Pohyb kola

Úloha číslo: 118

Kolo o poloměru 5 m se rovnoměrně roztáčí. Velikost rychlosti značky na obvodu kola závisí na čase vztahem v(t) = 0,5 m·s-2·t. Vypočtěte velikost celkového zrychlení pohybu značky a úhel, který svírají vektory rychlosti a celkového zrychlení v časech 1 s a 4 s.

  • Zápis

    R = 5 m poloměr kola
    v(t) = a·t; a = 0,5 m·s-2 časová závislost velikosti rychlosti značky
    ac = ? (m·s-2) velikost celkového zrychlení pohybu značky
    β = ? (°) úhel, který svírají vektory rychlosti a celkového zrychlení
  • Nápověda 1: Rychlost, celkové zrychlení

    Nakreslete si obrázek a do něj zakreslete, kam míří vektor rychlosti a celkového zrychlení bodu (značky). Uvědomte si, o jaký pohyb se jedná a jaké složky má celkové zrychlení.

  • Nápověda 2: Tečné, normálové zrychlení a jejich velikost

    Jak velké je tečné a jak velké je normálové zrychlení? Velikost celkového zrychlení pak jistě snadno určíte.

  • Nápověda 3: Úhel beta

    Úhel β snadno určíte pomocí obrázku z první nápovědy a tečného a normálového zrychlení.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Výpočet velikosti celkového zrychlení:

    Pro velikost tečného zrychlení at platí:

     

    \[a_t\,=\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\,=\, \frac{\mathrm{d}\left(at\right)}{\mathrm{d}t}\,=\, a\,.\]

     

    Pro velikost normálového zrychlení an platí:

     

    \[a_n\,=\,\frac{v^{2}}{R}\,=\,\frac{a^{2}t^{2}}{R}\,.\]

     

    Velikost celkového zrychlení ac vypočteme z velikostí tečného zrychlení at a normálového zrychlení an:

     

    \[a_c\,=\,\sqrt{a_t^{2}+a_n^{2}}\,,\] \[a_c\left(t\right)\,=\,\sqrt{a^{2}+\frac{a^{4}t^{4}}{R^{2}}}\,=\,a\sqrt{1+\frac{a^{2}t^{4}}{R^{2}}}\,.\]

     

    Číselně:

     

    \[a_c\left(1\right)\,=\,0{,}5\sqrt{1+\frac{0{,}5^{2}\cdot 1^{4}}{5^{2}}}\,\mathrm{m \cdot s^{-2}} \,=\,0{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,,\] \[a_c\left(4\right)\,=\, 0{,}5\sqrt{1+\frac{0{,}5^{2}\cdot 4^{4}}{5^{2}}}\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,=\, 0{,}94\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

     

    Výpočet úhlu β:

    Obrázek situace:

     

    Obrázek znázorňující situaci

    Úhel β mezi vektory rychlosti a celkového zrychlení je zároveň úhlem mezi tečným a celkovým zrychlením. Podle obrázku potom platí:

     

    \[tg\beta\,=\,\frac{a_n}{a_t}\,=\,\frac{a^{2}t^{2}}{Ra}\,=\,\frac{at^{2}}{R}\,,\] \[\beta\left(t\right)\,=\,arctg\frac{at^{2}}{R}\,,\] \[\beta\left(1\right)\,=\,arctg\frac{0{,}5{\cdot} 1^{2}}{5}\,=\,5{,}7\,^{\circ}\,,\] \[\beta\left(4\right)\,=\,arctg\frac{0{,}5{\cdot} 4^{2}}{5}\,=\,58\,^{\circ}\,.\]
  • Odpověď

    Velikost celkového zrychlení ac je:

     

    \[a_c(t)= a\sqrt{1+\frac{a^{2}t^{4}}{R^{2}}}\,.\]

     

    Číselně:

     

    \[a_c(1)= 0{,}5\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,,\] \[a_c(4)= 0{,}94\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,.\]

     

    Úhel β je:

     

    \[\beta(t)=arctg\frac{at^{2}}{R}\,.\]

     

    Úhel β v okamžiku t1 = 1 s   je:

     

    \[\beta(1)= 5{,}7^{\circ}\,.\]

     

    Úhel β v okamžiku t2 = 4 s   je:

     

    \[\beta(4)= 58^{\circ}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze