Dostředivé zrychlení rakety

Úloha číslo: 205

Kosmická raketa krouží kolem Země ve výšce 400 km nad zemským povrchem. Určete velikost dostředivého zrychlení rakety na její oběžné dráze. Výsledek přepočítejte na násobky gravitačního zrychlení g na zemském povrchu.

  • Poznámka

    Při řešení této úlohy předpokládáme, že Země je koule o poloměru 6378 km.

  • Zápis

    h = 400 km výška družice nad povrchem Země
    ad = ? (m·s-2) dostředivé zrychlení
    Z tabulek:
    Rz = 6378 km poloměr Země
    κ = 6,67·10−11 N·m2·kg−2 gravitační konstanta
    Mz = 5,98·1024 kg hmotnost Země
  • Nápověda 1 - druh pohybu

    Jak lze pohyb rakety popsat z hlediska její trajektorie a rychlosti?

  • Nápověda 2 - působící síly

    Jaké síly na raketu na oběžné dráze působí z pohledu vnějšího inerciálního pozorovatele? Která z nich zakřivuje trajektorii rakety a je zodpovědná za pohyb po kružnici? Jak je velká?

  • Nápověda 3

    Jaká síla je obecně při pohybu po kružnici zodpovědná za zakřivení trajektorie, jak se vypočítá? V jakém je vztahu s gravitační silou v našem příkladu?

  • Nápověda 4

    Spojte výše uvedené vztahy a vypočítejte dostředivé zrychlení.

  • Celkové řešení

    Raketa se kolem Země pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici. Při pohybu na ni z pohledu vnějšího inerciálního pozorovatele působí pouze gravitační síla Fg Země! Je to tedy právě gravitační síla, která zakřivuje trajektorii rakety. Její velikost je dle Newtonova gravitačního zákona dána vztahem:

    \[F_g\,=\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,,\]

    kde κ je gravitační konstanta, m hmotnost rakety, Mz hmotnost Země, Rz poloměr Země a h výška na povrchem.

    Obecně je při pohybu po kružnici za zakřivení trajektorie zodpovědná dostředivá síla

    \[F_d\,=\,ma_d\,,\]

    kde m je hmotnost družice a ad hledané dostředivé zrychlení.

    Dostředivá síla není žádným zvláštním typem síly, její roli plní v různých situacích jiné, nám známé síly – třecí, gravitační, síla závěsu… V našem příkladu plní roli dostředivé síly právě gravitační síla a zjevně tedy bude platit rovnost:

    \[F_g\,=\,F_d\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,=\,ma_d.\]

    Tedy:

    \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}.\]

    Číselně:

    \[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}},\] \[M_z\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg},\] \[a_d\,=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\cdot\frac{5{,}98{\cdot}10^{24}}{(6{,}378{\cdot}10^{6}+4{\cdot}10^5)^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]

    Gravitační zrychlení na povrchu Země je g = 9,81 m·s−2, vypočtená hodnota ad = 8,68 m·s−2 ≈ 0,88g.

  • Výsledek

    Na družici působí dostředivé zrychlení \[a_d\,=\,\kappa\frac{M_z}{(R_z\,+\,h)^2}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}},\] což představuje přibližně 0,88g.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha na syntézu
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
×Původní zdroj: Diplomová práce Hany Koudelkové (2003).
Zaslat komentář k úloze