Rozklad sil

Úloha číslo: 1134

Závaží, na které působí tíhová síla FG, je upevněno na dvou tyčích K a L (viz obr.1).

Obrázek 1 - zadání úlohy

Obrázek 1

Obecně vyjádřete velikost sil přenášených tyčemi K a L.

  • Nápověda 1

    Které síly působí v místě styku tyčí na závěs a jaký mají směr? Zakreslete je do obrázku. Jaká je výslednice těchto sil?

  • Nápověda 2

    Sestrojte si do obrázku 2 výslednici sil KL. Její velikost znáte. Vyznačte, kde všude jsou ve vzniklém rovnoběžníku sil úhly αβ. Zvolte jeden z trojúhelníků, ve kterém znáte všechny tři úhly a jednu stranu. Umíte na tento trojúhelník (obecně ne pravoúhlý) aplikovat nějaké matematické pravidlo a vyjádřit velikosti zbývajících dvou stran odpovídajících velikostem sil K a L?

  • Nápověda 3

    Napište sinovou větu pro trojúhelník ABC a vyjádřete z ní velikosti hledaných sil KL.

  • Celkové řešení

    Na závěs působí v místě styku tyčí tyto síly (viz obr. 2):

    • tlaková síla K ve směru tyče K,
    • tažná síla L ve směru tyče L,
    • směrem svisle dolů táhne závaží svou tíhou G = FG.
     
    Obrázek 2 - působící síly

    Protože závěs je vzhledem k nosné konstrukci v klidu, musí být výslednice výše těchto sil nulová:

    \[\vec{F}_G\,+\,\vec{K}\,+\,\vec{L}\,=\,\vec{o}.\]

    Síly FG, KL vymezují trojúhelník ABC, vyznačený v obrázku 3.

    Obrázek 3 - sinová věta

    V tomto trojúhelníku známe všechny úhly i stranu AB, a lze pro něj tedy napsat sinovou větu:

    \[\frac{K}{\sin{\alpha}}\,=\,\frac{L}{\sin{\beta}}\,=\,\frac{F_G}{\sin({\pi\,-\,(\alpha\,+\,\beta))}}.\tag{1}\]

    Z vlastností funkce sinus víme:

    \[\sin{(\pi\,-\,(\alpha\,+\,\beta))}\,=\,\sin(\alpha\,+\,\beta).\tag{2}\]

    Ze vztahů (1) a (2) tedy plyne:

    \[K\,=\,\frac{F_G\sin{\alpha}}{\sin(\alpha\,+\,\beta)},\] \[L\,=\,\frac{F_G\sin{\beta}}{\sin(\alpha\,+\,\beta)}.\]
  • Odpověď

    Pro velikosti sil KL platí:

    \[K\,=\,\frac{F_G\sin{\alpha}}{\sin(\alpha\,+\,\beta)},\] \[K\,=\,\frac{F_G\sin{\beta}}{\sin(\alpha\,+\,\beta)}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze