Rychlost na úpatí kopce
Úloha číslo: 217
Chlapci Tomáš a Petr sáňkovali na kopci. Sáňky i s nimi měly hmotnost 87 kg. Aby jeli co nejrychleji, vždy se nahoře rozběhli, naskočili na sáňky a jeli dolů. Počáteční rychlost sáněk už s Tomášem a Petrem je 7 km·h−1. Kopec je vysoký 15 m. Předpokládejte, že chlapci nebrzdí nohama a že tření sáněk při pohybu po svahu lze zanedbat. Odpor vzduchu rovněž neuvažujte.
Jak velkou rychlost mají sáňky s Tomášem a Petrem na úpatí kopce?
Zápis
m = 87 kg hmotnost saní i s chlapci v1 = 7 km·h−1 počáteční rychlost saní s chlapci h = 15 m výška kopce v2 = ? rychlost saní na úpatí kopce Nápověda 1
Rozmyslete si, jakého fyzikálního zákona můžete využít při řešení úlohy, jestliže neuvažujete působení třecích a odporových sil.
Nápověda 2
Rozmyslete si, jakou energii mají sáňky poté, co na ně chlapci naskočí, a jakou mají na úpatí kopce.
Napište si zákon zachování mechanické energie pro tyto dvě situace.
Celkové řešení
K řešení této úlohy použijeme zákon zachování mechanické energie.
Nejprve je třeba zvolit hladinu nulové potenciální tíhové energie. Zvolme ji na úpatí kopce. Sáňky potom mají nahoře na kopci potenciální tíhovou energii:
\[E_\mathrm{p1}\,=\,mgh,\]kde g je tíhové zrychlení.
Protože se chlapci na kopci rozbíhají, mají zde sáňky i kinetickou energii:
\[E_\mathrm{k1}\,=\,\frac{1}{2} mv^{2}_{1}\, .\]Během pohybu sáněk dolů z kopce se jejich potenciální tíhová energie přemění na kinetickou, takže na úpatí kopce mají jen kinetickou energii:
\[E_\mathrm{k2}\,=\,\frac{1}{2}mv^{2}_{2}\, .\]Podle zákona zachování mechanické energie dostáváme:
\[E_\mathrm{k2}\,=\,E_\mathrm{p1}\,+\,E_\mathrm{k1},\] \[\frac{1}{2}mv^{2}_{2}\,=\,mgh\,+\,\frac{1}{2}mv^{2}_{1}.\]Nyní již stačí vyjádřit hledanou rychlost v2 a dosadit:
\[v_{2}\,=\,\sqrt{2gh \,+\, v^{2}_{1}},\] \[v_{2}\,=\,\sqrt{2\,\cdot\,9{,}81\,\cdot\,15 \,+\, {\left(\frac{7}{3{,}6}\right)}^{2}}\, \mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,17\,\mathrm{m\cdot s^{-1}},\] \[v_{2}\,\dot{=}\,61\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}.\]Poznámka
Při řešení této úlohy jsme zanedbali tření mezi sáněmi a sněhem. Spočítejme, jaké chyby jsme se dopustili.
Nejdříve spočítáme velikost třecí síly působící na sáňky, které jedou po nakloněné rovině. Pro tuto sílu platí
\[F_\mathrm{t}\,=\,fmg\cos\alpha\, ,\]kde α je úhel sklonu kopce a mgcos α velikost tlakové síly sáněk na kopec.
Nyní spočítáme práci, kterou třecí síla vykoná během jízdy dolů:
\[W\,=\,F_\mathrm{t}s\,=\,F_\mathrm{t}\,\cdot\,\frac{h}{\sin\alpha}\,=\,fmgh\,\cot\mathrm{g}\,\alpha\, .\]O tuto práci se sníží kinetická energie sáněk na úpatí kopce.
Například pro α = 30° vychází hodnota W = 776 J (koeficient smykového tření pro dřevo na ledě či sněhu je z tabulek pro střední školu 0,035).
Celková energie sáněk na kopci je přibližně 12 967 J. Práce třecích sil tedy činí asi 6 % této celkové energie.
Odpověď
\[v_{2}\,=\,\sqrt{2gh \,+\, v^{2}_{1}}\,\dot{=}\,17\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot{=}\,61\,\mathrm{km\cdot h^{-1}}\]Rychlost sáněk na úpatí kopce je přibližně 17 m·s−1, což odpovídá asi 61 km·h−1.
