Indiana Jones a kamenná koule

Úloha číslo: 604

V památné scéně z filmu Indiana Jones a Dobyvatelé ztracené archy utíká Indy chodbou před ohromnou kamennou koulí.

a) Podívejte se na obrázek a odhadněte hmotnost koule, je-li její hustota přibližně 2500 kg·m−3.

b) Jaká je celková kinetická energie koule, pronásledující známého archeologa, pohybuje-li se bez podkluzování a její hmotný střed má rychlost 4 m·s−1?

c) Koule byla nejspíše v pasti udržována v klidu a svou energii získala po uvolnění pouhým kutálením se z výšky. Z jaké minimální výšky se musela kamenná koule svalit, aby zmíněnou kinetickou energii získala?

Uvažujte nejprve, že se koule valí přímo po podlaze chodby (A). Pak úkoly řešte pro situaci, kdy se koule valí ve žlabu, jak ukazuje obrázek (B). Předpokládejte, že koule se dotýká žlabu v kolmé vzdálenosti \(\frac{2}{3}r\) od středu.

 
utíkej, Indy, utíkej!
  • Zápis

    ρ = 2 500 kg·m-3 hustota koule
    v =  4 m·s-1 rychlost hmotného středu koule
    r = ? poloměr koule
    m = ? hmotnost koule
    Ek = ? kinetická energie koule
    h = ? počáteční výška
  • Nápověda 1 a): Hmotnost koule

    Odhadněte poloměr koule a spočtěte její hmotnost.

  • Nápověda 2 b) A,B - kinetická energie koule

    Kinetická energie koule se skládá ze dvou složek, neboť koule provádí pohyb posuvný i otáčivý.
  • Nápověda 3 b) A - kinetická energie koule

    Jaký je vztah mezi rychlostí hmotného středu koule v a úhlovou rychlostí otáčení ω v případě, že se koule valí po podlaze chodby?

    Čemu je roven moment setrvačnosti koule J?

  • Nápověda 3 b) B - kinetická energie koule

    Jaký je vztah mezi rychlostí hmotného středu koule v a úhlovou rychlostí otáčení ω v případě, že se koule valí ve žlabu? Co se změní oproti předchozímu případu?

  • Nápověda 4c) A, B - minimální výška

    Předpokládejme, že se veškerá počáteční potenciální energie tíhová koule \(E_{p0}\) beze ztrát proměnila v energii kinetickou. Co z toho vyplývá pro počáteční výšku koule?

  • Komentář

    Pro srovnání, 50 g kokosové tyčinky má energetickou hodnotu téměř 1000 kJ.

  • Celkové řešení

    hustota koule ... ρ = 2 500 kg·m-3

    rychlost hmotného středu koule ... v = 4 m·s-1

    poloměr koule ... r

    hmotnost koule ... m

    kinetická energie koule ... \(E_k\)

    počáteční výška ... h

    a) Odhad hmotnosti koule:

    Průměr koule bude podle obrázku odpovídat výšce Indyho. Odhadněmě ho na 2 m. Poloměr koule pak bude roven 1 m.

    Hmotnost koule je rovna:

    \[m = \rho V = \rho \frac{4}{3}\pi r^3\,.\]

    Číselně:

    \[m = 2 500 \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 1^3 \, \mathrm{kg} \,\dot= 10{,}5 \, \mathrm{t}\,.\]  

    b) Výpočet kinetické energie:

    Kinetická energie valící se koule je součtem energie pohybu translačního a pohybu rotačního.

    Energie translačního pohybu je:

    \[E_t=\frac{1}{2}mv^2\,.\]

    Energie pohybu rotačního je:

    \[E_r=\frac{1}{2}J\omega^2,\]

    kde J je moment setrvačnosti koule vzhledem k ose jdoucí středem, ω je úhlová rychlost otáčení.

    Kinetická energie koule je:

    \[E_k = E_t + E_r = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2\,.\tag{1}\]

    A. Koule se valí po podlaze chodby:

    Koule pronásledující dobrodruha nepodkluzuje, takže platí vztah:

    \[v=\omega r\,.\]

    Pro moment setrvačnosti koule vzhledem k ose jdoucí jejím středem platí vztah:

    \[J = \frac{2}{5}mr^2\,.\]

    Dosazením do vztahu (1) dostáváme:

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2}J\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r})^2=\frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{5}mv^2\,,\] \[E_k = \frac{7}{10}mv^2\,.\tag{2}\]

    Číselně:

    \[E_k=\frac{7}{10}\cdot 10500{\cdot} 4^2 \,\mathrm J = 117 600\,\mathrm J\,,\] \[E_k \dot{=} 118 \,\mathrm kJ\,.\]

    B. Koule se valí ve žlabu:

    Pro úhlovou rychlost otáčení koule platí:

    \[\omega = \frac{v}{r_1} (=\frac{v_r}{r})\,.\]

    Rychlost hmotného středu koule je rovna:

    \[v = \omega r_1\,.\]
    náčrtek

    Pro výpočet kinetické energie využijeme opět vztah (1):

    \[E_k=\frac{1}{2}mv^2+ \frac{1}{2}J\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(\frac{2}{5}mr^2)(\frac{v}{r_1})^2=\frac{1}{2}mv^2 (1+ \frac{2}{5}\frac{r^2}{r_1^2})\,.\]

    Dosadíme za \(r_1 = \frac{2}{3}r\):

    \[E_k = \frac{1}{2}mv^2 (1+\frac{9}{10})\,,\] \[E_k = \frac{19}{20}mv^2\,.\tag{3}\]

    Číselně:

    \[E_k=\frac{19}{20}\cdot 10500{\cdot} 4^2 \,\mathrm J = 159 600\,\mathrm J\,,\] \[E_k \dot{=} 160\,\mathrm kJ\,.\]

    c) Výpočet minimální výšky:

    Pokud by došlo k bezeztrátové přeměně potenciální energie tíhové v kinetickou, musí platit:

    \[E_k = E_{p0}\,.\] Pro potenciální energii tíhovou platí: \[E_{p0} = mgh\,.\]

    Za Ek dosadíme ze vztahu (2) pro případ valení po podlaze chodby, resp. ze vztahu (3) v případě valení ve žlabu.

    A. Valení po podlaze chodby:

    \[\frac{7}{10}mv^2=mgh\,.\]

    Všimněme si, že na hmotnosti koule výsledek záviset nebude:

    \[\frac{7}{10}v^2=gh\,,\] \[h=\frac{7}{10}\frac{v^2}{g}\,.\]

    Číselně:

    \[h=\frac{7}{10}\cdot\frac{4^2}{9{,}81}\,\mathrm m \dot{=} 1{,}1 \,\mathrm m\,.\]

    B. Valení ve žlabu:

    \[\frac{19}{20}mv^2=mgh\,.\]

    Na hmotnosti koule výsledek opět nezávisí:

    \[\frac{19}{20}v^2=gh\,,\] \[h=\frac{19}{20}\frac{v^2}{g}\,.\]

    Číselně:

    \[h=\frac{19}{20}\cdot\frac{4^2}{9{,}81}\,\mathrm m \dot{=} 1{,}5 \,\mathrm m\,.\]

    Poznámka:

    Výškou se rozumí, o kolik koule spadne ve svislém směru.

  • Odpověď

    a) Koule pronásledující Indyho má přibližně hmotnost 10,5 t.

    b) Koule pronásledující Indyho má kinetickou energii:

    A. V případě valení po dně chodby:

    \[E_k = \frac{7}{10}mv^2 \dot{=} 118 \,\mathrm kJ\,.\]

    B. V případě valení ve žlabu:

    \[E_k = \frac{19}{20}mv^2 \dot{=} 160\,\mathrm kJ\,.\]

    c) Koule mohla získat svojí energii sjetím z výšky alespoň:

    A. V případě valení po dně chodby:

    \[h=\frac{7}{10}\frac{v^2}{g}\dot{=} 1{,}1 \,\mathrm m\,.\]

    B. V případě valení ve žlabu:

    \[h=\frac{19}{20}\frac{v^2}{g}\dot{=} 1{,}5 \,\mathrm m\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na syntézu
Původní zdroj: http://zebu.uoregon.edu/~probs/mech/circ/Rotkin/Rotkin.html, obrázek je z
www.imdb.com
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: http://zebu.uoregon.edu/~probs/mech/circ/Rotkin/Rotkin.html, obrázek je z www.imdb.com
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze