Sprinter

Úloha číslo: 108

Sprinter měl při tréninku na trati délky 100 m vymezený úsek, na kterém se měl rozbíhat rovnoměrně zrychleným pohybem a dosaženou rychlostí pak pokračovat do cíle. Trenér nejprve stanovil délku zrychleného úseku na 36 m a naměřil na něm čas 9 s, podruhé stanovil délku tohoto úseku na 30 m a naměřil na něm čas 7 s.

a) Určete dosažené maximální rychlosti při prním a druhém rozběhu a konečné časy na celé dráze 100 m při prvním a druhém rozběhu.

b) Určete maximální rychlost, které by při třetím rozběhu musel sprinter dosáhnout na stejném úseku jako při druhém rozběhu a poté udržet do cíle, aby doběhl v konečném čase 12 s.

c) Sestrojte do jednoho obrázku grafy závislosti rychlosti na čase všech tří běhů.

d) Určete zrychlení sprintera při rozbíhání v každém z uvedených běhů.

Poznámka: Přesněji bychom měli mluvit o velikosti rychlosti a velikosti zrychlení. Vzhledem k tomu, že jde o přímočarý pohyb, kde se směr těchto veličin nemění, píšeme pro přehlednost a zkrácení textu jen rychlost a zrychlení.

  • Zápis

    s = 100 m celková dráha
    s1 = 36 m délka zrychleného úseku při 1. rozběhu
    t1 = 9 s čas na zrychleném úseku při 1. rozběhu
    s2 = 30 m délka zrychleného úseku při 2. rozběhu
    t2 = 7 s čas na zrychleném úseku při 2. rozběhu
    a)
    vm1 = ? (m·s−1) maximální rychlost při 1. rozběhu
    vm2 = ? (m·s−1) maximální rychlost při 2. rozběhu
    tk1 = ? (s) celkový čas při 1. rozběhu
    tk2 = ? (s) celkový čas při 2. rozběhu
    b)
    s3 = s2 = 30 m délka zrychleného úseku při 3. rozběhu
    tk3 = 12 s celkový čas při 3. rozběhu
    t3 = ? (s) čas na na zrychleném úseku při 3. rozběhu
    vm3 = ? (m·s−1) maximální rychlost při 3. rozběhu
    d)
    a1 = ? (m·s−2) zrychlení na zrychleném úseku při 1. rozběhu
    a2 = ? (m·s−2) zrychlení na zrychleném úseku při 2. rozběhu
    a3 = ? (m·s−2) zrychlení na zrychleném úseku při 3. rozběhu
  • Nápověda 1 pro a): Maximální rychlosti

    Uvědomte si, jaké vztahy platí pro rychlost a dráhu rovnoměrně zrychleného pohybu. Spojením těchto vztahů snadno určíte dosaženou maximální rychlost vm1 a vm2.

  • Nápověda 2 pro a): Konečné časy na dráze

    Pro určení konečného času si stačí uvědomit, že čas na zrychleném úseku známe a čas sprintera na úseku, kde se pohyboval rovnoměrně, snadno určíme z délky daného úseku a výše určené dosažené maximální rychlosti.

  • Nápověda 3 pro b): Maximální rychlost pro třetí běh

    Víte, jaký platí vztah mezi dráhou, dobou a rychlostí rovnoměrného pohybu?

    Dráhu, na které se sprinter pohyboval rovnoměrně, snadno odvodíte, stejně tak dobu, kterou tento úsek běžel, a jeho rychlost hledáme. Pro neznámý čas běhu sprintera na zrychleném úseku pak stačí budˇ použít vztah z předchozí úlohy nebo si uvědomit, jak se dá vyjádřit doba rovnoměrně zrychleného pohybu.

  • Nápověda 4 pro c): Grafy závislosti rychlosti na čase

    K sestrojení grafů musíte dopočítat čas t3 . Vztah pro jeho výpočet znáte z předchozí části úlohy.

    Které veličiny ještě k sestrojení grafů potřebujete? Znáte je všechny?

  • Nápověda 5 pro d): Zrychlení sprintera při rozbíhání

    Stačí vyjít ze vztahu mezi zrychlením a rychlostí rovnoměrně zrychleného pohybu.

