části sondy.

    Soustavu souřadnic volíme tak, že osa x má směr pohybu sondy před explozí a osa y je na ni kolmá.

    ZZH: Celková hybnost soustavy se zachovává.

    \[\vec{p}\,=\,\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_3}\]

    \(\vec{p}\)…vektor hybnosti sondy před explozí

    \(\vec{p_1}\)…vektor hybnosti 1. části sondy těsně po explozi

    \(\vec{p_2}\)…vektor hybnosti 2. části sondy těsně po explozi

    \(\vec{p_3}\)…vektor hybnosti 3. části sondy těsně po explozi

    \[m\vec{v_0}\,=\,\frac{m}{3}\vec{v_1}+\frac{m}{3}\vec{v_2}+\frac{m}{3}\vec{v_3}\]

    skalárně:

    x-ová složka:

    \[mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\left(-\alpha\right),\] \[cos\left(-\alpha\right)\,=\, cos\alpha,\] \[mv_0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2 + \frac{1}{3}mv_3\cos\alpha.\tag{1}\]

    y-ová složka:

    \[0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha + \frac{1}{3}mv_3\sin\left(-\alpha\right),\] \[sin\left(-\alpha\right)\,=\, - sin\alpha,\] \[0\,=\,\frac{1}{3}mv_1\sin\alpha - \frac{1}{3}mv_3\sin\alpha.\tag{2}\]

    Ze vztahu (2) vyjádříme rychlost 1. části sondy \(v_1\):

    \[v_1\sin\alpha\,=\,v_3\sin\alpha,\] \[v_1\,=\,v_3.\tag{3}\]

    Dosadíme do vztahu (1):

    \[mv_0\,=\,2\frac{1}{3}mv_1\cos\alpha + \frac{1}{3}mv_2.\]

    Odsud vyjádříme rychlost 2. části sondy těsně po srážce:

    \[v_2\,=\,3v_0-2v_1\cos\alpha.\tag{4}\]

    ZZE: Součet kinetické energie sondy před explozí a energie vyvinuté při explozi je roven součtu kinetické energie jednotlivých části sondy po explozi.

    \[\mathrm{ZZE:} \hspace{15px} E_k+ 2E_{k}\,=\,E_{k1}+E_{k2}+E_{k3}\]

    \(E_k\)…počátečná kinetická energie sondy

    \(2E_{k}\)…energie vyvinutá při explozi

    \(E_{k1}\)…kinetická energie 1. části sondy těsně po explozi

    \(E_{k2}\)…kinetická energie 2. části sondy těsně po explozi

    \(E_{k3}\)…kinetická energie 3. části sondy těsně po explozi

    \[\frac{1}{2}mv_0^2+2\frac{1}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_1^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_2^2+\frac{1}{2}\frac{m}{3}v_3^2\] \[\frac{3}{2}mv_0^2\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2+\frac{1}{6}mv_2^2+\frac{1}{6}mv_3^2.\]

    Rovnici vydělíme hmotností m a vynásobíme šesti:

    \[9v_0^2\,=\,v_1^2+v_2^2+v_3^2.\]

    Za rychlost v3 dosadíme ze vztahu (3):

    \[9v_0^2=2v_1^2+v_2^2.\]

    Za rychlost v2 dosadíme ze vztahu (4):

    \[9v_0^2=\,2v_1^2+\left(3v_0-2v_1\cos\alpha\right)^2=\,2v_1^2+9v_0^2-12v_0v_1\cos \alpha +4v_1^2\cos ^2\alpha.\]

    Rovnici upravíme a vyjádříme rychlost v1:

    \[2v_1^2\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 12v_0v_1\cos \alpha,\] \[v_1\left(1+2\cos^2 \alpha\right) \,=\, 6v_0\cos \alpha,\] \[v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos \alpha}{1+2\cos^2 \alpha},\] \[\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},\] \[v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{3v_0}{1+\frac{1}{2}}\,=\,2v_0.\]

    Dosazením do vztahu (4) získáme rychlost v2:

    \[v_2\,=\,3v_0-\frac{12v_0\cos^2 \alpha}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0\left(1+2\cos^2 \alpha -4\cos^2 \alpha\right)}{1+2\cos^2 \alpha}\,=\,\frac{3v_0\left(1-2\cos^2 \alpha\right)}{1+2\cos^2 \alpha},\]

    \[\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},\] \[v_2\,=\,\frac{3v_0\left(1-\frac{1}{2}\right)}{1+\frac{1}{2}}\,=\,v_0.\]

    Vyjádříme kinetickou energii jednotlivých částí sondy a dosadíme za príslušné rychlosti.

    Kinetická energie 1. a 3. části sondy:

    \[E_{k1}\,=\,E_{k3}\,=\,\frac{1}{6}mv_1^2,\] \[E_{k1}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{36v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,6mv_0^2\frac{\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},\] \[\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},\] \[E_{k1}\,=\,6mv_0^2\frac{\frac{1}{4}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{6}{9}mv_0^2,\] \[E_{k1}\,=\,E_{k3}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_k.\]

    Kinetická energie 2. části sondy:

    \[E_{k2}\,=\,\frac{1}{6}mv_2^2,\] \[E_{k2}\,=\,\frac{1}{6}m\frac{9v_0^2\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{\left(1-2\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2},\] \[\cos \alpha\,=\,\cos 60^{\circ}\,=\,\frac{1}{2},\] \[E_{k2}\,=\,3\frac{mv_0^2}{2}\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}\,=\,\frac{3}{2}mv_0^2\cdot\frac{4}{4{\cdot}9},\] \[E_{k2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_k.\]

    Odpověď:

    Velikost rychlosti 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je \[v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos\alpha}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,2v_0.\]

    Velikost rychlosti 2. části bezprostředně po explozi je \[v_2\,=\,\frac {3v_0\left(1-2\cos^2\alpha\right)}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,v_0.\]

    Kinetická energie 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je \[E_{k1}\,=\,E_{k3}\,=\,6m\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_k.\]

    Kinetická energie 2. části sondy bezprostředně po explozi je \[E_{k2}\,=\,\frac{3}{2}m\frac{v_0^2\left(1-\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_k.\]

  • Odpověď

    Velikost rychlosti 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je \[v_1\,=\,v_3\,=\,\frac{6v_0\cos\alpha}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,2v_0.\]

    Velikost rychlosti 2. části bezprostředně po explozi je \[v_2\,=\,\frac {3v_0\left(1-2\cos^2\alpha\right)}{1+2\cos^2\alpha}\,=\,v_0.\]

    Kinetická energie 1. a 3. části sondy bezprostředně po explozi je \[E_{k1}\,=\,E_{k3}\,=\,6m\frac{v_0^2\cos^2\alpha}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{2}{3}mv_0^2\,=\,\frac{4}{3}E_k.\]

    Kinetická energie 2. části sondy bezprostředně po explozi je \[E_{k2}\,=\,\frac{3}{2}m\frac{v_0^2\left(1-\cos^2\alpha\right)^2}{\left(1+2\cos^2\alpha\right)^2}\,=\,\frac{mv_0^2}{6}\,=\,\frac{1}{3}E_k.\]

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze