Brouk na desce

Úloha číslo: 111

K popisu pohybu brouka lezoucího po dřevěné desce jsme si na desku nakreslili mřížku. Z mřížky jsme vyčetli, že se pohyboval po přímce dané rovnicí y = 2x + 3.

Napište parametrické rovnice pohybu brouka pro případ:

a) Brouk se pohyboval rovnoměrným přímočarým pohybem rychlostí o velikosti 2 cm s-1 a v čase 0 s se nacházel v bodě o souřadnicích [0; 3] cm.

b) Brouk se pohyboval rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením o velikosti 0,25 cm s-2. V čase 0 s byla velikost počáteční rychlosti brouka 1,5 cm s-1 a brouk se nacházel v bodě [0; 3] cm.

Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.:

\[y=1\,\mathrm{m}\,-\,2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,\cdot\,t\,.\]

Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  • Zápis

    y = 2x+3 rovnice přímky, po které se pohyboval brouk
    [x, y] = [0, 3] cm souřadnice brouka v čase t = 0 s
    a) v = 2 cm·s-1 rychlost brouka při rovnoměrném přímočarém pohybu
    b) a = 0,25 cm·s-2 zrychlení brouka při rovnoměrně zrychleném přímočarém pohybu
    b) v0 = 1,5 cm·s-1 počáteční rychlost brouka v čase t = 0 s
  • Nápověda 1 pro a): Grafické znázornění pohybu brouka

    Zakreslete si danou přímku do grafu a vyznačte počáteční polohu brouka. Pak vyznačte, kde se bude brouk nacházet za okamžik t (pozor, jsou dvě možnosti).

  • Nápověda 2 pro a): Pohyb brouka ve směru os x a y

    Varianta 1:

    Jakou dráhu brouk za čas t ulezl? Jaká je jeho x-ová a y-ová souřadnice v čase t?

    (Úhel, který svírá přímka s osou x zjistíte z jejích průsečíků s osami x a y.)

    Varianta 2:

    Úlohu můžete řešit také tak, že si pohyb brouka rovnou rozložíte do směru osy x a y. Jakým pohybem se pohybuje ve směru osy x a jakou rychlostí? Jak se bude s časem měnit jeho x-ová souřadnice?

    Jakým pohybem se pohybuje ve směru osy y a jakou rychlostí a jak se bude s časem měnit jeho y-ová souřadnice?

  • Nápověda 3 pro b): Pohyb brouka ve směru os x a y

    Obdobně postupujte u řešení úkolu b). Rozložte si pohyb brouka do směru osy x a y. Jakým pohybem se pohybuje ve směru osy x a jakou počáteční rychlostí? Jaké bude jeho zrychlení ve směru osy x? Jak se bude s časem měnit jeho x-ová souřadnice?

    Jakým pohybem se pohybuje ve směru osy y a jakou počáteční rychlostí? Jaké bude jeho zrychlení ve směru osy y? Jak se bude s časem měnit jeho y-ová souřadnice?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Nakreslíme obrázek situace: (Kliknutím na obrázek si ho lze zvětšit.)

    Obrázek 1: Obrázek 2:
    Brouk se vydá po přímce směrem doprava Brouk se vydá po přímce směrem doleva
    Brouk se vydá po přímce doprava
    Brouk se vydá po přímce doleva

    a)

    Jedná se o pohyb rovnoměrný přímočarý s rychlostí o velikosti v = 2 cm·s-1.

     

    Složka rychlosti ve směru osy x je rovna:

    \[v_x\,=\,v\cos\alpha\,.\]

    Souřadnice x se s časem bude měnit podle vztahu (brouk může lézt doprava nebo doleva):

    \[x(t)\,=\,\pm{v_xt}\,,\] \[x(t)\,=\, \pm (v\,\cos\alpha)t\,.\tag{1}\]

     

    Složka rychlosti ve směru osy y je rovna:

    \[v_y\,=\,v\,\sin\alpha\,.\]

    Souřadnice y se s časem bude měnit podle vztahu (brouk může lézt doprava nebo doleva):

    \[y(t)\,=\,\pm{v_yt}+3\,,\] \[y(t)\,=\, \pm (v\,\sin\alpha)t+3\,.\tag{2}\]

     

     

    obrázku 1,2:

    \[\cos\alpha\,=\,\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}}\,=\,\frac{\sqrt{5}}{5}\,,\tag{3}\] \[\sin\alpha\,=\, \frac{3}{\sqrt{3^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}}\,=\,\frac{2\sqrt{5}}{5}\,.\tag{4}\]

     

    Dosazením do vztahu (1) za v a cosα:

    \[x(t)\,=\,\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}t\,.\]

    Dosazením do vztahu (2) za v a sinα:

    \[y(t)\,=\,\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}t+3\,.\]

     

    b)

    Jedná se o pohyb rovnoměrně zrychlený se zrychlením o velikosti a = 0,25 cm·s-2 a s počáteční rychlostí o velikosti v0 = 1,5 cm·s-1.

     

    Složky počáteční rychlosti ve směru os x a y jsou:

    \[v_{0_x}\,=\,\pm{v_0}\cos\alpha\,,\] \[v_{0_y}\,=\,\pm{v_0}\sin\alpha\,.\]

     

    Dosadíme za v0, cosα (viz vztah 3) a sinα (viz vztah 4):

    \[v_{0_x}\,=\,\pm1{,}5\frac{\sqrt{5}}{5}\,\mathrm{cm\,s^{-1}}\,=\,\pm\frac{3\sqrt{5}}{10}\,\mathrm{cm\,s^{-1}}\,,\] \[v_{0_y}\,=\,\pm1{,}5\frac{2\sqrt{5}}{5}\,\mathrm{cm\,s^{-1}}=\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}\,\mathrm{cm\,s^{-1}}\,.\]

     

    Složky zrychlení ve směru os x a y jsou:

    \[a_x\,=\,\pm{a}\cos\alpha\,,\] \[a_y\,=\,\pm{a}\sin\alpha\,.\]

     

    Dosadíme za a, cosα (viz vztah 3) a sinα (viz vztah 4):

    \[a_x\,=\,\pm0{,}25\frac{\sqrt{5}}{5}\,\mathrm{cm\,s^{-2}}\,=\,\pm\frac{\sqrt{5}}{20}\,\mathrm{cm\,s^{-2}}\,,\] \[a_y\,=\,\pm0{,}25\frac{2\sqrt{5}}{5}\,\mathrm{cm\,s^{-2}}\,=\,\pm\frac{\sqrt{5}}{10}\,\mathrm{cm\,s^{-2}}\,.\]

     

    Složky rychlosti se s časem budou měnit podle vztahů:

    \[v_x (t)\,=\, \int{a_x(t)}dt \,=\, \pm(v_{0_x}+a_xt)\,,\] \[v_y (t)\,=\, \int{a_y(t)}dt \,=\, \pm(v_{0_y}+a_yt)\,.\]

     

    Pro souřadnice x a y pak platí:

    \[x(t)\,=\,\int{v_x(t)}dt \,=\, \pm{v_{0_x}t}\pm\frac{1}{2}a_xt^{2}+x_0\,,\] \[y(t)\,=\, \int{v_y(t)}dt \,=\, \pm{v_{0_y}t}\pm\frac{1}{2}a_yt^{2}+y_0\,.\]

    Dosadíme číselně za v0x, v0y, ax, ay, x0, y0:

    \[x(t)\,=\, \pm\frac{\sqrt{5}}{40}t^{2}\pm\frac{3\sqrt{5}}{10}t\,,\] \[y(t)\,=\, \pm\frac{\sqrt{5}}{20}t^{2}\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}t+3\,. \]
  • Odpověď

    a) Parametrické rovnice pohybu brouka v případě, kdy se pohyboval rovnoměrně přímočaře, jsou:

    \[x(t)\,=\, \pm (v\cos\alpha)t \,=\,\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}t\,,\] \[y(t)\,=\, \pm (v\sin\alpha)t+3 \,=\,\pm\frac{4\sqrt{5}}{5}t+3\,.\]

     

    b) Parametrické rovnice pohybu brouka v případě, kdy se pohyboval rovnoměrně zrychleně, jsou:

    \[x(t)\,=\,\pm{v_{0_x}t}\pm\frac{1}{2}a_xt^{2}+x_0\,=\,\pm\frac{\sqrt{5}}{40}t^{2}\pm\frac{3\sqrt{5}}{10}t\,,\] \[y(t)\,=\, \pm{v_{0_y}t}\pm\frac{1}{2}a_yt^{2}+y_0\,=\,\pm\frac{\sqrt{5}}{20}t^{2}\pm\frac{3\sqrt{5}}{5}t+3\,. \]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na překlad, transformaci
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze