Utopený poklad

Úloha číslo: 667

Američtí podmořští archeologové nalezli v roce 2009 v Lamanšském průlivu vrak britské válečné lodi Victory, která se potopila v 18. století. V trupu lodi objevili čtyři tuny zlatých mincí a s pomocí moderní techniky je vyzvedli nad hladinu. Vypočtěte, jakou minimální tažnou sílu směrem vzhůru by musel jeřáb vyzdvihující mince vyvinout, aby vytáhl všechny mince najednou? (Nepočítáme s obalem mincí.)

Zápis

m = 4 t	hmotnost zlatých mincí
F_min = ? N	minimální tažná síla jeřábu
Z tabulek:
g = 10 N/kg	číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu
ρ₁ = 1025 kg/m³	hustota mořské vody
ρ₂ = 19320 kg/m³	hustota zlata

Nápověda 1
Jaké síly na náklad při vytahování působí?
Řešení k nápovědě 1
Na náklad působí:
- směrem dolů gravitační síla F_g,
- směrem vzhůru vztlaková síla F_vz a tažná síla jeřábu F.
Nápověda 2
Co musí pro tyto síly platit, aby byl náklad tažen vzhůru?
Řešení k nápovědě 2
Má-li se náklad pohybovat vzhůru, musí platit:
\[F_\mathrm{g}\,\leq\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\]
V krajním případě tedy:

\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F_\mathrm{min}\,{\rightarrow}\,F_\mathrm{min}\,=\,F_\mathrm{g}\,-\,F_\mathrm{vz}\,.\tag{1}\]
Nápověda 3
Užijte vztahy pro gravitační a vztlakovou sílu a dosaďte do vztahu (1).
Řešení k nápovědě 3
Pro gravitační sílu platí:
\[F_\mathrm{g}\,=\,mg\,,\]
kde m je hmotnost mincí, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Pro vztlakovou sílu platí:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{{\rho}_1}g\,,\]
kde V je objem mincí, \({{\rho}_1}\) je hustota okolní kapaliny (v našem případě mořské vody), g = 10 N/kg.

Tedy: \[F_\mathrm{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\tag{2}\]
Nápověda 4
Kterou veličinu na pravé straně vztahu (2) ještě potřebujeme určit? Využijte k jejímu vypočtení znalost, že mince jsou vyrobeny ze zlata.
Řešení k nápovědě 4
Ve vztahu (2) nám zbývá určit objem V. Víme-li, že mince jsou vyrobeny ze zlata, známe kromě jejich hmotnosti také jejich hustotu (najdeme ji v tabulkách). Proto můžeme vypočítat jejich objem jako:
\[V\,=\,\frac{m}{{\rho}_2}\,,\tag{3}\]
kde m je hmotnost mincí, \({{\rho}_2}\) je hustota zlata.
Nápověda 5
Zkombinujte vztahy (2) a (3) a vypočítejte minimální tahovou sílu.
Řešení k nápovědě 5
Dosazením do vztahu (3) dostáváme:
\[V\,=\,\frac{4000}{19320}\,\mathrm{m^3}\,{\dot=}\,0{,}21\,\mathrm{m^3}\,.\]
Vztah (2) říká:
\[F_\mathrm{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\]
Dosadíme do něj:
\[F_\mathrm{min}\,{\dot=}\,(4000{\cdot}10\,-\,0{,}21{\cdot}1025{\cdot}10)\,\mathrm{N}\,{\dot=}\,37\,850\,\mathrm{N}\,.\]
Minimální tažná síla jeřábu směrem vzhůru musí být 37 850 N.
Poznámka
Na začátku musí jeřáb zatáhnout o trochu více, aby náklad mincí rozpohyboval, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.
Celkové řešení
Na náklad působí při vytahování celkem tři síly:
- směrem dolů gravitační síla F_g,
- směrem vzhůru vztlaková síla F_vz a tažná síla jeřábu F.
Má-li se náklad pohybovat vzhůru, musí platit:
\[F_\mathrm{g}\,\leq\,F_\mathrm{vz}\,+\,F\,.\]
V krajním případě tedy:

\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{vz}\,+\,F_\mathrm{min}\,{\rightarrow}\,F_\mathrm{min}\,=\,F_\mathrm{g}\,-\,F_\mathrm{vz}\,.\tag{1}\]

Pro gravitační sílu platí:
\[F_\mathrm{g}\,=\,mg\,,\]
kde m je hmotnost mincí, g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

Pro vztlakovou sílu platí:
\[F_\mathrm{vz}\,=\,V{{\rho}_1}g\,,\]
kde V je objem mincí, \({{\rho}_1}\) je hustota okolní kapaliny (v našem případě mořské vody), g = 10 N/kg.

Tedy: \[F_\mathrm{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\tag{2}\]

Ve vztahu (2) nám zbývá určit objem V. Víme-li, že mince jsou vyrobeny ze zlata, známe kromě jejich hmotnosti také jejich hustotu (najdeme ji v tabulkách) – proto můžeme vypočítat jejich objem jako:
\[V\,=\,\frac{m}{{\rho}_2}\,,\tag{3}\]
kde m je hmotnost mincí, \({{\rho}_2}\) je hustota zlata.

Dosazením do vztahu (3) dostáváme:
\[V\,=\,\frac{4000}{19320}\,\mathrm{m^3}\,{\dot=}\,0{,}21\,\mathrm{m^3}\,.\]
Vztah (2) říká:
\[F_\mathrm{min}\,=\,mg\,-\,V{{\rho}_1}g\,.\]
Dosadíme do něj:
\[F_\mathrm{min}\,{\dot=}\,(4000{\cdot}10\,-\,0{,}21{\cdot}1025{\cdot}10)\,\mathrm{N}\,{\dot=}\,37\,850\,\mathrm{N}\,.\]
Minimální tažná síla jeřábu směrem vzhůru musí být 37 850 N.

Poznámka: Na začátku musí jeřáb zatáhnout o trochu více, aby náklad mincí rozpohyboval, pak již stačí, aby byly síly vyrovnané.
Odpověď
Jeřáb by musel vyvinout minimální tažnou sílu 37 850 N směrem vzhůru.