Pevná kladka

Úloha číslo: 99

Na pevné kladce visí závaží o hmotnosti 0,55 kg a kbelík o hmotnosti 0,45 kg. Určete zrychlení soustavy a sílu, kterou působí kladka na osu. Hmotnost kladky i provázku zanedbejte, tření neuvažujte.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m1 = 0,55 kg hmotnost závaží
    m2 = 0,45 kg hmotnost kbelíku
    a = ? m·s−2 zrychlení soustavy
    Fk = ? N síla, kterou působí kladka na osu
  • Nápověda 1 – pohybové rovnice, výpočet zrychlení

    Nakreslete si obrázek a v něm vyznačte všechny síly, které působí na závaží a na kbelík. Napište pro závaží a kbelík jejich pohybové rovnice. Zaveďte si souřadný systém.

  • Nápověda 2 – výpočet síly působící na osu kladky

    Síla, kterou působí kladka na osu, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou působí osa na kladku. Nakreslete si všechny síly, které působí na kladku a uvědomte si, jaká je jejich výslednice.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku vyznačíme všechny síly působící na kbelík a závaží a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

    Síly působící na závaží:

    Závaží m1:

    \(\vec{F}_{G1}\)…síla tíhová

    \(\vec{T}_1\)…tahová síla provázku

    Závaží m2:

    \(\vec{F}_{G2}\)…síla tíhová

    \(\vec{T}_2\)…tahová síla provázku

    Síly působící na tělesa

    Pohybové rovnice:

    Závaží m1:

    \[\vec{F}_{G1}+\vec{T}_1\,=\,m_1\vec{a}.\]

    Kbelík m2:

    \[\vec{F}_{G2}+\vec{T}_2\,=\,m_2\vec{a}.\]

    Závaží a kbelík se pohybují se stejně velkým zrychlením opačné orientace.

    Síly působící na tělesa (se souřadnicemi)

    Zvolme si osu y, jak je vyznačeno na obrázku. Přepíšeme rovnice skalárně:

    \[F_{G1} - T_1 \,=\, m_1a,\tag{1}\] \[T_2 - F_{G2} \,=\, m_2a.\tag{2}\]

    Jelikož hmotnost kladky zanedbáváme, nemá tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňuje provázkové síly. Závaží m1 působí prostřednictvím provázku na kbelík m2 a kbelík m2 zase naopak na závaží m1. Podle 3. Newtonova zákona platí pro velikosti provázkových sil:

    \[|\vec{T}_1| \,=\, |\vec{T}_2| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

    Dosadíme do rovnic (1) a (2):

    \[m_1g - T \,=\, m_1a,\tag{3}\] \[T - m_2g \,=\, m_2a.\tag{4}\]

    Výpočet zrychlení:

    Součtem rovnic (3) a (4) dostáváme:

    \[m_1g - m_2g \,=\, m_1a+m_2a,\] \[(m_1 - m_2)g \,=\, (m_1+m_2)a,\] \[a\,=\,\frac{(m_1 - m_2)g}{m_1+m_2}.\tag{5}\]

    Dosadíme a spočteme zrychlení číselně:

    \[a\,=\,\left(\frac{\left(0{,}55\,-\,0{,}45\right)9{,}81}{0{,}55+0{,}45}\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot=\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Výpočet síly působící na osu kladky:

    Na kladku působí po stranách tahové síly provázku \(\vec{T}_1^\prime\) a \(\vec{T}_2^\prime\) a dále osa, na které je upevněna, silou \(\vec{F}_k\) (hmotnost kladky a tedy i tíhovou sílu působící na kladku neuvažujeme).

    Síly působící na kladku

    Posuvné zrychlení kladky je nulové, takže je nulová i výslednice sil na ni působících:

    \[\vec{T}_1^\prime\,+\,\vec{T}_2^\prime\,+\,\vec{F}_k\,=\,0\,.\tag{6}\]

    Jelikož hmotnost kladky zanedbáváme, nemá tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňuje provázkové síly. Pro provázkové síly podle 3. Newtonova zákona platí:

    \[|\vec{T}_1^\prime| \,=\, |\vec{T}_2^\prime| \,=\, |\vec{T}|\,.\]

    Rovnici (6) přepíšeme skalárně:

    \[2T\,-\,F_k\,=\,0,\] \[2T\,=\,F_k.\tag{7}\]

    Tahovou sílu můžeme vyjádřit buďto z rovnice (3) nebo (4):

    \[F_k\,=\,2m_2\left(a+g\right)\,=\,2m_1\left(g-a\right)\,.\tag{8}\]

    Dosadíme do rovnice (8) číselně:

    \[F_k\,=\,2\,\cdot\,0{,}45\left(9{,}81\,+\,0{,}98\right)\,\mathrm{N}\,=\,2\,\cdot\,0{,}55\left(9{,}81\,-\,0{,}98\right)\,\mathrm{N},\] \[F_k\,=\,0{,}9\,\cdot10{,}79\,\mathrm{N}\,=\,1{,}1\,\cdot8{,}83\,\mathrm{N},\] \[F_k\,\dot=\,9{,}71\,\mathrm{N}.\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Zrychlení soustavy je \(a\,\dot=\,0{,}98\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\).

    Síla, kterou působí kladka na osu, je \(F_k\,\dot=\,9{,}71\,\mathrm{N}\).

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze