Dostředivé zrychlení rakety

Úloha číslo: 205

Kosmická raketa krouží kolem Země ve výšce 400 km nad zemským povrchem. Určete velikost dostředivého zrychlení rakety na její oběžné dráze. Výsledek přepočítejte na násobky gravitačního zrychlení g na zemském povrchu.

Poznámka
Při řešení této úlohy předpokládáme, že Země je koule o poloměru 6378 km.

Zápis

h = 400 km	výška družice nad povrchem Země
a_d = ? (m·s^-2)	dostředivé zrychlení
Z tabulek:
R_z = 6378 km	poloměr Země
κ = 6,67·10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²	gravitační konstanta
M_z = 5,98·10²⁴ kg	hmotnost Země

Nápověda 1 - druh pohybu
Jak lze pohyb rakety popsat z hlediska její trajektorie a rychlosti?
Řešení k nápovědě 1
Jde o rovnoměrný pohyb po kružnici.
Nápověda 2 - působící síly
Jaké síly na raketu na oběžné dráze působí z pohledu vnějšího inerciálního pozorovatele? Která z nich zakřivuje trajektorii rakety a je zodpovědná za pohyb po kružnici? Jak je velká?
Řešení k nápovědě 2
Na raketu na oběžné dráze působí pouze gravitační síla Země! (Neuvažujeme gravitační působení jiných těles.) Je to tedy gravitační síla F_g Země, která zakřivuje trajektorii rakety.

Podle Newtonova gravitačního zákona má gravitační síla působící na raketu velikost danou vztahem:
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa\frac{mM_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}\,,\]
kde κ je gravitační konstanta, m hmotnost rakety, M_z hmotnost Země, R_z poloměr Země a h výška nad povrchem.
Nápověda 3
Jaká síla je obecně při pohybu po kružnici zodpovědná za zakřivení trajektorie, jak se vypočítá? V jakém je vztahu s gravitační silou v našem příkladu?
Řešení k nápovědě 3
Obecně je při pohybu po kružnici za zakřivení trajektorie zodpovědná dostředivá síla
\[F_\mathrm{d}\,=\,ma_\mathrm{d}\,,\]
kde m je hmotnost družice a a_d hledané dostředivé zrychlení.

Dostředivá síla není žádným zvláštním typem síly, její roli plní v různých situacích jiné, nám známé síly – třecí, gravitační, síla závěsu… V našem příkladu plní roli dostředivé síly právě gravitační síla.
Nápověda 4
Spojte výše uvedené vztahy a vypočítejte dostředivé zrychlení.
Řešení k nápovědě 4
Jak jsme právě řekli, v našem příkladě má gravitační síla roli síly dostředivé. Zjevně tedy bude platit rovnost:
\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{d}\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}\,=\,ma_\mathrm{d}.\]
Tedy:
\[a_\mathrm{d}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}.\]
Číselně:
\[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}},\] \[M_\mathrm{z}\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg},\] \[a_\mathrm{d}\,=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\cdot\frac{5{,}98{\cdot}10^{24}}{(6{,}378{\cdot}10^{6}+4{\cdot}10^5)^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]
Gravitační zrychlení na povrchu Země je g = 9,81 m·s⁻², vypočtená hodnota a_d = 8,68 m·s ⁻² ≈ 0,88 g.
Celkové řešení
Raketa se kolem Země pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici. Při pohybu na ni z pohledu vnějšího inerciálního pozorovatele působí pouze gravitační síla F_g Země! Je to tedy právě gravitační síla, která zakřivuje trajektorii rakety. Její velikost je dle Newtonova gravitačního zákona dána vztahem:
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa\frac{mM_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}\,,\]
kde κ je gravitační konstanta, m hmotnost rakety, M_z hmotnost Země, R_z poloměr Země a h výška nad povrchem.

Obecně je při pohybu po kružnici za zakřivení trajektorie zodpovědná dostředivá síla
\[F_\mathrm{d}\,=\,ma_\mathrm{d}\,,\]
kde m je hmotnost družice a a_d hledané dostředivé zrychlení.

Dostředivá síla není žádným zvláštním typem síly, její roli plní v různých situacích jiné, nám známé síly – třecí, gravitační, síla závěsu… V našem příkladu plní roli dostředivé síly právě gravitační síla a zjevně tedy bude platit rovnost:
\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{d}\,\Rightarrow\,\kappa\frac{mM_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}\,=\,ma_\mathrm{d}.\]
Tedy:
\[a_\mathrm{d}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}.\]
Číselně:
\[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}},\] \[M_\mathrm{z}\,=\,5{,}98{\cdot}10^{24}\,\mathrm{kg},\] \[a_\mathrm{d}\,=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\cdot\frac{5{,}98{\cdot}10^{24}}{(6{,}378{\cdot}10^{6}+4{\cdot}10^5)^2})\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\]
Gravitační zrychlení na povrchu Země je g = 9,81 m·s⁻², vypočtená hodnota a_d = 8,68 m·s⁻² ≈ 0,88g.
Výsledek
Na družici působí dostředivé zrychlení \[a_\mathrm{d}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{z}}{(R_\mathrm{z}\,+\,h)^2}\,\dot{=}\,8{,}68\,\mathrm{m\cdot s^{-2}},\] což představuje přibližně 0,88 g.