Kyvadlo na kolotoči

Úloha číslo: 481

Na kolotoči je ve vzdálenosti 2 metry od osy otáčení pověšeno půlkilogramové závaží na závěsu délky 1 metr, které je vychýleno o úhel velikosti 10° z rovnovážné polohy. Jaká je oběžná doba kolotoče?

Řešte z hlediska inerciálního systému i z hlediska neinerciální soustavy kolotoče.

  • Zápis

    r = 2 m vzdálenost závěsu od osy kolotoče
    l = 1 m délka závěsu
    α = 10°  odchylka závěsu od svislého směru
    m = 0,5 kg hmotnost závaží
    T = ? (s) oběžná doba kolotoče
    Z tabulek:
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
  • Nápověda 1: Náčrtek z pohledu inerciálního a neinerciálního systému

    Udělejte si dva náčrtky. Do jednoho zakreslete síly, které působí na závaží z pohledu inerciálního pozorovatele, který stojí vedle kolotoče.

    Do druhého vyznačte síly, které působí na závaží z pohledu neinerciálního pozorovatele otáčejícího se spolu s kolotočem.

    Rozmyslete si, jak se od sebe budou oba pohledy lišit, jak se vzhledem k jednotlivým pozorovatelům závaží pohybuje. Budou všechny síly vypadat v obou případech stejně? Bude jich stejný počet?

  • Nápověda 2: Pohybová rovnice z pohledu inerciálního pozorovatele

    Shrňte do vektorové rovnice, co platí pro síly působící na závaží z pohledu inerciálního pozorovatele.

    Zvolte souřadnou soustavu a přepište rovnici skalárně. Vyjádřete hledanou oběžnou dobu.

  • Nápověda 3: Pohybová rovnice z pohledu neinerciálního pozorovatele

    Shrňte do vektorové rovnice, co platí pro síly působící na závaží z pohledu neinerciálního pozorovatele.

    Čemu se musí rovnat součet všech sil, pokud je závaží vzhledem k pozorovateli v klidu?

    Zvolte souřadnou soustavu a přepište rovnici skalárně. Vyjádřete hledanou oběžnou dobu.

  • Odpověď

    Pro inerciální i neinerciální soustavu dostáváme:

    \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r + l\sin\alpha}{g \tan{\alpha}}}.\]

    Oběžná doba kyvadla je 7s.

  • Celkové řešení

    a) Řešení z pohledu inerciálního pozorovatele stojícího vedle kolotoče

    Z pohledu inerciálního pozorovatele stojícího vedle kolotoče vykonává závaží rovnoměrný pohyb po kružnici.

    Jaké síly na závaží působí?

    • Závaží drží na kolotoči vlákno, jehož silové působení je vyjádřeno jeho tahem \(\vec{F}_T\)

    • Samozřejmě působí tíhová síla \(\vec{F}_G\)

    Jejich složením dostáváme sílu \(\vec{F}_d\), která směřuje do středu otáčení a zakřivující pohyb závaží.

    Z inerciální soustavy

    Pro výslednici sil platí:

    \[\vec{F}_{T} + \vec{F}_{G} = \vec{F}_{d} = m\vec{a}_{n},\]

    kde \(\vec{F}_T\) je tah provázku, \(\vec{F}_G\) je tíhová síla, \(\vec{F}_d\) jejích výslednice a \(\vec{a}_n\) dostředivé zrychlení.

    Přepíšeme vektorovou rovnici skalárně do směru osy x a osy y (orientace viz. obrázek):

    Celá situace

    Vodorovný směr (osa x):

    \[{F}_{T} sin\alpha= m{a}_{n}.\]

    Kolmý směr (osa y):

    \[{F}_{T} cos\alpha = mg.\]

    Vyjádříme-li z druhé rovnice FT a dosadíme do první, dostáváme:

    \[mg \mathrm{tg}\alpha = m{a}_{n},\] \[g \mathrm{tg}\alpha = {a}_{n}.\]

    Pro pohyb po kružnici o poloměru ρ s využitím vztahů pro převod obvodové a úhlové rychlosti platí:

    \[{a}_{n} = \frac{v^2}{\rho} = \omega^2\rho.\]

    Dosadíme:

    \[g \mathrm{tg}\alpha = \omega^2\rho.\]

    Připomeňme si vztah mezi úhlovou rychlostí ω a periodou pohybu po kružnici T:

    \[\omega = \frac{2\pi}{T}.\]

    Pak:

    \[g \mathrm{tg}\alpha = \frac{4\pi^2}{T^2} \rho.\]

    Odtud:

    \[ T^2 = 4\pi^2\frac{\rho}{g \mathrm{tg}{\alpha}},\]   \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\rho}{g \mathrm{tg}{\alpha}}}.\]

    Poloměr kružnice ρ, po které závaží obíhá, je dán součtem vzdálenosti upevnění závěsu r od osy kolotoče a vzdálenosti rα vzniklé vykývnutím závaží délky l ze svislé klidové polohy o úhel α.

