Jeřáb zvedá panel

Úloha číslo: 82

Stavební panel má rozměry 2,4 m, 1,2 m, tloušťku 15 cm. Je vyroben z betonu vyztuženého ocelovými pruty tak, že střední hustota materiálu je 3 000 kg·m−3. Ve směru své tloušťky je odlehčen pěti otvory o průměru 6 cm.

a) Určete objem materiálu v panelu a jeho hmotnost.

b) Jak velkou silou musí jeřáb zvedat panel?

c) Jakou práci vykoná jeřáb, když panel zvedne ze země do výšky 42 m při stavbě posledního podlaží?

d) Jak dlouho trvá zvedání panelu, je-li rychlost zvedání 0,25 m·s−1? Jaký je v tomto případě výkon jeřábu?

e) Použité elektromotory mají účinnost 70 %. Jaký musíme zajistit příkon pro zvedání panelu?

f) Ocelové lano má dovolené namáhání 100 MPa a nosnost u tohoto jeřábu se předpokládá nejvýše 5 tun. Jaký bude nejmenší průměr lana?

  • Zápis

    a = 2,4 m rozměr stavebního panelu
    b = 1,2 m rozměr stavebního panelu
    c = 15 cm rozměr stavebního panelu
    ρ = 3000 kg·m−3 střední hustota betonu vyztuženého ocelovými pruty
    r0 = 6 cm průměr děr
    h = 42 m výška zvednutí panelu
    v = 0,25 m·s−1 rychlost zvedání panelu
    η = 70 % účinnost elektromotoru
    σ = 700 MPa dovolené namáhání lana
    M = 5 t maximální nosnost jeřábu
    m = ? hmotnost panelu
    V = ? objem panelu
    F = ? síla kterou musí jeřáb zvedat panel
    W = ? práce vykonaná jeřábem
    t = ? čas potřebný k zvednutí panelu
    P' = ? výkon jeřábu
    P = ? příkon jeřábu
    d = ? nejmenší průměr lana
  • Nápověda a1) – objem panelu

    Nakreslete si obrázek panelu s otvory.

    Jaký vzorec platí pro výpočet objemu kvádru?

    Jak se nám promítne v objemu kvádru pět otvorů?

  • Nápověda a2) – hmotnost panelu

    Když už znáte objem a je zadaná hustota panelu, jak spočtete jeho hmotnost?

  • Nápověda b) – síla

    Nakreslete si obrázek dané situace a vyznačte síly působící na panel.

    Předpokládejte, že jeřáb zvedá panel rovnoměrným přímočarým pohybem. Jaká je výsledná síla působící na panel? Jakou silou působí jeřáb na panel?

  • Nápověda c) – práce vykonaná jeřábem

    Jeřáb působí na panel konstantní silou po dané dráze a síla má směr posunutí.

    Jak v této situaci spočítáte práci vykonanou jeřábem?

  • Nápověda d1) – doba zvedání

    Znáte dráhu a rychlost zvedání, která je konstantní. Čas zvedání tedy snadno vyjádříte.

  • Nápověda d2) – výkon jeřábu

    Znáte práci, kterou vykoná jeřáb a čas, po který ji koná.

    Jaký vztah platí pro výpočet výkonu?

  • Nápověda e) – příkon motoru

    Příkon motoru vyjádřuje energii, kterou mu dodáváme za jednotku času. Vzhledem k nevyhnutelným ztrátám, způsobeným různými odpory proti pohybu, je výkon každého zařízení menší než příkon. Účinností motoru pak rozumíme poměr jeho výkonu a potřebného příkonu. Účinnost je bezrozměrné číslo, které vyjádřuje, jak blízko k ideálnému procesu probíha proces v hodnoceném stroji nebo zařízení. Pomocí účinnosti a výkonu pak můžete vyjádřit hledaný příkon.

  • Nápověda f1) – napětí lana

    Dovolené namáhání je možno vyjádřit také jako maximální napětí, které lze na lano vyvinout. Jak je definované napětí?

  • Nápověda f2) – průměr lana

    Síla, která působí na lano, se rovná tíze nákladu. Znáte i maximální povolené napětí lana. Snadno vyjádříte plochu průřezu lana a odtud jeho průměr.

  • Číselný výpočet:

    a) Objem a hmotnost panelu

    \[a\,=\,2{,}4\, \mathrm{m}\] \[b\,=\,1{,}2\, \mathrm{m}\] \[c\,=\,15\, cm=0{,}15\, \mathrm{m }\] \[r_{0}\,=\,3\, \mathrm{cm}\,=\,0{,}03\, \mathrm{m}\] \[\rho\,=\,3\,000\, \mathrm{kg \cdot m^{-3}}\]
    \[V\,=\,abc\,-\,5\pi r_0^2 c\] \[V\,=\,\left(2{,}4{\cdot}1{,}2{\cdot} 0{,}15-5{\cdot}3{,}14{\cdot}0{,}03^{2}\cdot0{,}15\right)\,\mathrm{m^3}\] \[V\,=\,\left(0{,}432-0{,}0021\right)\, \mathrm{m^3}\] \[V\,=\,0{,}4299\, \mathrm{m^3}\,\dot=\,0{,}43\ \mathrm{m^3}\] \[m\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)\] \[m\,=\,3\,000{\cdot} 0{,}15\left(2{,}4{\cdot} 1{,}2\,-\,5{\cdot} 3{,}14{\cdot} 0{,}03^2\right)\,\mathrm{kg}\] \[m\,=\,1\,290\, \mathrm{kg}\]

    b) Síla, kterou jeřáb zvedá panel

    \[m\,=\,1\,290\, \mathrm{kg}\] \[g\,=\,9{,}81\, \mathrm{m \cdot s^{-2}}\]
    \[F\,=\,mg\] \[F\,=\,1\,290{\cdot}9{,}81\,\mathrm{N}\] \[F\,=\,12\,655\, \mathrm{N}\,\dot=12{,}7\ \mathrm{kN}\]

    c) Práce vykonaná jeřábem

    \[F\,=\,12\,655\, \mathrm{N}\] \[s\,=\,42\, \mathrm{m}\]
    \[W\,=\,Fs\] \[W\,=\,12\,655{\cdot}42\,\mathrm{J}\] \[W\,=\,531\,510\, \mathrm{J}\,\dot=531{,}5\ \mathrm{kJ}\]

    d1) Doba zvedání panelu

    \[s\,=\,42\, \mathrm{m}\] \[v\,=\,0{,}25\, \mathrm{m \cdot s^{-1}}\]
    \[t\,=\,\frac{s}{v}\] \[t\,=\,\frac{42}{0{,}25}\,\mathrm{s}\] \[t\,=\,168\, \mathrm{s}\,=\,2\,\mathrm{min}\,48\, \mathrm{s}\]

    d2) Výkon jeřábu

    \[W\,=\,531\,510\, \mathrm{J}\] \[t\,=\,168\, \mathrm{s}\]
    \[P^{'}\,=\,\frac{W}{t}\] \[P^{'}\,=\frac{531\,510}{168}\,\mathrm{W}\] \[P^{'}\,=\,3\,164\, \mathrm{W}\,\dot=\,3{,}2\ \mathrm{kW}\]

    e) Příkon jeřábu

    \[P^{'}\,=\,3\,164\, \mathrm{W}\] \[\eta\,=\,0{,}7\]
    \[P\,=\,\frac{P^{'}}{\eta}\] \[P\,=\,\frac{3\,164}{0{,}7}\,\mathrm{W}\,=\,4\,520\, \mathrm{W}\,\dot=\,4{,}5\ \mathrm{kW}\]

    f) Průměr lana

    \[M\,=\,5\, \mathrm{t}\,=\,5\,000\, \mathrm{kg}\] \[g\,=\,9{,}81\, \mathrm{m \cdot s^{-2}}\] \[\sigma\,=\,100\, \mathrm{MPa}\,=\,10^{8}\,\mathrm{Pa}\]
    \[d\,=\,\sqrt{\frac{4Mg}{\sigma\pi}}\] \[d\,=\,\sqrt{\frac{4{\cdot}5\,000{\cdot}9{,}81}{10^{8}\cdot3{,}14}}\,\mathrm{m}\,=\,0{,}025\,\mathrm{m}\,=\,2{,}5\, \mathrm{cm}\]
  • Odpověď

    a) Objem panelu je \[V\,=\,abc\,-\,5{\pi}r_{0}^{2}c\,=\,0{,}4299\,\mathrm{m^3}\,\dot=\,0{,}43\ \mathrm{m^3}.\]

    Hmotnost panelu je \[m\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)\,=\,1\,290\,\mathrm{kg}.\]

    b)Jeřáb musí zvedat panel sílou rovnou \[F\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)g\,=\,12\,655\,\mathrm{N}\,\dot=\,12{,}7\, \mathrm{kN}.\]

    c) Při zvedání panelu do výšky 42 m vykoná jeřáb práci rovnou \[W\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs\,=\,531\,510\,\mathrm{J}\,\dot=\,531{,}5\ \mathrm{kJ}.\]

    d) Jeřáb zvedá panel rychlostí 0,25 ms-1 po dobu \[t\,=\,\frac{s}{v}\,=\,2\,\mathrm{min}\,48\,\mathrm{s}.\]

