Vrh svislý vzhůru

Úloha číslo: 195

Z povrchu Země je vystřelen kolmo vzhůru dělostřelecký granát hmotnosti m, jeho rychlost při výstřelu je v1. Určete:

a) maximální výšku h, do které granát vystoupí,

b) rychlost vd granátu při dopadu zpět na zem,

c) celkovou dobu letu granátu tc.

Poznámka: Odpor vzduchu neuvažujte. Tíhové pole považujte za homogenní.

  • Nápověda 1

    K nalezení maximální výšky h lze využít dva různé fyzikální přístupy - objevíte alespoň jeden z nich?

  • Nápověda 2: Vypočtení maximální výšky h ze ZZME

    Zvolme na povrchu Země hladinu nulové potenciální energie. Jaký druh energie má granát v okamžiku, kdy povrch opouští? Co se s touto energií stane, když vystoupá do maximální výšky h?
  • Komentář: Alternativní nalezení maximální výšky h

    Alternativně lze výšku h určit z kinematických úvah. Pohyb granátu směrem vzhůru je rovnoměrně zpomalený (nejde o nic jiného než o vrh svislý vzhůru) a je tady popsán rovnicemi:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]

    kde H(t) je výška nad zemí v čase tv(t) rychlost v čase t.

    V čase t = t0, kdy granát dosáhne maximální výšky, platí: H(t0) = h, v(t0) = 0. Tedy:

    \[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]

    Z druhé rovnice vyjádříme čas t0 a dosadíme do první rovnice:

    \[t_0 = \frac{v_1}{g}\,,\]

    \[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]

  • Nápověda 3: Určení rychlosti vd při dopadu:

    Vyjděte ze ZZME. Jakou celkovou mechanickou energii má granát při dopadu? Srovnejte ji s celkovou energií na počátku pohybu (tj. těsně po vystřelení).

  • Nápověda 4: Výpočet celkového času tc:

    Vyjděte z kinematických úvah pro vrh svislý vzhůru, znovu použijte vztah popisující při tomto vrhu závislost výšky nad zemí H(t) na čase. Jaká je tato výška v okamžiku dopadu? Správný postup vás dovede k řešení kvadratické rovnice pro čas.

  • Komentář: Alternativní nalezení doby letu tc

    Nalezneme tc jako součet doby výstupu (označíme tv) a doby sestupu (označíme ts).

    Pro výstup platí:

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt.\]

    Po uplynutí doby výstupu tv je rychlost v(tv) = 0:

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_v,\]

    \[t_v\,=\,\frac{v_1}{g}.\]

    Pro sestup platí:

    \(v(t)\,=\,gt\) (jde o volný pád).

    Po uplynutí doby sestupu ts je rychlost v(ts) rovna rychlosti dopadu: v(ts) = vd:

    \[v_d\,=gt_s,\]

    \[t_s\,=\,\frac{v_d}{g}.\]

    Pro celkový čas letu tc platí:

    \(t_c\,=\,t_v\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_d}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\)

    protože jsme v části b) ukázali, že v1 = vd.
  • Celkové řešení

    a) Nalezení maximální výšky h:

    1. způsob: Pomocí zákona zachování mechanické energie:

    Zvolme na povrchu Země hladinu nulové potenciální energie. V okamžiku, kdy granát opouští zemský povrch, má kinetickou energii Ek1:

    \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\,,\)

    která je současně jeho celkovou mechanickou energií (potenciální energii Ep1 = 0 dle naší počáteční volby).

    Jak se granát dostává výš a výš, jeho pohyb se zpomaluje, klesá jeho kinetická a roste jeho potenciální energie. Když dosáhne maximální výšky h, je jeho rychlost a tedy i kinetická energie Ek2 nulová (Ek2 = 0) - veškerá počáteční mechanická energie se přeměnila na potenciální energii Ep2:

    \(E_{p2}\,=mgh\) (kde g je tíhové zrychlení).

    Neuvažujeme-li odpor vzduchu, musí dle ZZME platit:

    \(E_{k1}\,+\,E_{p1}\,=\,E_{k2}\,+\,E_{p2}\,,\)

    \(\frac{1}{2}mv_1^2\,+\,0\,=\,0\,+\,mgh\,,\), tedy:

    \(h\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\)

    2. způsob: Pomocí kinematických vztahů:

    Pohyb granátu směrem vzhůru je rovnoměrně zpomalený (nejde o nic jiného než o vrh svislý vzhůru) a je tady popsán rovnicemi:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,,\]

    \[v(t)\,=\,v_1\,-\,gt\,,\]

    kde H(t) je výška nad zemí v čase tv(t) rychlost v čase t.

    V čase t = t0, kdy granát dosáhne maximální výšky, platí: H(t0) = h, v(t0) = 0. Tedy:

    \[h\,=\,v_1t_0\,-\,\frac{1}{2}gt_0^2\,,\]

    \[0\,=\,v_1\,-\,gt_0\,.\]

    Z druhé rovnice vyjádříme čas t0 a dosadíme do první rovnice:

    \[t_0 = \frac{v_1}{g},\]

    \[h\,=\,v_1(\frac{v_1}{g})\,-\,\frac{1}{2}g(\frac{v_1}{g})^2\,=\,\frac{v_1^2}{2g}\,.\]

    b) Určení rychlosti vd při dopadu:

    Dle ZZME se mechanická energie granátu během celého pohybu zachovává - bude se tedy zjevně rovnat celková mechanická energie na počátku a na konci pohybu.

    Na počátku pohybu měl granát pouze kinetickou energii \(E_{k1}\,=\,\frac{1}{2}mv_1^2\), na konci pohybu (v okamžiku dopadu) pouze kinetickou energii \(E_{kd}\,=\,\frac{1}{2}mv_d^2\).

    Protože ze ZZME platí: \(E_{k1}\,=\,E_{kd}\), zjevně je i \(v_1\,=\,v_d\).

    Rychlost vd má stejnou velikost jako rychlost v1 a opačný směr.

    c) Určení doby letu tc:

    1. způsob:

    Pro aktuální výšku svislého vrhu vzhůru platí:

    \[H(t)\,=\,v_1t\,-\,\frac{1}{2}gt^2\,.\]

    V čase t = tc (tedy na konci pohybu) je výška opět nulová (granát právě dopadl), tj.:

    \[H(t_c)\,=\,0\,.\]

    Odtud dostáváme kvadratickou rovnici pro čas:

    \[0\,=\,v_1t_c\,-\,\frac{1}{2}gt_c^2,\]

    \[0\,=\,t_c(v_1\,-\,\frac{1}{2}gt_c).\]

    Vyřešením této kvadratické rovnice získáme 2 řešení:

    1. \(t_{c1}\,=\,0\)… vyjadřuje stav na počátku pohybu (t = 0; H(0) = 0),

    2. \(t_{c2}\,=\,\frac{2v_1}{g}\)… hledané řešení.

    2. způsob:

    Alternativně nalezneme tc jako součet doby výstupu (označíme tv) a doby sestupu (označíme ts).

    Pro výstup platí:

    \(v(t)\,=\,v_1\,-\,gt.\)

    Po uplynutí doby výstupu tv je rychlost v(tv) = 0:

    \(0\,=\,v_1\,-\,gt_v,\)

    \(t_v\,=\,\frac{v_1}{g}.\)

    Pro sestup platí:

    \(v(t)\,=\,gt\) (jde o volný pád).

    Po uplynutí doby sestupu ts je rychlost v(ts) rovna rychlosti dopadu: v(ts) = vd:

    \[v_d\,=gt_s,\]

    \[t_s\,=\,\frac{v_d}{g}.\]

    Pro celkový čas letu tc platí:

    \[t_c\,=\,t_v\,+\,t_s\,=\,\frac{v_1}{g}\,+\,\frac{v_d}{g}\,=\,\frac{2v_1}{g}\,,\]

    protože jsme v části b) ukázali, že v1 = vd.
  • Výsledek

    a) Vztah pro maximální výšku:

    \[h = \frac{v_{1}^{2}}{2g}\,.\]

    b) Rychlost granátu při dopadu:

    \(v_{d} = v_{1}\), rychlosti mají opačný směr.

    c) Celková doba letu:

    \[t_{c}=\frac{2v_{1}}{g}\,.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze