Vytékání vody z nádoby (aneb když vyndáme špunt)

Úloha číslo: 1154

Válcová nádrž o poloměru 90 centimetrů stojí na podstavci vysokém 6 metrů a je do výšky 3 metry naplněna vodou. U dna je nádrž utěsněna zátkou o plošném obsahu 6,3 cm2. Určete:

  1. Jakou rychlostí dopadne proud vody na zem, když zátku odstraníme.
  2. Jak dlouho potrvá, než se nádoba zcela vyprázdní.
Obrázek k řešení úlohy
  • Zápis

    r = 0,90 m poloměr válcové nádrže
    h1 = 3 m výška hladiny vody v nádrži
    h2 = 6 m výška podstavce
    S1 = 6,3 cm2 obsah plochy zátky
    v3 = ? rychlost, s jakou dopadne proud vody na zem
    t = ? čas, za který se nádrž zcela vyprázdní
  • Rozbor

    K řešení 1. části úlohy můžeme využít Bernoulliho rovnici. Buď ji lze napsat pro situaci u hladiny a u země nebo pro situaci u hladiny a u dna nádoby - v tomto případě musíme ještě ke zjištění rychlosti dopadu na zem použít poznatky o vodorovném vrhu.

    Ve 2. části úlohy použijeme rovnici kontinuity - za jednotku času poklesne objem vody v nádrži o to, co z ní vyteče. Musíme si ale uvědomit, že rychlost výtoku ani poklesu hladiny vody není konstantní, ale záleží na výšce hladiny v nádrži. Budeme proto pracovat s poklesy o velmi malou výšku dh za kratičký čas dt, během kterého budeme považovat výtokovou rychlost za konstantní. Celkový čas pak získáme intagrací příslušné rovnice.

  • Nápověda 1 - k části a.

    Vyjděme ze skutečnosti, že v okamžiku odstranění zátky začíná voda z nádrže proudit. Která rovnice popisující proudění by nám mohla pomoci při výpočtu rychlosti?

  • Nápověda 2 - k části a.

    Nyní rozepište Bernoulliho rovnici pro:

    • vodní hladinu,
    • bod A, kde proud vody dopadá na zem (zde také volte nulové y).

    Které členy z rovnice vymizí? Ze zbylých členů již přímo vyjádřete hledanou rychlost v3 a číselně dopočtěte.

  • Nápověda 3 - k části b.

    Vyjděte z jednoduché úvahy, která říká, že za jednotku času se zmenší objem vody v nádrži právě o objem, který vyteče ven. Napište pro tuto situaci rovnici kontinuity.

  • Nápověda 4 - k části b.

    Zamyslete se nad tím, zda jsou rychlosti vystupující v rovnici kontinuity stálé či ne a jak se s tím vypořádat. Obě rychlosti pak vyjádřete.

  • Nápověda 5 - k části b.

    Nyní dosaďte ze vztahů (8) a (10) do rovnice kontinuity (7) a vyřešte vzniklou diferenciální rovnici se separovanými proměnnými. Integrací ve správných mezích dostanete celkový čas vyprazdňování nádrže t.

  • Celkové řešení

    Část a:

    Protože po odstranění zátky začíná voda proudit, využijeme k řešení naší úlohy Bernoulliho rovnici. Pro ustálené proudění má tato rovnice následující tvar:

    \[p\,+\,y{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v^2\,=\,c\,\,(c\,=\,konst.), \tag{1}\]

    kde p je vnější tlak, y výška nad zvolenou nulovou hladinou, ρ hustota proudící kapaliny (plynu), g tíhové zrychlení a v rychlost proudění. Bernoulliho rovnice je důsledkem zákona zachování energie, a tak lze první člen nalevo interpretovat jako potenciální tlakovou energii, druhý jako potenciální tíhovou energii a třetí jako kinetickou energii, vše vztaženo na jednotkový objem proudící kapaliny (plynu). Součet těchto „objemových hustot energie“ zůstává roven konstantě c.

    Vyjádříme levou stranu rovnice (1) pro:

    • vodní hladinu (veličiny s indexem 1),
    • bod A (veličiny s indexem 3).

    Protože obě tyto levé strany jsou rovny konstantě c, lze je položit do rovnosti:

    \[p_1\,+\,y_1{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_1^2\,=\,p_3\,+\,y_3{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2,\tag{2}\]

    kde ρ je hustota vody. Pojďme nyní diskutovat některé veličiny ze vztahu (2):

    • Vnější tlak, který v obou případech působí, je roven pouze atmosférickému tlaku: \[p_1\,=\,p_3\,=\,p_a.\tag{3}\] (Zanedbáváme rozdíl atmosférického tlaku mezi hladinou vody a bodem A, jeho velikost je o několik řádů menší než další hodnoty ve vztahu (2).)
    • Bod A leží v nulové výšce, proto je: \[y_3\,=\,0.\tag{4}\]
    • Hladina má vzhledem ke zvolené nulové hladině výšku: \[y_1\,=\,h_1\,+\,h_2.\tag{5}\]
    • U hladiny se voda v okamžiku uvolnění zátky téměř nepohybuje, tedy: \[v_1\,=\,0.\tag{6}\]

    Dosazením vztahů (3) až (6) do rovnice (2) dostáváme:

    \[p_a\,+\,(h_1\,+\,h_2){\varrho}g\,=\,p_a\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2\,\Rightarrow\,v_3\,=\,\sqrt{2g(h_1\,+\,h_2)}.\]

    Číselně:

    \[v_3\,=\,\sqrt{2{\cdot}9{,}81{\cdot}(3\,+\,6)}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}\,=\,13{,}3\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}.\]

    Část b:

    Vyjdeme z jednoduché úvahy, která říká, že za jednotku času se zmenší objem vody v nádrži právě o objem, který vyteče ven. To vede přímo k myšlence využít při výpočtu rovnici kontinuity ve tvaru:

    \[S_1v_1\,=\,S_2v_2,\tag{7}\]

    kde S1 je plošný obsah kruhové podstavy nádrže, v1 rychlost poklesu hladiny, S2 plošný obsah zátky a v2 rychlost vody vytékající otvorem po zátce ven. Z pouhého náhledu je ale patrné, že rychlosti v1, v2 nejsou během vyprazdňování nádrže konstantní. Čím bude hladina v nádrži níže, tím pomaleji bude voda ven vytékat, což zpětně zpomalí další pokles hladiny. V rovnici kontinuity se tedy budeme muset zaměřit na pokles hladiny o infinitezimální element dh za čas dt, pro který bude výtoková rychlost v2 při dané výšce hladiny h konstantní:

    Obrázek k řešení úlohy

    Protože rychlost poklesu hladiny v1 je infinitezimálně malá, lze pro ni psát:

    \[v_1\,=\,-\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}.\tag{8}\]

    Znaménko minus vstupuje do výrazu výše proto, že rychlost v1 je samozřejmě kladná, ale výška hladiny klesá, tedy derivaci dh/dt je záporná. Výtokovou rychlost v2 určíme pomocí Bernoulliho rovnice, kterou napíšeme pro hladinu vody v aktuální výšce h a pro otvor po zátce. Opět předpokládáme, že při hladině se voda nepohybuje, infinitezimální pokles hladiny zde vzhledem k velikosti výtokové rychlosti můžeme zanedbat. Platí tedy:

    \[p_a\,+\,(h_2\,+\,h){\varrho}g\,=\,p_a\,+\,h_2{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_2^2.\tag{9}\]

    Odtud dostáváme:

    \[v_2\,=\,\sqrt{2gh}.\tag{10}\]

    Dosazením vztahů (8) a (10) do rovnice kontinuity (7) dostáváme:

    \[-\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\]

    Což je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jejíž proměnné lze separovat:

    \[-\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\]

    Celou rovnici zintegrujeme v příslušných mezích:

    \[-\int_{h_1}^0\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,\int_0^t{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\tag{12}\]

    Pro celkovou dobu vyprazdňování nádoby tedy dostáváme:

    \[2\sqrt{h_1}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}t\,\Rightarrow\,t\,=\,\frac{S_1}{S_2}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}.\tag{13}\]

    Za obsah S1 dosadíme obsah kruhu o poloměru r a číselně vyjádříme:

    \[t\,=\,\frac{{\pi}{\cdot}0{,}9^2}{6{,}3{\cdot}10^{-4}}\sqrt{\frac{2{\cdot}3}{9{,}81}}\,\mathrm{s}\,\dot=\,3160\,\mathrm{s}\,\dot=\,52{,}7\,\mathrm{min}.\]
  • Alternativní řešení části a.

    Část a) můžeme vyřešit také pomocí znalostí o vodorovném vrhu. Stejným postupem jako v části b), tj. Bernoulliho rovnicí, určíme výtokovou rychlost z nádrže v2, která je těsně po vyjmutí zátky rovna:

    \[v_2\,=\,\sqrt{2gh_1}.\]

    Tato rychlost má v místě, kde opouští nádobu, směr kolmý na její stěnu, jde tedy vlastně o vodorovnou složku vx rychlosti vodorovného vrhu, která se během vrhu nemění:

    \[v_x\,=\,v_2.\]

    Svislou komponentu vy určíme z kinematického popisu volného pádu z výšky h2:

    \[v_y\,=\,gt\,=\,g\sqrt{\frac{2h_2}{g}}\,=\,\sqrt{2gh_2}.\]

    Pro celkovou velikost rychlost dopadu proudu vody v3 pak platí:

    \[v\,=\,\sqrt{v_x^2\,+\,v_y^2}\,=\,\sqrt{2g(h1\,+\,h_2)},\]

    což je tvar shodný s výrazem získaným již dříve uvedeným postupem.

  • Odpověď

    Rychlost proudu vody, se kterou po vyjmutí zátky dopadne na zem, je přibližně 13,3 m·s−1. Celá nádrž se vyprázdní za 52,7 minuty.

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: Halpern, A.: Schaum`s 3000 solved problems in physics. The Mc.Graw-Hill
Companies, 1998
Zpracováno s podporou SFG (2013).
×Původní zdroj: Halpern, A.: Schaum`s 3000 solved problems in physics. The Mc.Graw-Hill Companies, 1998
Zpracováno s podporou SFG (2013).
Zaslat komentář k úloze