Hustota krve
Úloha číslo: 1156
Aby se zjistilo, jaká je hustota kapek krve, byly kapky umístěny do směsi xylenu o hustotě \(0{,}867 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) a bromobenzenu o hustotě \(1{,}497 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\). Poměr xylenu a bromobenzenu se měnil, dokud kapky nepřestaly stoupat či klesat. Když směs obsahovala \(72\) % xylenu a \(28\) % bromobenzenu, kapky byly v rovnováze. Jaká byla hustota krve?
Zápis
\(\rho_\mathrm{x}=0{,}867 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) hustota xylenu \(\rho_\mathrm{b}=1{,}497 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) hustota bromobenzenu \(V\) objem směsi \(V_\mathrm{x}=0{,}72 \mathrm{V}\) objem xylenu \(V_\mathrm{b}=0{,}28 \mathrm{V}\) objem bromobenzenu \(\rho_\mathrm{k}= ? \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\) hustota krve Rozbor
Rozmyslíme si, co znamená, že kapky krve jsou v rovnováze, a co platí v této situaci pro jejich hustotu. Pak určíme hustotu směsi.
Nápověda 1
Připomeňte si nejprve, jak se definuje hustota látky.
Nápověda 2
Víte, že kapky krve byly v rovnováze. Co platí v takové situaci pro síly, které na ně působí? Co můžete říci o hustotě kapek krve?
Nápověda 3
Zvolte si objem směsi a určete, jaký je v ní objem xylenu a bromobenzenu.
Řešení nápovědy 3
Zvolíme například \(V=100 \mathrm{cm^3}.\) Potom objem xylenu je \(V_\mathrm{x}=0{,}72{\cdot}100 \mathrm{cm^3}=72 \mathrm{cm^3}\) a bromobenzenu \(V_\mathrm{b}=0{,}28{\cdot}100 \mathrm{cm^3}=28 \mathrm{cm^3}\).
Nápověda 4
Jaká je hmotnost xylenu a bromobenzenu? (Počítejte se zvoleným objemem směsi.)
Nápověda 5
Jaká je hustota směsi? (Počítejte se zvoleným objemem směsi.)
Celkové řešení
Definice hustoty
Definujeme hustotu látky \(\rho\) jako podíl hmotnosti \(m\) a objemu \(V\) látky: \[\rho=\frac{m}{V}.\tag{1}\]
Hustota krve
Protože kapky krve byly v rovnováze, tak velikost tíhové síly \(F_\mathrm{g}\) byla rovna velikosti vztlakové síly \(F_\mathrm{vz}\): \[F_\mathrm{g}=F_\mathrm{vz}.\] Tedy: \[\rho_\mathrm{k}V_\mathrm{k}g=\rho V_\mathrm{k}g,\] kde \(V_\mathrm{k}\) je objem kapky krve a \(g\) je tíhové zrychlení.
Obě strany rovnice vydělíme \(V_\mathrm{k}g\) a dostáváme: \[\rho_\mathrm{k}=\rho.\]
Hustota krve je tedy stejná jako hustota směsi.
Objem xylenu a bromobenzenu
Zvolíme si objem směsi například \(V=100 \mathrm{cm^3}.\) Potom objem xylenu je \(V_\mathrm{x}=0{,}72{\cdot}100 \mathrm{cm^3}=72 \mathrm{cm^3}\) a bromobenzenu \(V_\mathrm{b}=0{,}28{\cdot}100 \mathrm{cm^3}=28 \mathrm{cm^3}\).
Hmotnost xylenu a bromobenzenu
Z (1) vyjádříme vztah pro výpočet hmotnosti: \[m=\rho{\cdot}V.\]
Tedy pro hmotnost xylenu \(m_\mathrm{x}\) bude platit: \[m_\mathrm{x}=\rho_\mathrm{x}V_\mathrm{x}.\] Číselně: \[m_\mathrm{x}=0{,}867{\cdot}72 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\cdot\mathrm{cm^3}=62{,}424 \mathrm{g}.\]
A pro hmotnost bromobenzenu \(m_\mathrm{b}\) bude platit: \[m_\mathrm{b}=\rho_\mathrm{b}V_\mathrm{b}.\] Číselně: \[m_\mathrm{b}=1{,}497{\cdot}28 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}\cdot\mathrm{cm^3}=41{,}916 \mathrm{g}.\]
Hustota směsi
Potřebujeme znát celkovou hmotnost směsi \(m\), pro kterou platí: \[m=m_\mathrm{x}+m_\mathrm{b}.\] Číselně: \[m=62{,}424 \mathrm{g}+41{,}916 \mathrm{g}=104{,}34 \mathrm{g}.\]
Objem směsi jsme si zvolili: \(V=100 \mathrm{cm^3}.\)
Dosadíme hmotnost a objem směsi do (1) a tím získáme její hustotu \(\rho\): \[\rho=\frac{104{,}34}{100} \mathrm{\frac{g}{cm^3}}=1{,}0434 \mathrm{\frac{g}{cm^3}} \dot= 1{,}04 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}.\]
Hustota krve je stejná jako hustota směsi: \(\rho_\mathrm{k} \dot= 1{,}04 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}.\)
Odpověď
Hustota krve byla stejná jako hustota směsi: \(\rho_\mathrm{k} \dot= 1{,}04 \mathrm{\frac{g}{cm^3}}.\)
