Vytékání vody z nádoby (aneb když vyndáme špunt)

Úloha číslo: 1154

Válcová nádrž o poloměru 90 centimetrů stojí na podstavci vysokém 6 metrů a je do výšky 3 metry naplněna vodou. U dna je nádrž utěsněna zátkou o plošném obsahu 6,3 cm². Určete:

Jakou rychlostí dopadne proud vody na zem, když zátku odstraníme.
Jak dlouho potrvá, než se nádoba zcela vyprázdní.

Zápis

r = 0,90 m	poloměr válcové nádrže
h₁ = 3 m	výška hladiny vody v nádrži
h₂ = 6 m	výška podstavce
S₂ = 6,3 cm²	obsah plochy zátky
v₃ = ?	rychlost, s jakou dopadne proud vody na zem
t = ?	čas, za který se nádrž zcela vyprázdní

Rozbor
K řešení 1. části úlohy můžeme využít Bernoulliho rovnici. Buď ji lze napsat pro situaci u hladiny a u země, nebo pro situaci u hladiny a u dna nádoby – v tomto případě musíme ještě ke zjištění rychlosti dopadu na zem použít poznatky o vodorovném vrhu.

Ve 2. části úlohy použijeme rovnici kontinuity – za jednotku času poklesne objem vody v nádrži o to, co z ní vyteče. Musíme si ale uvědomit, že rychlost výtoku ani poklesu hladiny vody není konstantní, ale záleží na výšce hladiny v nádrži. Budeme proto pracovat s poklesy o velmi malou výšku dh za kratičký čas dt, během kterého budeme považovat výtokovou rychlost za konstantní. Celkový čas pak získáme integrací příslušné rovnice.
Nápověda 1 – k části a.
Vyjděme ze skutečnosti, že v okamžiku odstranění zátky začíná voda z nádrže proudit. Která rovnice popisující proudění by nám mohla pomoci při výpočtu rychlosti?
Řešení nápovědy 1
Protože po odstranění zátky začíná voda proudit, využijeme k řešení naší úlohy Bernoulliho rovnici. Pro ustálené proudění má tato rovnice následující tvar:
\[p\,+\,y{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v^2\,=\,c\,\,(c\,=\,konst.), \tag{1}\]
kde p je vnější tlak, y výška nad zvolenou nulovou hladinou, ρ hustota proudící kapaliny (plynu), g tíhové zrychlení a v rychlost proudění. Bernoulliho rovnice je důsledkem zákona zachování energie, a tak lze první člen nalevo interpretovat jako potenciální tlakovou energii, druhý jako potenciální tíhovou energii a třetí jako kinetickou energii, vše vztaženo na jednotkový objem proudící kapaliny (plynu). Součet těchto „objemových hustot energie“ zůstává roven konstantě c.
Nápověda 2 - k části a.
Nyní rozepište Bernoulliho rovnici pro:
- vodní hladinu,
- bod A, kde proud vody dopadá na zem (zde také volte nulové y).
Které členy z rovnice vymizí? Ze zbylých členů již přímo vyjádřete hledanou rychlost v₃ a číselně dopočtěte.
Řešení nápovědy 2
Vyjádříme levou stranu rovnice (1) pro:
- vodní hladinu (veličiny s indexem 1),
- bod A (veličiny s indexem 3).
Protože obě tyto levé strany jsou rovny konstantě c, lze je položit do rovnosti:
\[p_1\,+\,y_1{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_1^2\,=\,p_3\,+\,y_3{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2,\tag{2}\]
kde ρ je hustota vody. Pojďme nyní diskutovat některé veličiny ze vztahu (2):
- Vnější tlak, který v obou případech působí, je roven pouze atmosférickému tlaku: \[p_1\,=\,p_3\,=\,p_\mathrm{a}.\tag{3}\] (Zanedbáváme rozdíl atmosférického tlaku mezi hladinou vody a bodem A, jeho velikost je o několik řádů menší než další hodnoty ve vztahu (2).)
- Bod A leží v nulové výšce, proto je: \[y_3\,=\,0.\tag{4}\]
- Hladina má vzhledem ke zvolené nulové hladině výšku: \[y_1\,=\,h_1\,+\,h_2.\tag{5}\]
- U hladiny se voda v okamžiku uvolnění zátky téměř nepohybuje, tedy: \[v_1\,=\,0.\tag{6}\]
Dosazením vztahů (3) až (6) do rovnice (2) dostáváme:
\[p_\mathrm{a}\,+\,(h_1\,+\,h_2){\varrho}g\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2\,\Rightarrow\,v_3\,=\,\sqrt{2g(h_1\,+\,h_2)}.\]
Číselně:
\[v_3\,=\,\sqrt{2{\cdot}9{,}81{\cdot}(3\,+\,6)}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}\,=\,13{,}3\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}.\]
Nápověda 3 – k části b.
Vyjděte z jednoduché úvahy, která říká, že za jednotku času se zmenší objem vody v nádrži právě o objem, který vyteče ven. Napište pro tuto situaci rovnici kontinuity.
Řešení nápovědy 3
Rovnice kontinuity pro danou situaci:
\[S_1v_1\,=\,S_2v_2,\tag{7}\]
kde S₁ je plošný obsah kruhové podstavy nádrže, v₁ rychlost poklesu hladiny, S₂ plošný obsah zátky a v₂ rychlost vody vytékající otvorem po zátce ven.
Nápověda 4 – k části b.
Zamyslete se nad tím, zda jsou rychlosti vystupující v rovnici kontinuity stálé či ne a jak se s tím vypořádat. Obě rychlosti pak vyjádřete.
Řešení nápovědy 4
Z pouhého náhledu je patrné, že rychlosti v₁, v₂ nejsou během vyprazdňování nádrže konstantní. Čím bude hladina v nádrži níže, tím pomaleji bude voda ven vytékat, což zpětně zpomalí další pokles hladiny. V rovnici kontinuity se tedy budeme muset zaměřit na pokles hladiny o infinitezimální element dh za čas dt, pro který bude výtoková rychlost v₂ při dané výšce hladiny h konstantní:

Protože rychlost poklesu hladiny v₁ je infinitezimálně malá, lze pro ni psát:
\[v_1\,=\,-\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}.\tag{8}\]
Znaménko minus vstupuje do výrazu výše proto, že rychlost v₁ je samozřejmě kladná, ale výška hladiny klesá, tedy derivaci dh/dt je záporná. Výtokovou rychlost v₂ určíme pomocí Bernoulliho rovnice, kterou napíšeme pro hladinu vody v aktuální výšce h a pro otvor po zátce. Opět předpokládáme, že při hladině se voda nepohybuje, infinitezimální pokles hladiny zde vzhledem k velikosti výtokové rychlosti můžeme zanedbat. Platí tedy:
\[p_\mathrm{a}\,+\,(h_2\,+\,h){\varrho}g\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,h_2{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_2^2.\tag{9}\]
Odtud dostáváme:
\[v_2\,=\,\sqrt{2gh}.\tag{10}\]
Nápověda 5 – k části b.
Nyní dosaďte ze vztahů (8) a (10) do rovnice kontinuity (7) a vyřešte vzniklou diferenciální rovnici se separovanými proměnnými. Integrací ve správných mezích dostanete celkový čas vyprazdňování nádrže t.
Řešení nápovědy 5
Dosazením vztahů (8) a (10) do rovnice kontinuity (7) dostáváme:
\[-S_1\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}\,=\,S_2\sqrt{2gh}.\tag{11}\]
Což je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jejíž proměnné lze separovat:
\[-\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\]
Celou rovnici zintegrujeme v příslušných mezích:
\[-\int_{h_1}^0\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,\int_0^t{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\tag{12}\]
Pro celkovou dobu vyprazdňování nádoby tedy dostáváme:
\[2\sqrt{h_1}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}t\,\Rightarrow\,t\,=\,\frac{S_1}{S_2}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}.\tag{13}\]
Za obsah S₁ dosadíme obsah kruhu o poloměru r a číselně vyjádříme:
\[t\,=\,\frac{{\pi}{\cdot}0{,}9^2}{6{,}3{\cdot}10^{-4}}\sqrt{\frac{2{\cdot}3}{9{,}81}}\,\mathrm{s}\,\dot=\,3160\,\mathrm{s}\,\dot=\,52{,}7\,\mathrm{min}.\]
Celkové řešení
Část a:

Protože po odstranění zátky začíná voda proudit, využijeme k řešení naší úlohy Bernoulliho rovnici. Pro ustálené proudění má tato rovnice následující tvar:
\[p\,+\,y{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v^2\,=\,c\,\,(c\,=\,konst.), \tag{1}\]
kde p je vnější tlak, y výška nad zvolenou nulovou hladinou, ρ hustota proudící kapaliny (plynu), g tíhové zrychlení a v rychlost proudění. Bernoulliho rovnice je důsledkem zákona zachování energie, a tak lze první člen nalevo interpretovat jako potenciální tlakovou energii, druhý jako potenciální tíhovou energii a třetí jako kinetickou energii, vše vztaženo na jednotkový objem proudící kapaliny (plynu). Součet těchto „objemových hustot energie“ zůstává roven konstantě c.

Vyjádříme levou stranu rovnice (1) pro:
- vodní hladinu (veličiny s indexem 1),
- bod A (veličiny s indexem 3).
Protože obě tyto levé strany jsou rovny konstantě c, lze je položit do rovnosti:
\[p_1\,+\,y_1{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_1^2\,=\,p_3\,+\,y_3{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2,\tag{2}\]
kde ρ je hustota vody. Pojďme nyní diskutovat některé veličiny ze vztahu (2):
- Vnější tlak, který v obou případech působí, je roven pouze atmosférickému tlaku: \[p_1\,=\,p_3\,=\,p_\mathrm{a}.\tag{3}\] (Zanedbáváme rozdíl atmosférického tlaku mezi hladinou vody a bodem A, jeho velikost je o několik řádů menší než další hodnoty ve vztahu (2).)
- Bod A leží v nulové výšce, proto je: \[y_3\,=\,0.\tag{4}\]
- Hladina má vzhledem ke zvolené nulové hladině výšku: \[y_1\,=\,h_1\,+\,h_2.\tag{5}\]
- U hladiny se voda v okamžiku uvolnění zátky téměř nepohybuje, tedy: \[v_1\,=\,0.\tag{6}\]
Dosazením vztahů (3) až (6) do rovnice (2) dostáváme:
\[p_\mathrm{a}\,+\,(h_1\,+\,h_2){\varrho}g\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_3^2\,\Rightarrow\,v_3\,=\,\sqrt{2g(h_1\,+\,h_2)}.\]
Číselně:
\[v_3\,=\,\sqrt{2{\cdot}9{,}81{\cdot}(3\,+\,6)}\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}\,=\,13{,}3\,\mathrm{m}{\cdot}\mathrm{s^{-1}}.\]
Část b:

Vyjdeme z jednoduché úvahy, která říká, že za jednotku času se zmenší objem vody v nádrži právě o objem, který vyteče ven. To vede přímo k myšlence využít při výpočtu rovnici kontinuity ve tvaru:
\[S_1v_1\,=\,S_2v_2,\tag{7}\]
kde S₁ je plošný obsah kruhové podstavy nádrže, v₁ rychlost poklesu hladiny, S₂ plošný obsah zátky a v₂ rychlost vody vytékající otvorem po zátce ven. Z pouhého náhledu je ale patrné, že rychlosti v₁, v₂ nejsou během vyprazdňování nádrže konstantní. Čím bude hladina v nádrži níže, tím pomaleji bude voda ven vytékat, což zpětně zpomalí další pokles hladiny. V rovnici kontinuity se tedy budeme muset zaměřit na pokles hladiny o infinitezimální element dh za čas dt, pro který bude výtoková rychlost v₂ při dané výšce hladiny h konstantní:

Protože rychlost poklesu hladiny v₁ je infinitezimálně malá, lze pro ni psát:
\[v_1\,=\,-\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}t}.\tag{8}\]
Znaménko minus vstupuje do výrazu výše proto, že rychlost v₁ je samozřejmě kladná, ale výška hladiny klesá, tedy derivaci dh/dt je záporná. Výtokovou rychlost v₂ určíme pomocí Bernoulliho rovnice, kterou napíšeme pro hladinu vody v aktuální výšce h a pro otvor po zátce. Opět předpokládáme, že při hladině se voda nepohybuje, infinitezimální pokles hladiny zde vzhledem k velikosti výtokové rychlosti můžeme zanedbat. Platí tedy:
\[p_\mathrm{a}\,+\,(h_2\,+\,h){\varrho}g\,=\,p_\mathrm{a}\,+\,h_2{\varrho}g\,+\,\frac{1}{2}{\varrho}v_2^2.\tag{9}\]
Odtud dostáváme:
\[v_2\,=\,\sqrt{2gh}.\tag{10}\]
Dosazením vztahů (8) a (10) do rovnice kontinuity (7) dostáváme:
\[-\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\]
Což je lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty, jejíž proměnné lze separovat:
\[-\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\]
Celou rovnici zintegrujeme v příslušných mezích:
\[-\int_{h_1}^0\frac{\mathrm{d}h}{\sqrt{h}}\,=\,\int_0^t{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}\mathrm{d}t.\tag{12}\]
Pro celkovou dobu vyprazdňování nádoby tedy dostáváme:
\[2\sqrt{h_1}\,=\,{\sqrt{2g}}\frac{S_2}{S_1}t\,\Rightarrow\,t\,=\,\frac{S_1}{S_2}\sqrt{\frac{2h_1}{g}}.\tag{13}\]
Za obsah S₁ dosadíme obsah kruhu o poloměru r a číselně vyjádříme:
\[t\,=\,\frac{{\pi}{\cdot}0{,}9^2}{6{,}3{\cdot}10^{-4}}\sqrt{\frac{2{\cdot}3}{9{,}81}}\,\mathrm{s}\,\dot=\,3160\,\mathrm{s}\,\dot=\,52{,}7\,\mathrm{min}.\]
Alternativní řešení části a.
Část a) můžeme vyřešit také pomocí znalostí o vodorovném vrhu. Stejným postupem jako v části b), tj. Bernoulliho rovnicí, určíme výtokovou rychlost z nádrže v₂, která je těsně po vyjmutí zátky rovna:
\[v_2\,=\,\sqrt{2gh_1}.\]
Tato rychlost má v místě, kde opouští nádobu, směr kolmý na její stěnu, jde tedy vlastně o vodorovnou složku v_x rychlosti vodorovného vrhu, která se během vrhu nemění:
\[v_\mathrm{x}\,=\,v_2.\]
Svislou komponentu v_y určíme z kinematického popisu volného pádu z výšky h₂:
\[v_\mathrm{y}\,=\,gt\,=\,g\sqrt{\frac{2h_2}{g}}\,=\,\sqrt{2gh_2}.\]
Pro celkovou velikost rychlosti dopadu proudu vody v₃ pak platí:
\[v\,=\,\sqrt{v_\mathrm{x}^2\,+\,v_\mathrm{y}^2}\,=\,\sqrt{2g(h1\,+\,h_2)},\]
což je tvar shodný s výrazem získaným již dříve uvedeným postupem.
Odpověď
Rychlost proudu vody, se kterou po vyjmutí zátky dopadne na zem, je přibližně 13,3 m·s⁻¹. Celá nádrž se vyprázdní za 52,7 minuty.