    V tomto případě je výkon jeřábu roven \[P^{'}\,=\,\frac {\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs}{t}\,=\,3\,164\, \mathrm{W}\,\dot=\,3{,}2\ \mathrm{kW}.\]

    e) Příkon, který musíme zajistit, je roven \[P\,=\,\frac {\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs}{\eta t}\,=\,4\,520\, \mathrm{W}\,\dot=\,4{,}5\ \mathrm{kW}.\]

    f) Nejmenší průměr lana bude \[d\,=\,\sqrt {\frac{4Mg}{\sigma \pi}}\,=\,2{,}5\, \mathrm{cm}.\]

  • Celkové řešení bodu a) – objem a hmotnost panelu

    Panel s otvory

    V matematických tabulkách můžeme najít vzorec pro objem kvádru:

    \[V\,=\,abc\,.\]

    V……objem kvádru

    a,b,c…rozměry kvádru

    Když máme v kvádru (panelu) vyřezanou nějakou část , bude výsledný objem menší o objem této části.

    V našem případě máme v panelu pět otvorů ve tvaru válce o daném průměru. Objem každého otvoru je:

    \[V\,=\,\pi r_0^2 c\,.\]

    V…objem vyřezané části

    r0…poloměr otvoru

    c…výška válce (otvoru)

    Pro výšku válce platí, že se rovná tloušťce panelu.

    Nyní objemy válců odečteme od celkového objemu panelu. Dostaneme:

    \[V\,=\,abc\,-\,5\pi r_0^2 c\,,\tag{1}\] \[V\,=\,\left(2{,}4{\cdot} 1{,}2{\cdot}0{,}15\,-\,5{\cdot} 3{,}14{\cdot} 0{,}03^2{\cdot}0{,}15\right)\,\mathrm{m^3},\] \[V\,=\,0{,}4299\, \mathrm{m^3}\,\dot=\,0{,}43\ \mathrm{m^3}.\]

    Pro hmotnost při daném objemu a hustotě platí:

    \[m\,=\,\rho V\,.\]

    m… hmotnost panelu

    ρ… hustota panelu

    V… objem panelu

    Za V dosadíme ze vztahu (1):

    \[m\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)\,,\tag{2}\] \[m\,=\,3\,000\,\cdot 0{,}15\left(2{,}4{\cdot} 1{,}2\,-\,5{\cdot} 3{,}14{\cdot} 0{,}03^2\right)\,\mathrm{kg},\] \[m\,=\,1\,290\, \mathrm{kg}.\]

    Odpověď:

    Objem panelu je \[V\,=\,0{,}4299\, \mathrm{m^3}\,\dot=\,0{,}43\ \mathrm{m^3}.\]

    Hmotnost panelu je \[m\,=\,1\,290\,\mathrm{kg}.\]

  • Celkové řešení bodu b) – síla, kterou jeřáb zvedá panel

    Jeřáb zvedá panel

    \(\vec{F}\)… síla, kterou působí na panel jeřáb

    \(\vec{F}_g\)… tíhová síla

    Výsledná síla působící na panel je při rovnoměrném přímočarém pohybu rovna nule. Síla, kterou působí na panel jeřáb, je rovna tíhové síle působící na panel.

    \[F\,=\,F_g\,=\,mg.\]

    F… síla, kterou působí na panel jeřáb

    Fg… tíhová síla

    m… hmotnost panelu

    g… tíhové zrychlení

    Z předchozího bodu již známe hmotnost panelu m a z fyzikálnych tabulek zjistíme hodnotu tíhového zrychlení.

    \[g\,=\,9{,}81\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\]

    Za m dosadíme ze vztahu (2).

    \[F\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)g,\tag{3}\] \[F\,=\,1\,290\,\cdot9{,}81\,\mathrm{N},\] \[F\,=\, 12\,655\, \mathrm{N}\,\dot=\,12{,}7\ \mathrm{kN}.\]

    Odpověď: Jeřáb musí zvedat panel silou rovnou \[F\,=\,12\,655\,\mathrm{N}\,\dot=\,12{,}7\,\mathrm{kN}.\]

  • Celkové řešení bodu c) – práce vykonaná jeřábem

    V případě, kdy působí konstantní síla ve směru posunutí panelu, můžeme práci spočítat podle vztahu:

    \[W\,=\,Fs\,.\]

    W… vykonaná práce

    F… síla, kterou jeřáb působí na panel

    s… dráha, na které působí jeřáb sílou F

    Za F dosadíme ze vztahu (3):

    \[W\,=\,\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs\,,\tag{4}\] \[W\,=\,12\,655\,\cdot42\,\mathrm{J},\] \[W\,=\,531\,510\,\mathrm{J}\,\dot=\,531{,}5\ \mathrm{kJ}.\]

    Odpověď:Při zvedání panelu do výšky 42 m vykoná jeřáb práci rovnou \[W\,=\,531\,510\,\mathrm{J}\,\dot=\,531{,}5\ \mathrm{kJ}.\]

  • Celkové řešení bodu d) – doba zvedání panelu, výkon jeřábu

    Pohyb panelu je rovnoměrný přímočarý, takže rychlost vyjádříme pomocí vztahu:

    \[v\,=\,\frac{s}{t}\,.\]

    v… rychlost

    s… dráha

    t… čas (doba)

    Odkud dostáváme pro čas t:

    \[t\,=\,\frac{s}{v}\,,\] \[t\,=\,\frac{42}{0{,}25}\,\mathrm{s},\] \[t\,=\,168\, \mathrm{s}\,=\,2\, \mathrm{min}\,48\, \mathrm{s}.\]

    Výkon je práce vykonaná za jednotku času. Když si to vyjádříme pomocí vztahu, dostaneme:

    \[P^{'}\,=\,\frac{W}{t}\,.\]

    P'… výkon jeřábu

    W… vykonaná práce

    t… doba, po kterou koná práci

    V předchozích úlohách jsme si spočítali vykonanou práci W a také dobu zvedání.

    Za práci W dosadíme ze vztahu (4):

    \[P^{'}\,=\,\frac {\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs}{t}\,,\tag{5}\] \[P^{'}\,=\,\frac{531\,510}{168}\,\mathrm{W},\] \[P^{'}\,=\,3\,164\, \mathrm{W}\,\dot=\,3{,}2\ \mathrm{kW}.\]

    Odpověď:

    Jeřáb zvedá panel rychlostí 0,25 ms-1 po dobu \(t\,=\,2\,\mathrm{min}\,48\,\mathrm{s}.\)

    V tomto případě je užitečný výkon roven \(P^{'}\,=\,3\,164\, \mathrm{W}\,\dot=\,3{,}2\, \mathrm{kW}.\)

  • Celkové řešení bodu e) – příkon jeřábu

    Matematické vyjádření vztahu pro účinnost:

    \[\eta=\frac{P^{'}}{P},\]

    η… účinnost

    P'… výkonu motoru

    P… příkon motoru

    Hledaný příkon pro zvedaní panelu vyjádříme z tohoto vztahu vynásobením celé rovnice příkonem P a následném vydělění účinností \(\eta\).

    Dostaneme:

    \[P\,=\,\frac{P^{'}}{\eta}\,.\]

    Za P' dosadíme ze vztahu (5):

    \[P\,=\,\frac {\rho c\left(ab\,-\,5\pi r_0^2\right)gs}{\eta t}\,,\tag{6}\] \[P\,=\,\frac{3\,115}{0{,}7}\,\mathrm{W},\] \[P\,=\,4\,450\, \mathrm{W}\,\dot=\,4{,}5\ \mathrm{kW}.\]

    Odpověď: Musíme zajistit příkon \(P\,=\,4\,450\, \mathrm{W}\,\dot=\,4{,}5\ \mathrm{kW}\).

  • Celkové řešení bodu f) – průměr lana

    Dovolené namáhání je možno vyjádřit také jako maximální napětí, které lze na lano vyvinout.

    Normálové napětí je podíl síly F a plochy S, na kterou síla F působí:

    \[\sigma \,=\,\frac{F}{S}\,.\tag{7}\]

    σ… napětí

    F… síla

    S… obsah plochy

    Vztah pro tíhu je:

    \[F\,=\,Mg\,.\]

    Dosadíme do vztahu (7):

    \[\sigma \,=\, \frac {Mg}{S}\,.\]

    σ… napětí

    M… nosnost lana

    g… tíhové zrychlení

    S… obsah plochy průřezu

    Odtud:

    \[S\,=\, \frac {Mg}{\sigma}\,.\tag{8}\]

    Plocha průřezu lana představuje kruh. Pro obsah kruhu platí:

    \[S\,=\,\pi \frac {d^2}{4}\,.\]

    d… průměr lana

    Dosadíme do vztahu (8):

    \[\pi \frac {d^2}{4}\,=\,\frac{Mg}{\sigma}\,.\]

    Odsud úpravami získáme hledaný průměr.

    \[d\,=\,\sqrt {\frac{4Mg}{\sigma \pi}}\,,\] \[d\,=\,\sqrt{\frac{4\,\cdot\,5\,000\,\cdot9{,}81}{10^{8}\cdot3{,}14}}\,\mathrm{m},\] \[d\,=\,0{,}025\, \mathrm{m}=2{,}5\, \mathrm{cm}.\]

    Odpověď: Nejmenší průměr lana bude d = 2,5 cm.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Komplexní úloha
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
×Původní zdroj: http://fo.cuni.cz
Zpracováno v bakalářské práci Jany Šimkové (2008).
Zaslat komentář k úloze