    Všechny veličiny pak již znáte.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    a) Z rovnic

    \[v_{m1}\,=\,a_1t_1\,,\] \[s_1\,=\,\frac{1}{2}a_1t_1^{2}\,.\]

    plyne:

    \[v_{m1}\,=\,\frac{2s_1}{t_1}\,.\]

    Číselně:

    \[v_{m1}\,=\,\frac{2{\cdot}36}{9}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} \,=\,8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

     

    Čas dosažený na celé dráze při prvním běhu je:

    \[t_{k1}=t_1+ t_1^{,}\,.\]

    Kde:

    \[ t_1^{,} \,=\, \frac{s-s_1}{v_{m1}}\,.\]

    Dosadíme za vm1:

    \[ t_1^{,} \,=\, \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1}\,.\]

    Pak:

    \[t_{k1}\,=\,t_1 + \frac{(s-s_1)t_1}{2s_1} \,=\, \frac{2s_1t_1 + st_1 - s_1t_1}{2s_1} \,=\, \frac{s+s_1}{2s_1}\,t_1\,.\]

    Číselně:

    \[t_{k1}\,=\,\frac{100 + 36}{2{\cdot}36}\cdot9\,\mathrm{s}\,\dot=\,17\,\mathrm{s}\,.\]

     

    Analogicky pro druhý běh:

    \[v_{m2}\,=\,\frac{2s_2}{t_2}\,.\]

    Číselně:

    \[v_{m2}\,=\,\frac{2{\cdot}30}{7}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot=\,8{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

     

    Pro čas dosažený na celé dráze při druhém běhu platí:

    \[t_{k2}\,=\,\frac{s+s_2}{2s_2}t_2\,.\]

    Číselně:

    \[t_{k2}\,=\,\frac{100 + 30}{2{\cdot}30}\cdot7\,\mathrm{s}\,\dot=\,15{,}2\,\mathrm{s}\,.\]

     

    b) Při třetím běhu platí:

    \[s\,-\,s_3\,=\,v_{m3}(t_{k3}-t_3)\,=\,v_{m3}\left(t_{k3}-\frac{2s_3}{v_{m3}}\right)\,=\,v_{m3}t_{k3}\,-\,2s_3\,,\] \[v_{m3}\,=\,\frac{s+s_3}{t_{k3}}\,.\]

    Číselně:

    \[v_{m3}\,=\,\frac{100+30}{12}\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,=\,10{,}8\,\mathrm{m \cdot s^{-1}}\,.\]

     

    c) K sestrojení grafů je nutné dopočítat čas t3 :

    \[t_3\,=\,\frac{2s_3}{v_{m3}}\,=\,\frac{2s_3}{s+s_3}t_{k3}\,.\]

    Číselně:

    \[t_3\,=\,\frac{2{\cdot}30}{100+30}\cdot12\,\mathrm{s}\,=\,5{,}5\,\mathrm{s}\,.\]

     

    Zbývající veličiny t1, t2, tk1, tk2, tk3, vm1, vm2   a  vm3  už známe.

    Grafické znázornění

    d) Zrychlení při rozbíhání při jednotlivých pohybech jsou následující:

    \[a_1\,=\,\frac{v_{m1}}{t_1}\,=\,\frac{2s_1}{{t_1}^{2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{v_{m2}}{t_2}\,=\,\frac{2s_2}{{t_2}^{2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{v_{m3}}{t_3}\,=\,\frac{2s_3}{{t_3}^{2}}\,=\,\frac{(s+s_3)^{2}}{2s_3{t_{k3}}^{2}}\,.\]

    Číselně:

    \[a_1\,=\,\frac{2{\cdot}36}{{9}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{2{\cdot}30}{{7}^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_3=\frac{(100+30)^{2}}{2{\cdot}30\cdot12^{2}}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]
  • Odpověď

    a) Dosažené maximální rychlosti jsou

    \[v_{m1}\,=\,\frac{2s_1}{t_1}\,=\,8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,,\] \[v_{m2}\,=\,\frac{2s_2}{t_2}\,\dot=\,8{,}6\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

    Konečné časy na celé dráze jsou

    \[t_{k1}\,=\,\frac{s+s_1}{2s_1}t_1\,\dot=\,17\,\mathrm{s}\,,\] \[t_{k2}\,=\,\frac{s+s_2}{2s_2}t_2\,\dot=\,15{,}2\,\mathrm{s}\,.\]

    b) Maximální dosažená rychlost při třetím běhu je

    \[v_{m3}\,=\,\frac{s+s_3}{t_{k3}}\,\dot=\,10{,}8\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

    c) Grafy závislosti rychlosti na čase u všech tří běhů:

    Grafické znázornění

    d) Zrychlení sprintera při rozbíhání v každém z uvedených běhů jsou

    \[a_1\,=\,\frac{v_{m1}}{t_1}\,\dot=\,0{,}9\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_2\,=\,\frac{v_{m2}}{t_2}\,\dot=\,1{,}2\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,,\] \[a_3\,=\,\frac{v_{m3}}{t_3}\,\dot=\,2{,}0\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na překlad, transformaci
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz – upraveno
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze