Utopený poklad

Úloha číslo: 667

Američtí podmořští archeologové nalezli v roce 2009 v Lamanšském průlivu vrak britské válečné lodi Victory, která se potopila v 18. století. V trupu lodi objevili čtyři tuny zlatých mincí a s pomocí moderní techniky je vyzvedli nad hladinu. Vypočtěte, jakou minimální tažnou sílu směrem vzhůru by musel jeřáb vyzdvihující mince vyvinout, aby vytáhl všechny mince najednou? (Nepočítáme s obalem mincí.)

  • Zápis

    m = 4 t hmotnost zlatých mincí
    Fmin = ? N minimální tažná síla jeřábu
    Z tabulek:
    g = 10 N/kg číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu
    ρ1 = 1025 kg/m3 hustota mořské vody
    ρ2 = 19320 kg/m3 hustota zlata
  • Nápověda 1

    Jaké síly na náklad při vytahování působí?

  • Nápověda 2

    Co musí pro tyto síly platit, aby byl náklad tažen vzhůru?

  • Nápověda 3

    Užijte vztahy pro gravitační a vztlakovou sílu a dosaďte do vztahu (1).

  • Nápověda 4

    Kterou veličinu na pravé straně vztahu (2) ještě potřebujeme určit? Využijte k jejímu vypočtení znalost, že mince jsou vyrobeny ze zlata.

  • Nápověda 5

    Zkombinujte vztahy (2) a (3) a vypočítejte minimální tahovou sílu.

  • Poznámka

    Na začátku musí musí jeřáb zatáhnout o trochu více, aby náklad mincí rozpohyboval, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.

  • Celkové řešení

    Na náklad působí při vytahování celkem tři síly:

    • směrem dolů gravitační síla Fg,
    • směrem vzhůru vztlaková síla Fvz a tažná síla jeřábu F.

    Má-li se náklad pohybovat vzhůru, musí platit:

    \[F_g\,\leq\,F_{vz}\,+\,F\,.\]

    V krajním případě tedy:

    \[F_g\,=\,F_{vz}\,+\,F_{min}\,{\rightarrow}\,F_{min}\,=\,F_g\,-\,F_{vz}\,.\tag{1}\]


    Pro gravitační sílu platí:

    \[F_g\,=\,mg\,,\]

    kde m je hmotnost mincí, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).


    Pro vztlakovou sílu platí:

    \[F_{vz}\,=\,V{{\rho}_1}g\,,\]

    kde V je objem mincí, \({{\rho}_1}\) je hustota okolní kapaliny (v našem případě mořské vody), g = 10 N/kg.


    Tedy: \[F_{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\tag{2}\]

    Ve vztahu (2) nám zbývá určit objem V. Víme-li, že mince jsou vyrobeny ze zlata, známe kromě jejich hmotnosti také jejich hustotu (najdeme ji v tabulkách) – proto můžeme vypočítat jejich objem jako:

    \[V\,=\,\frac{m}{{\rho}_2}\,,\tag{3}\]

    kde m je hmotnost mincí, \({{\rho}_2}\) je hustota zlata.

    Dosazením do vztahu (3) dostáváme:

    \[V\,=\,\frac{4000}{19320}\,\mathrm{m^3}\,{\dot=}\,0{,}21\,\mathrm{m^3}\,.\]

    Vztah (2) říká:

    \[F_{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\]

    Dosadíme do něj:

    \[F_{min}\,{\dot=}\,(4000{\cdot}10\,-\,0{,}21{\cdot}1025{\cdot}10)\,\mathrm{N}\,{\dot=}\,37\,850\,\mathrm{N}\,.\]

    Minimální tažná síla jeřábu směrem vzhůru musí být 37 850 N.

    Poznámka: Na začátku musí jeřáb zatáhnout o trochu více, aby náklad mincí rozpohyboval, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.

  • Odpověď

    Jeřáb by musel vyvinout minimální tažnou sílu 37 850 N směrem vzhůru.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
×Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
Zaslat komentář k úloze