    Platí tedy:

    \[\rho = r+r_\alpha = r + l\sin\alpha.\]

    Odtud dostáváme výsledný vztah:

    \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r + l\sin\alpha}{g \mathrm{tg}{\alpha}}}.\]

    Číselně:

    \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2 + 1 sin10^{\circ}}{9{,}81 \mathrm{tg}10^{\circ}}}\,\mathrm{s} = 7\,\mathrm{s}.\]    

    b) Řešení z pohledu neinerciálního pozorovatele otáčejícího se spolu s kolotočem

    Z pohledu neinerciálního pozorovatele otáčejícího se spolu s kolotočem je závaží v klidu.

    Jaké síly na závaží působí?

    • Tah vlákna \(\vec{F}_T\)

    • Tíhová síla \(\vec{F}_G\)

    To jsou reálné síly, kde najdeme dva původce, kteří na sebe vzájemně působí (vlákno-závaží; Země - závaží). Má-li být výslednice sil nulová, musíme přidat ještě sílu, která účinky tíhové síly a tahu vlákna kompenzuje: setrvačnou odstředivou sílu \(\vec{F}_{od}\) (u ní najdeme jen na co působí, ale „pachatele“ nikoliv).

    Z neinerciální soustavy

    jak bylo výše řečeno je závaží z pohledu neinerciálního pozorovatele otáčejícího se spolu s kolotočem v klidu. Výslednice sil na ně působících musí být tedy rovna nule:

    \[\sum{\vec{F}} = 0.\]

    Dosadíme-li síly známé z náčrtku, tedy tah vlákna \(\vec{F}_T\), tíhovou sílu \(\vec{F}_G\) a setrvačnou odstředivou sílu \(\vec{F}_{od}\) dostáváme vektorovou rovnici:

    \[\vec{F}_T + \vec{F}_G + \vec{F}_{od} = 0.\]

    Přepíšeme ji skalárně. Souřadný systém volíme podle obrázku.

    Celá situace

    Vodorovný směr (osa x):

    \[{F}_T\sin\alpha = {F}_{od}.\]

    Svislý směr (osa y)

    \[{F}_T\cos\alpha = mg.\]

    Po úpravě a dosazení z druhé rovnice za FT do první dostáváme:

    \[mg \mathrm{tg}\alpha = {F}_{od}.\]

    Připomeňme si vztahy pro setrvačnou odstředivou sílu působící při pohybu po kružnici o poloměru ρ v závislosti na úhlové rychlosti ω a vztah mezi úhlovou rychlostí a periodou pohybu T.

    \[{F}_{od} = m\omega^2\rho,\] \[\omega = \frac{2\pi}{T}.\]

    Dosadíme do předchozí rovnice:

    \[mg \mathrm{tg}\alpha = m\omega^2\rho,\] \[g \mathrm{tg}\alpha = \omega^2\rho,\] \[g \mathrm{tg}\alpha = \frac{4\pi^2}{T^2} \rho.\]

    Odtud:

    \[ T^2 = 4\pi^2\frac{\rho}{g \mathrm{tg}{\alpha}},\]   \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{\rho}{g \mathrm{tg}{\alpha}}}.\]

    Poloměr kružnice ρ, po které závaží obíhá, je dán součtem vzdálenosti upevnění závěsu r od osy kolotoče a vzdálenosti rα vzniklé vykývnutím závaží délky l ze svislé klidové polohy o úhel α.

    Platí tedy:

    \[\rho = r+r_\alpha = r + l\sin\alpha.\]

    Odtud dostáváme výsledný vztah:

    \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{r + l\sin\alpha}{g \mathrm{tg}{\alpha}}}.\]

    Číselně:

    \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{2 + 1 sin10^{\circ}}{9{,}81 \mathrm{tg}10^{\circ}}}\,\mathrm{s} = 7\,\mathrm{s}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze