Sprinter

Úloha číslo: 108

Sprinter měl při tréninku na trati délky 100 m vymezený úsek, na kterém se měl rozbíhat rovnoměrně zrychleným pohybem a dosaženou rychlostí pak pokračovat do cíle. Trenér nejprve stanovil délku zrychleného úseku na 36 m a naměřil na něm čas 9 s, podruhé stanovil délku tohoto úseku na 30 m a naměřil na něm čas 7 s.

a) Určete dosaženou maximální rychlost při prvním a druhém rozběhu a konečné časy na celé dráze 100 m při prvním a druhém rozběhu.

b) Určete maximální rychlost, které by při třetím rozběhu musel sprinter dosáhnout na stejném úseku jako při druhém rozběhu a kterou by poté udržel do cíle, aby doběhl v konečném čase 12 s.

c) Sestrojte do jednoho obrázku grafy závislosti rychlosti na čase všech tří běhů.

d) Určete zrychlení sprintera při rozbíhání v každém z uvedených běhů.

Poznámka: Přesněji bychom měli mluvit o velikosti rychlosti a velikosti zrychlení. Vzhledem k tomu, že jde o přímočarý pohyb, kde se směr těchto veličin nemění, píšeme pro přehlednost a zkrácení textu jen rychlost a zrychlení.

Zápis

s = 100 m	celková dráha
s₁ = 36 m	délka zrychleného úseku při 1. rozběhu
t₁ = 9 s	čas na zrychleném úseku při 1. rozběhu
s₂ = 30 m	délka zrychleného úseku při 2. rozběhu
t₂ = 7 s	čas na zrychleném úseku při 2. rozběhu
a)
v_m1 = ? (m·s⁻¹)	maximální rychlost při 1. rozběhu
v_m2 = ? (m·s⁻¹)	maximální rychlost při 2. rozběhu
t_k1 = ? (s)	celkový čas při 1. rozběhu
t_k2 = ? (s)	celkový čas při 2. rozběhu
b)
s₃ = s₂ = 30 m	délka zrychleného úseku při 3. rozběhu
t_k3 = 12 s	celkový čas při 3. rozběhu
t₃ = ? (s)	čas na na zrychleném úseku při 3. rozběhu
v_m3 = ? (m·s⁻¹)	maximální rychlost při 3. rozběhu
d)
a₁ = ? (m·s⁻²)	zrychlení na zrychleném úseku při 1. rozběhu
a₂ = ? (m·s⁻²)	zrychlení na zrychleném úseku při 2. rozběhu
a₃ = ? (m·s⁻²)	zrychlení na zrychleném úseku při 3. rozběhu

Nápověda 1 pro a): Maximální rychlosti
Uvědomte si, jaké vztahy platí pro rychlost a dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu. Spojením těchto vztahů snadno určíte dosaženou maximální rychlost v_m1 a v_m2.
Řešení k nápovědě 1
Pro rychlost rovnoměrně zrychleného pohybu platí:
\[v_\mathrm{m1}\,=\,a_1t_1\,.\]
Odtud:
\[a_1 \,=\, \frac{v_\mathrm{m1}}{t_1}\,.\]
Pro dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu platí:
\[s_1\,=\,\frac{1}{2}a_1t_1^{2}\,.\]
Dosadíme za a₁:
\[s_1 \,=\, \frac{v_\mathrm{m1}t_1}{2}\,.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{m1}\,=\,\frac{2s_1}{t_1}\,.\tag{1}\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m1} \,=\, \frac{2{\cdot}36}{9}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \,=\, 8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
Analogicky pro druhý běh:
\[v_\mathrm{m2}\,=\,\frac{2s_2}{t_2}\,.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m2} \,=\, \frac{2{\cdot}30}{7}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \,\dot=\, 8{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
Nápověda 2 pro a): Konečné časy na dráze
Pro určení konečného času si stačí uvědomit, že čas na zrychleném úseku známe a čas sprintera na úseku, kde se pohyboval rovnoměrně, snadno určíme z délky daného úseku a výše určené dosažené maximální rychlosti.
Řešení k nápovědě 2
Čas dosažený na celé dráze při prvním běhu je:
\[t_\mathrm{k1}=t_1+ t_1^{,}\,.\tag{2}\]
Kde:
\[ t_1^{,} \,=\, \frac{s-s_1}{v_\mathrm{m1}}\,.\]
Dosadíme za v_m1 z (1):
\[ t_1^{,} \,=\, \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1}\,.\]
Dosadíme do (2):
\[t_\mathrm{k1}\,=\,t_1 + \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1} \,=\, \frac{2s_1t_1 + st_1 - s_1t_1}{2s_1} \,=\, \frac{s+s_1}{2s_1}\,t_1\,.\]
Číselně:
\[t_\mathrm{k1}\,=\,\frac{100 + 36}{2{\cdot}36}\cdot9\,\mathrm{s}\,=\,17\,\mathrm{s}\,.\]

Analogicky pro čas dosažený na celé dráze při druhém běhu platí:
\[t_\mathrm{k2}\,=\,\frac{s+s_2}{2s_2}\,t_2\,.\]
Číselně:
\[t_\mathrm{k2}\,=\,\frac{100 + 30}{2{\cdot}30}\cdot7\,\mathrm{s}\,\dot=\,15{,}2\,\mathrm{s}\,.\]
Nápověda 3 pro b): Maximální rychlost pro třetí běh
Víte, jaký platí vztah mezi dráhou, dobou a rychlostí rovnoměrného pohybu?

Dráhu, na které se sprinter pohyboval rovnoměrně, snadno odvodíte, stejně tak dobu, kterou tento úsek běžel. Rychlost hledáme. Pro neznámý čas běhu sprintera na zrychleném úseku pak stačí buď použít vztah z předchozí úlohy, nebo si uvědomit, jak se dá vyjádřit doba rovnoměrně zrychleného pohybu.
Řešení k nápovědě 3
Při třetím běhu platí pro úsek, kde sprinter běžel rovnoměrně:
\[s_3^{,} \,=\, s-s_3\,=\,v_\mathrm{m3} t_3^{,}\,.\tag{3}\]
Kde:
\[t_3^{,} \,=\, t_\mathrm{k3} - t_3\,.\]
t₃…doba zrychleného pohybu

Pro maximální rychlost v_m3 můžeme psát analogicky podle (1):
\[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{2s_3}{t_3}\,.\]
Odtud:
\[t_3 \,=\, \frac{2s_3}{v_\mathrm{m3}}\,.\tag{4}\]
Dosadíme do (3):
\[s\,-\,s_3\,=\,v_\mathrm{m3}\left(t_\mathrm{k3}-t_3\right)\,=\,v_\mathrm{m3}\left(t_\mathrm{k3}-\frac{2s_3}{v_\mathrm{m3}}\right)\,,\] \[s\,-\,s_3\,=\,v_\mathrm{m3}t_\mathrm{k3}\,-\,2s_3\,.\]
Odtud:
\[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{s+s_3}{t_\mathrm{k3}}\,.\tag{5}\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{100+30}{12}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot=\,10{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
Nápověda 4 pro c): Grafy závislosti rychlosti na čase
K sestrojení grafů musíte dopočítat čas t₃. Vztah pro jeho výpočet znáte z předchozí části úlohy.

Které veličiny ještě k sestrojení grafů potřebujete? Znáte je všechny?
Řešení k nápovědě 4
K sestrojení grafů je nutné dopočítat čas t₃, to lze udělat ze vztahu (4) a (5):
\[t_3\,=\,\frac{2s_3}{v_\mathrm{m3}}\,=\,\frac{2s_3}{s+s_3}t_\mathrm{k3}\,.\]

Číselně:
\[t_3\,=\,\frac{2{\cdot}30}{100+30}\cdot12\,\mathrm{s}\,\dot=\,5{,}5\,\mathrm{s}\,.\]
Zbývající veličiny t₁, t₂, t_k1, t_k2, t_k3, v_m1, v_m2 a v_m3 už známe.
Nápověda 5 pro d): Zrychlení sprintera při rozbíhání
Stačí vyjít ze vztahu mezi zrychlením a rychlostí rovnoměrně zrychleného pohybu.

Všechny veličiny pak již znáte.
Řešení k nápovědě 5
Zrychlení při rozbíhání při jednotlivých pohybech jsou následující:
\[a_1\,=\,\frac{v_\mathrm{m1}}{t_1}\,=\,\frac{2s_1}{{t_1}^{2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{v_\mathrm{m2}}{t_2}\,=\,\frac{2s_2}{{t_2}^{2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{v_\mathrm{m3}}{t_3}\,=\,\frac{2s_3}{{t_3}^{2}}\,=\,\frac{(s+s_3)^{2}}{2s_3{t_\mathrm{k3}}^{2}}\,.\]

Číselně:
\[a_1\,=\,\frac{2{\cdot}36}{{9}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{2{\cdot}30}{{7}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{(100+30)^{2}}{2{\cdot}30\cdot12^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
a) Z rovnic
\[v_\mathrm{m1}\,=\,a_1t_1\,,\] \[s_1\,=\,\frac{1}{2}a_1t_1^{2}\,\]
plyne:
\[v_\mathrm{m1}\,=\,\frac{2s_1}{t_1}\,.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m1}\,=\,\frac{2{\cdot}36}{9}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \,=\,8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

Čas dosažený na celé dráze při prvním běhu je:
\[t_\mathrm{k1}=t_1+ t_1^{,}\,,\]
kde
\[ t_1^{,} \,=\, \frac{s-s_1}{v_\mathrm{m1}}\,.\]
Dosadíme za v_m1:
\[ t_1^{,} \,=\, \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1}\,.\]
Pak:
\[t_\mathrm{k1}\,=\,t_1 + \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1} \,=\, \frac{2s_1t_1 + st_1 - s_1t_1}{2s_1} \,=\, \frac{s+s_1}{2s_1}\,t_1\,.\]
Číselně:
\[t_\mathrm{k1}\,=\,\frac{100 + 36}{2{\cdot}36}\cdot9\,\mathrm{s}\,\dot=\,17\,\mathrm{s}\,.\]

Analogicky pro druhý běh:
\[v_\mathrm{m2}\,=\,\frac{2s_2}{t_2}\,.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m2}\,=\,\frac{2{\cdot}30}{7}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot=\,8{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

Pro čas dosažený na celé dráze při druhém běhu platí:
\[t_\mathrm{k2}\,=\,\frac{s+s_2}{2s_2}t_2\,.\]
Číselně:
\[t_\mathrm{k2}\,=\,\frac{100 + 30}{2{\cdot}30}\cdot7\,\mathrm{s}\,\dot=\,15{,}2\,\mathrm{s}\,.\]

b) Při třetím běhu platí:
\[s\,-\,s_3\,=\,v_\mathrm{m3}(t_\mathrm{k3}-t_3)\,=\,v_\mathrm{m3}\left(t_\mathrm{k3}-\frac{2s_3}{v_\mathrm{m3}}\right)\,=\,v_\mathrm{m3}t_\mathrm{k3}\,-\,2s_3\,,\] \[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{s+s_3}{t_\mathrm{k3}}\,.\]
Číselně:
\[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{100+30}{12}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,=\,10{,}8\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]

c) K sestrojení grafů je nutné dopočítat čas t₃:
\[t_3\,=\,\frac{2s_3}{v_\mathrm{m3}}\,=\,\frac{2s_3}{s+s_3}t_\mathrm{k3}\,.\]
Číselně:
\[t_3\,=\,\frac{2{\cdot}30}{100+30}\cdot12\,\mathrm{s}\,=\,5{,}5\,\mathrm{s}\,.\]

Zbývající veličiny t₁, t₂, t_k1, t_k2, t_k3, v_m1, v_m2 a v_m3 už známe.

d) Zrychlení při rozbíhání při jednotlivých pohybech jsou následující:
\[a_1\,=\,\frac{v_\mathrm{m1}}{t_1}\,=\,\frac{2s_1}{{t_1}^{2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{v_\mathrm{m2}}{t_2}\,=\,\frac{2s_2}{{t_2}^{2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{v_\mathrm{m3}}{t_3}\,=\,\frac{2s_3}{{t_3}^{2}}\,=\,\frac{(s+s_3)^{2}}{2s_3{t_\mathrm{k3}}^{2}}\,.\]
Číselně:
\[a_1\,=\,\frac{2{\cdot}36}{{9}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{2{\cdot}30}{{7}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_3=\frac{(100+30)^{2}}{2{\cdot}30\cdot12^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]
Odpověď
a) Dosažené maximální rychlosti jsou
\[v_\mathrm{m1}\,=\,\frac{2s_1}{t_1}\,=\,8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,,\] \[v_\mathrm{m2}\,=\,\frac{2s_2}{t_2}\,\dot=\,8{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
Konečné časy na celé dráze jsou
\[t_\mathrm{k1}\,=\,\frac{s+s_1}{2s_1}t_1\,\dot=\,17\,\mathrm{s}\,,\] \[t_\mathrm{k2}\,=\,\frac{s+s_2}{2s_2}t_2\,\dot=\,15{,}2\,\mathrm{s}\,.\]
b) Maximální dosažená rychlost při třetím běhu je
\[v_\mathrm{m3}\,=\,\frac{s+s_3}{t_\mathrm{k3}}\,\dot=\,10{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]
c) Grafy závislosti rychlosti na čase u všech tří běhů:

d) Zrychlení sprintera při rozbíhání v každém z uvedených běhů jsou
\[a_1\,=\,\frac{v_\mathrm{m1}}{t_1}\,\dot=\,0{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{v_\mathrm{m2}}{t_2}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{v_\mathrm{m3}}{t_3}\,\dot=\,2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]