Vozík na vzduchové dráze

Úloha číslo: 143

Vozík na vzduchové dráze má hmotnost 250 g a je uváděn do zrychleného pohybu tahem za vlákno přes pevnou kladku. Porovnejte velikost zrychlení vozíku, jestliže

a) táhneme za vlákno rukou silou 0,1 N

b) zavěsíme na vlákno závaží o tíze 0,1 N

Odpor vzduchu a hmotnost vlákna a kladky neuvažujte.

Poznámka: Vzduchová dráha je zařízení, na kterém je možný pohyb vozíku - stříšky bez tření podložky. Proud vzduchu zespoda nadnáší vozík.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    mv = 250 g hmotnost vozíku
    F = 0,1 N velikost síly, kterou působí ruka prostřednictvím vlákna na vozík
    FGz = 0,1 N velikost tíhové síly působící na závaží
    a1 = ? velikost zrychlení vozíku, jestliže táhneme za vlákno rukou silou 0,1 N
    a2 = ? velikost zrychlení vozíku, jestliže zavěsíme na vlákno závaží o tíze 0,1 N
  • Nápověda 1a – síly působící na vozík, pohybová rovnice

    Nakreslete si obrázek a vyznačte do něj síly působící na vozík v případě, že za vlákno táhneme silou o velikosti 0,1 N. Napište pohybovou rovnici pro vozík.

  • Nápověda 2a – pohybová rovnice skalárně

    Pohybovou rovnici ze vztahu (1) přepište skalárně a vyjádřete velikost zrychlení a1.

  • Nápověda 1b – síly působící na vozík a na závaží, pohybové rovnice

    Nakreslete si obrázek a vyznačte do něj síly působící na vozík a na závaží. Napište pohybovou rovnici pro vozík a pro závaží.

  • Nápověda 2b – pohybové rovnice skalárně, tah vlákna

    Pohybové rovnice ze vztahu (7) a (8) přepište skalárně. Uvědomte si, jaký je vztah mezi tahy vlákna T a T'.

  • Nápověda 3b – výpočet zrychlení

    Pomocí rovnic (10) a (11) vypočtěte velikost zrychlení a2.

  • Poznámka

    Zrychlení a1 je větší než zrychlení a2. Je to proto, že v prvním případě síla o velikosti 0,1 N působí přímo na vozík a uděluje zrychlení jen jemu. Ve druhém případě síla 0,1 N, která je rovna tíze závaží, uděluje zrychlení nejen vozíku, ale i samotnému závaží.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Síly působící na vozík v případě a):

    Síly působící na vozík při tažení rukou

    \(\vec{F}\)…síla, kterou působí ruka prostřednictvím vlákna na vozík,

    \(\vec{N}\)…síla, kterou tlačí vzduch zespoda na vozík,

    \(\vec{F}_{G_v}\)…tíhová síla působící na vozík.

    Pohybová rovnice:

    \[\vec{F}_{G_v}+\vec{N}+\vec{F}\,=\, m_v\vec{a_1},\tag{1}\]

    \(m_v\)…hmotnost vozíku,

    \(\vec{a}_1\)…zrychlení vozíku.

    Abychom pohybovou rovnici mohli přepsat skalárně, zvolíme vhodně souřadný systém. Osu x volíme ve směru pohybu vozíku. Osa y je kolmá na osu x.

    Síly působící na vozík při tažení rukou (se souřadnicemi)

    Pohybová rovnice skalárně:

    \[x:\qquad F\,=\,m_v a_1,\tag{2}\] \[y:\qquad N - F_{G_v} \,=\,0.\tag{3}\]

    Ve směru osy y se vozík nepohybuje, proto je zrychlení rovno nule.

    Ze vztahu (2) vyjádříme velikost zrychlení a1:

    \[ a_1\,=\,\frac{F}{m_v}.\tag{4}\]

    Dosadíme číselně:

    \[ a_1\,=\,\frac{0{,}1}{0{,}25}\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}\,=\, 0{,}4\,\mathrm{m \cdot s^{-2}}.\tag{5}\]

    Síly působící na vozík a na závaží v případě b):

    Síly působící na vozík a závaží

    Vozík:

    \(\vec{N}\)…síla, kterou tlačí vzduch zespoda na vozík,

    \(\vec{F}_{G_v}\)…tíhová síla působící na vozík,

    \(\vec{T}\prime\)…síla, kterou působí závaží prostřednictvím vlákna na vozík.

    Závaží:

    \(\vec{F}_{G_z}\)…tíhová síla působící na závaží,

    \(\vec{T}\)… síla, kterou působí vozík prostřednictvím vlákna na závaží.

    Pohybové rovnice:

    Pohybová rovnice pro vozík:

    \[\vec{F}_{G_v}+\vec{N}+\vec{T}\prime\,=\, m_v\vec{a}_2.\tag{6}\]

    Pohybová rovnice pro závaží:

    \[\vec{F}_{G_z}+\vec{T}\,=\,m_z\vec{a}_2,\tag{7}\]

    \(m_v\)…hmotnost vozíku,

    \(m_z\)…hmotnost závaží,

    \(\vec{a}_2\)…zrychlení vozíku a závaží.

    Abychom pohybové rovnice mohli přepsat skalárně, zvolíme vhodně souřadný systém. Osu x volíme ve směru pohybu vozíku (závaží). Osa y je kolmá na osu x.

    Síly působící na vozík a závaží (se souřadnicemi)

    Pohybové rovnice skalárně:

    Pohybová rovnice pro vozík:

    \[x:\qquad T\prime\,=\,m_va_2,\tag{8}\] \[y:\qquad N - F_{G_v}\,=\,0.\tag{9}\]

    Ve směru osy y se vozík nepohybuje, proto je zrychlení rovno nule.

    Pohybová rovnice pro závaží:

    \[x:\qquad F_{G_z}-T\,=\,m_za_2.\tag{10}\]

    Jelikož hmotnost kladky zanedbáváme, nemá tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňuje tah vlákna. Vozík působí prostřednictvím vlákna na závaží a závaží zase naopak na vozík. Podle 3. Newtonova zákona platí pro velikosti sil:

    \[|\vec{T}| \,=\, |\vec{T}\prime|.\]

    Přepíšeme rovnici (10):

    \[T\,=\,m_va_2.\tag{11}\]

    Sečteme rovnice (10) a (11):

    \[F_{G_z}\,=\,m_za_2+m_va_2,\] \[F_{G_z}\,=\,(m_z+m_v)a_2,\] \[a_2\,=\,\frac{F_{G_z}}{m_z+m_v}.\]

    Hmotnost závaží je \(m_z\,=\,\frac{F_{G_z}}{g}\), platí:

    \[a_2\,=\,\frac{F_{G_z}}{\frac{F_{G_z}}{g}+m_v}.\tag{12}\]

    Do vztahu (12) dosadíme číselně:

    \[a_2\,=\,\frac{0{,}1}{\frac{0{,}1}{10}\,+\,0{,}25}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\, \frac{0{,}1}{0{,}26}\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,=\,0{,}38\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}.\tag{13}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Velikost zrychlení vozíku, jestliže táhneme za vlákno rukou silou 0,1 N, je

    \[a_1\,=\,\frac{F}{m_v}\,=\,0{,}4\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Velikost zrychlení vozíku, jestliže zavěsíme na vlákno závaží o tíze 0,1 N, je

    \[ a_2\,=\,\frac{F_{G_z}}{\frac{F_{G_z}}{g}+m_v}\,=\,0{,}38\,\mathrm{m\cdot s^{-2}}\,.\]

    Poznámka: Zrychlení a1 je větší než zrychlení a2. Je to proto, že v prvním případě síla o velikosti 0,1 N působí přímo na vozík a uděluje zrychlení jen jemu. Ve druhém případě síla 0,1 N, která je rovna tíze závaží, uděluje zrychlení nejen vozíku, ale i samotnému závaží.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na porovnávání a rozlišování
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze