Přecházení po loďce

Úloha číslo: 1136

O jakou vzdálenost se přemístí loďka stojící na vodě, přejde-li člověk o hmotnosti 70 kg ze zádi na příď lodi? Délka lodi je 2,5 m, její hmotnost 100 kg. Odpor vody a naklonění loďky zanedbejte.

Zápis

m = 70 kg hmotnost člověka

M = 100 kg hmotnost loďky

L = 2,5 m délka loďky

x = ? posun loďky ve vodorovném směru
Nápověda 1
Ještě předtím, než se zamyslíte nad metodou řešení úlohy, určete, jaké vnější síly na nepohybující se soustavu loďka-člověk působí. Která síla způsobí pohyb loďky, když po ní začne člověk přecházet?
Řešení nápovědy 1
Budeme-li uvažovat soustavu loďka-člověk jako jeden celek, působí na ni tyto vnější síly:
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru.
Výslednice těchto sil je nulová.

Příčinou posuvného pohybu loďky ve vodorovném směru je třecí síla mezi botami člověka a dnem loďky; ta ovšem není vnější silou.
Popis metody řešení
Využijeme právě zjištěné skutečnosti, že výslednice vnějších sil působících na soustavu loďka-člověk je v každém okamžiku nulová. Podle 1. Newtonova zákona tedy těžiště soustavy bude setrvávat v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu. V našem případě je těžiště soustavy na počátku v klidu, a protože neexistuje vnější síla, která by mu udělila nějaké zrychlení, bude setrvávat v klidu po celou dobu přechodu člověka po loďce. Stručně lze tento poznatek shrnout tak, že v naší soustavě se poloha těžiště zachovává. Z této skutečnosti při řešení úlohy vyjdeme.
Nápověda 2
Nejprve určíme polohu těžiště soustavy předtím, než se člověk začal pohybovat. Do obrázku výše vhodně zaveďte souřadný systém, příď loďky umístěte do jeho počátku. Vyznačte polohu těžiště loďky a těžiště člověka a jejich souřadnice. Kterou souřadnici těžiště budeme výpočtem určovat?
Řešení nápovědy 2
Zavedení souřadnic ukazuje obrázek níže.

Protože nás zajímá pouze posun loďky ve vodorovném směru, budeme určovat pouze x-ovou souřadnici těžiště soustavy x_T1.
Nápověda 3
Vzpomeňte si na vztah pro polohu těžiště soustavy hmotných bodů a dosaďte do něj souřadnice určené v předchozím kroku. (Protože pracujeme s tělesy, budeme k výpočtu přistupovat tak, že celou hmotnost tělesa - loďky, člověka - soustředíme do jeho těžiště.)
Řešení nápovědy 3
Pro x-ovou souřadnici těžiště n hmotných bodů platí (viz například Těžiště různě uspořádaných soustav koulí):
\[x_{T1}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}}.\tag{1}\]
V případě naší soustavy dosadíme do vztahu (1) hmotnosti a souřadnice těžiště člověka a loďky:
\[x_{T1}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^2{m_i}}\,=\,\frac{M\frac{L}{2}\,+\,mL}{M\,+\,m}.\tag{2}\]
Nápověda 4
Nyní uvažujme, že po přejití člověka ze zádi na příď se loďka posunula o vzdálenost x. Na jakou stranu? Nakreslete obrázek popisující novou situaci a opět do něj vyznačte polohu těžiště loďky a člověka.
Řešení nápovědy 4
Z pohledu naší souřadné soustavy se po přechodu člověka ze zádi na příď loďka posunula o vzdálenost x doprava – novou situaci ukazuje obrázek níže:
Nápověda 5
Podobně jako pro první situaci obecně vyjádřete x-ovou souřadnici těžiště soustavy, kterou budeme dále označovat jako x_T2. Z úvodu naší úlohy víme, že poloha těžiště soustavy se nemění, jeho souřadnice se tedy také zachovává. Z této rovnosti vyjádřete hledanou vzdálenost x.
Řešení nápovědy 5
Souřadnici těžiště soustavy určíme opět podle vztahu (1) – nyní bude mít výpočet tuto podobu:
\[x_{T2}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i'}}{\sum_{i=1}^n{m_i}} \,=\,\frac{mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2})}{M\,+\,m}.\tag{3}\]
Protože poloha těžiště naší soustavy se během celého pohybu zachovávala, platí:
\[x_{T1}\,=\,x_{T2}.\]
Srovnáním vztahů (2) a (3):
\[\frac{M\frac{L}{2}\,+\,mL}{M\,+\,m}\,=\,\frac{mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2})}{M\,+\,m}.\]
Úpravami:
\[M\frac{L}{2}\,+\,mL\,=\,mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2}),\] \[mL\,=\,mx\,+\,Mx,\] \[x\,=\,\frac{mL}{M\,+\,m}.\]
Číselně:
\[x\,=\,\frac{70{\cdot}2{,}5}{100\,+\,70}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}03\,\mathrm{m}.\]
Loďka se ve vodorovném směru posune přibližně o 1,03 m.
Celkové řešení
Budeme-li uvažovat soustavu loďka-člověk jako jeden celek, působí na ni tyto vnější síly:
- tíhová síla F_G směrem svisle dolů,
- vztlaková síla F_vz směrem svisle vzhůru.
Výslednice těchto sil je nulová.

Příčinou posuvného pohybu loďky ve vodorovném směru je třecí síla mezi botami člověka a dnem loďky; ta ovšem není vnější silou.

Využijeme právě zjištěné skutečnosti, že výslednice vnějších sil působících na soustavu loďka-člověk je v každém okamžiku nulová. Podle 1. Newtonova zákona tedy těžiště soustavy bude setrvávat v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu. V našem případě je těžiště soustavy na počátku v klidu, a protože neexistuje vnější síla, která by mu udělila nějaké zrychlení, bude setrvávat v klidu po celou dobu přechodu člověka po loďce. Stručně lze tento poznatek shrnout tak, že v naší soustavě se poloha těžiště zachovává. Z této skutečnosti při řešení úlohy vyjdeme.

Do nákresu situace vhodně zavedeme souřadný systém a zakreslíme známé i hledané veličiny:

Protože nás zajímá pouze posun loďky ve vodorovném směru, budeme určovat pouze x-ovou souřadnici těžiště soustavy x_T1.

Pro x-ovou souřadnici těžiště n hmotných bodů platí (viz například Těžiště různě uspořádaných soustav koulí):
\[x_{T1}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^n{m_i}}.\tag{1}\]
V případě naší soustavy dosadíme do vztahu (1) hmotnosti a souřadnice těžiště člověka a loďky:
\[x_{T1}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_ix_i}}{\sum_{i=1}^2{m_i}}\,=\,\frac{M\frac{L}{2}\,+\,mL}{M\,+\,m}.\tag{2}\]
Z pohledu naší souřadné soustavy se po přechodu člověka ze zádi na příď loďka posunula o vzdálenost x doprava – novou situaci ukazuje obrázek níže:

Souřadnici těžiště soustavy určíme opět podle vztahu (1) – nyní bude mít výpočet tuto podobu:
\[x_{T2}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_ix_i'}}{\sum_{i=1}^n{m_i}} \,=\,\frac{mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2})}{M\,+\,m}.\tag{3}\]
Protože poloha těžiště naší soustavy se během celého pohybu zachovávala, platí:
\[x_{T1}\,=\,x_{T2}.\]
Srovnáním vztahů (2) a (3):
\[\frac{M\frac{L}{2}\,+\,mL}{M\,+\,m}\,=\,\frac{mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2})}{M\,+\,m}.\]
Úpravami:
\[M\frac{L}{2}\,+\,mL\,=\,mx\,+\,M(x\,+\,\frac{L}{2}),\] \[mL\,=\,mx\,+\,Mx,\] \[x\,=\,\frac{mL}{M\,+\,m}.\]
Číselně:
\[x\,=\,\frac{70{\cdot}2{,}5}{100\,+\,70}\,\mathrm{m}\,\dot=\,1{,}03\,\mathrm{m}.\]
Loďka se ve vodorovném směru posune přibližně o 1,03 m.
Odpověď
Loďka se ve vodorovném směru posune přibližně o 1,03 m.