Dostředivé zrychlení Země
Úloha číslo: 207
Vypočítejte dostředivé zrychlení Země na oběžné dráze kolem Slunce. Předpokládejte, že oběžná dráha Země je kruhová s poloměrem r = 150·106 km.
Zápis
r = 150·106 km vzdálenost Země a Slunce ad = ? (m·s−2) dostředivé zrychlení Země Nápověda 1 - vztah pro dostředivé zrychlení
Ze zadání víme, že Země vykonává kolem Slunce pohyb po kružnici. O tomto pohybu můžeme předpokládat, že je rovnoměrný. Jaký znáte vztah pro dostředivé zrychlení ad rovnoměrného pohybu po kružnici?
Nápověda 2 - výpočet úhlové rychlosti
Ve vztahu (1) známe ze zadání hodnotu r. Umíte určit úhlovou rychlost ω? Lze pro její výpočet použít například nějaký charakteristický čas popisující oběh Země kolem Slunce?
Nápověda 3
Spojte vztahy (1) a (2) a vyjádřete dostředivé zrychlení ad. Při dosazování číselných hodnot pozor na jednotky!
Poznámka
Naše úloha je idealizací – dle Keplerových zákonů se planety kolem Slunce nepohybují po kružnicích, ale po elipsách. Oběžná ani úhlová rychlost jejich pohybu není konstantní, jak zde předpokládáme, ale mění se podle polohy planety na její oběžné dráze. Pro odhadnutí dostředivého zrychlení si ale tuto chybu můžeme dovolit – výsledek ovlivňuje zanedbatelně.
Celkové řešení
Podle zadání se Země pohybuje kolem Slunce po kružnici. Předpokládáme, že tento pohyb je rovnoměrný. Dostředivé zrychlení ad lze vyjádřit jako:
\[a_\mathrm{d}\,=\,{{\omega}^2}r\,,\tag{1}\]
kde ω je úhlová rychlost pohybu po kružnici a r poloměr této kružnice.
Pro úhlovou rychlost ω platí:
\[\omega\,=\,\frac{2\pi}{T}\,,\tag{2}\]
kde T je doba jednoho oběhu Země kolem Slunce – tzv. perioda. Zjevně T = 1 rok (přesněji 365,25 dne).
Dosazením výrazu (2) do vztahu (1) dostáváme:
\[a_\mathrm{d}\,=\,{(\frac{2\pi}{T})^2}r\,.\]Číselně:
\[r\,=\,150{\cdot}10^6\,\mathrm{km}\,=\,1{,}5{\cdot}10^{11}\,\mathrm{m},\] \[T\,=\,365{,}25\,\mathrm{dne}\,=\,3{,}16{\cdot}10^{7}\,\mathrm{s},\] \[a_\mathrm{d}\,=\,({(\frac{2\pi}{3{,}16{\cdot}10^{7}})^2}{\cdot}1{,}5{\cdot}10^{11})\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,=\,5{,}9{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}.\]Země se tedy na své oběžné dráze kolem Slunce pohybuje s dostředivým zrychlením o velikosti \(a_\mathrm{d}\,=\,5{,}9{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,.\)
Alternativní řešení 1
Pro dostředivé zrychlení ad rovnoměrného pohybu po kružnici lze použít také vztah:
\[a_\mathrm{d}\,=\,\frac{v^2}{r}\,,\tag{3}\]
kde v je obvodová rychlost rovnoměrného pohybu po kružnici a r poloměr této kružnice.
Protože pohyb Země je rovnoměrný, lze velikost rychlosti v určit jako:
\[v\,=\,\frac{{\Delta}s}{{\Delta}t}\,,\] kde Δs je dráha uražená za dobu Δt.
Zvolíme-li za dobu Δt dobu jednoho oběhu T, je uražená dráha Δs rovna obvodu kružnice o poloměru r:
Δs = 2πr.
Dostáváme tedy: \(v\,=\,\frac{2{\pi}r}{T}\) a po dosazení do vztahu (3):
\[a_\mathrm{d}\,=\,\frac{(\frac{2{\pi}r}{T})^2}{r}\,=\,\frac{(2{\pi}r)^2}{T^2r}\,=\,{(\frac{2\pi}{T})^2}r. \]Je vidět, že toto řešení vede ke stejnému obecnému vztahu jako řešení předcházející.
Alternativní řešení 2
Pokud si vyhledáme ještě jeden dodatečný údaj (hmotnost Slunce Ms), lze postupovat podle úlohy Dostředivé zrychlení rakety. Roli Země přebírá Slunce, roli rakety Země.
Gravitační síla Fg, kterou působí Slunce na Zemi, je podle Newtonova gravitačního zákona:
\[F_\mathrm{g}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{s}M_\mathrm{z}}{r^2}\,,\]kde κ je gravitační konstanta, Ms je hmotnost Slunce, Mz hmotnost Země a r vzdálenost Země a Slunce (rozměry Slunce i Země můžeme vzhledem k jejich vzdálenosti zanedbat).
Země koná kolem Slunce rovnoměrný pohyb po kružnici, působí na ni tedy dostředivá síla Fd = Mzad. Protože její roli hraje v této situaci právě gravitační síla Fg, platí:
\[F_\mathrm{g}\,=\,F_\mathrm{d}\,.\]Tedy:
\[\kappa\frac{M_\mathrm{s}M_\mathrm{z}}{r^2}\,=\,M_\mathrm{z}a_\mathrm{d}\,,\] \[a_\mathrm{d}\,=\,\kappa\frac{M_\mathrm{s}}{r^2}\,.\]Číselně:
\[\kappa\,=\,6{,}67{\cdot}10^{-11}\,\mathrm{N{\cdot}m^2{\cdot}kg^{-2}},\] \[M_\mathrm{s}\,=\,2{\cdot}10^{30}\,\mathrm{kg},\] \[r\,=\,150{\cdot}10^6\,\mathrm{km}\,=\,1{,}5{\cdot}10^{11}\,\mathrm{m},\] \[a_\mathrm{d}\,=\,(6{,}67{\cdot}10^{-11}\frac{2{\cdot}10^{30}}{(1{,}5{\cdot}10^{11})^2})\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,=\,5{,}9{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}.\]Výsledek
Země se na své oběžné dráze kolem Slunce pohybuje s dostředivým zrychlením o velikosti \(a_\mathrm{d}\,=\,{(\frac{2\pi}{T})^2}r\,=\,5{,}9{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{m{\cdot}s^{-2}}\,.\)
