Válec a vlákno

Úloha číslo: 536

Homogenní plný válec o hmotnosti M a poloměru R leží na vodorovné podložce. Na válci je navinuto vlákno, které je ve vodorovném směru vedeno přes pevnou kladku. Na volném konci vlákna je zavěšeno závaží o hmotnosti m.

takto to vypadá

Klesající závaží uvede prostřednictvím vlákna válec do valivého pohybu na vodorovné rovině bez smyku.

a) Určete zrychlení aS hmotného středu válce.

b) Určete velikost síly klidového tření mezi válcem a vodorovnou rovinou.

(Hmotnost vlákna a kladky neuvažujte, tření kladky zanedbejte.)

  • Zápis

    M hmotnost válce
    R poloměr válce
    m hmotnost závaží
    aS = ? zrychlení hmotného středu válce
    Ft = ? velikost síly klidového tření mezi válcem a vodorovnou rovinou
  • Rozbor

    Zrychlení hmotného středu je možné určit dvěma způsoby. Buď pomocí zákona zachování mechanické energie (A), nebo přes impulsové věty (B).

    V prvním případě je třeba zvolit dvě vhodné situace, ve kterých budete mechanickou energii soustavy srovnávat. Uvědomte si, že válec se jednak otáčí a zároveň koná posuvný pohyb.

    Při řešení přes impulsové věty je třeba uvážit, které všechny síly na válec a závaží působí a co platí pro jejich výslednice. Zvažte, jaký bude směr třecí síly působící na válec. Pro válec je třeba napsat i druhou větu impulsovou. Rozhodněte, vzhledem ke kterému bodu budete momenty sil psát, a s ohledem na to napište správný vztah pro moment setrvačnosti válce vzhledem k ose procházející tímto bodem.

  • Moment setrvačnosti

    Moment setrvačnosti válce o hmotnosti M a poloměru R při otáčení podle osy symetrie je podle tabulek \(J=\frac{1}{2}MR^2\).

  • Nápověda 1A - zákon zachování mechanické energie

    Porovnejte energie soustavy válec-závaží v situaci v klidu a po chvíli pohybu. Nezapomeňte zvolit nulovou hladinu potenciální energie.

  • Nápověda 2 A - zákon zachování mechanické energie

    Vyjádřete vzdálenost, o kterou sjelo závaží, pomocí jeho zrychlení. Jaký vztah platí mezi velikostí rychlosti závaží a velikostí rychlosti hmotného středu válce a podobně mezi velikostmi jejich zrychlení?

  • Nápověda 1B - impulsové věty

    Jaké síly na válec a závaží působí? Zakreslete je do obrázku.

  • Nápověda 2B - impulsové věty

    Napište, co platí pro výslednici sil působících na závaří a na válec. Rovnice přepište skalárně.

  • Nápověda 3B - impulsové věty

    Pro válec napište ještě 2. impulsovou větu. Zvažte, vzhledem ke kterému bodu budete momenty sil vztahovat.

  • Nápověda 4B - impulsové věty

    Pomocí rovnic (2), (3), (4) vyjádřete hledané zrychlení.

  • Nápověda 5B - velikost třecí síly

    Hledanou třecí sílu vyjádřete z rovnice (3).

  • Řešení b)

    Z rovnice (4) dosazením za F1:

    \[F_t=F_1-\frac{1}{2}Ma_S=\frac{3}{4}Ma_S-\frac{1}{2}Ma_S=\frac{Ma_S}{4}\,.\] aS známe: \[F_t=\frac{Mmg}{8m+3M}\,.\]
  • Celkové řešení - pomocí impulsových vět

    a) Zrychlení hmotného středu válce

    Do obrázku nakreslíme síly, které na válec a závaží působí.

    takhle vypadají síly

    Na válec působí síla tíhová \(\vec{F}_G=M\vec{g}\), proti ní reakce podložky \(\vec{F}_r\), dále síla působená vláknem \(\vec{F}_1\) a také síla třecí \(\vec{F}_t\). Na závaží působí síla tíhová \(\vec{F}\) a síla působená vláknem \(\vec{F^,}_1\).

    Pro působící síly platí:

    Závaží:

    \[\vec{F} + \vec{F}_1^, = m\vec{a}\,.\]

    Skalárně:

    \[F-F_1^, = ma\,,\] \[mg-F_1^, = ma\,.\tag{1}\]

    Válec:

    \[\vec{F}_G + \vec{F}_1 +\vec{F}_r + \vec{F}_t= M\vec{a}_S\,.\]

    Skalárně:

    \[F_1+F_t=M a_S\,,\tag{2}\]

    \[Mg-F_r=0\,.\]

    Zrychlení středu válce aS je proti zrychlení závaží a poloviční: \(a_S=\frac{a}{2}\,.\)

    Kladka je nehmotná, pro tah vlákna podle 3. Newtonova zákona platí: \(F_1=F_1^\,,\)

    Pro válec napíšeme ještě 2. impulsovou větu.

    Druhá impulsová věta říká, že časová změna momentu hybnosti soustavy se rovná celkovému momentu vnějších sil:

    \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt}\,.\]

    (\(\vec{M}\) a \(\vec{L}\) jsou vztahovány k témuž bodu.)

    V případě rotace tuhého tělesa kolem pevné osy platí:

    \[L = J \omega\,,\] \[\vec{M}=\frac{d\vec{L}}{dt} = J\vec{\epsilon}\,.\]

    J je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose procházející bodem, ke kterému vztahujeme momenty sil, a ε je úhlové zrychlení.

    Pro výsledný moment sil působících na válec vzhledem k bodu S platí:

    \[\vec{R} \times \vec{F_1} + \vec{R} \times \vec{F_t} = J\vec{\epsilon}\,.\]

    Přepíšeme skalárně:

    \[F_1R-F_tR=J\epsilon\,.\] Pro úhlové zrychlení platí:

    \[\epsilon=\frac{a_S}{R}\,.\]

    Dosadíme za ε a J:

    \[F_1R-F_tR=\frac{1}{2}MR^2\frac{a_S}{R}=\frac{1}{2}MRa_S\,.\]

    Vydělíme R:

    \[F_1-F_t=\frac{1}{2}Ma_S\,.\tag{3}\]

    Pomocí rovnic (1), (2), (3) vyjádříme hledané zrychlení.

    Sečtením rovnic (2) a (3) dostaneme:

    \[2F_1=\frac{3}{2}Ma_S\,,\] \[F_1=\frac{3}{4}Ma_S\,.\]

    Upravme rovnici (1):

    \[a=g-\frac{F_1}{m}=g-\frac{3Ma_S}{4m}\,.\]

    A protože \(2a_S=a\):

    \[8ma_S=4mg-3Ma_S\,,\] \[a_S(8m+3M)=4mg\,,\] \[a_S=\frac{4mg}{8m+3M}\,.\]  

    Poznámka:

    Momenty sil působící na válec můžeme vztahovat i vůči jinému bodu, např. bodu B, čímž bude nulový moment třecí síly a reakce podložky i moment síly tíhové.

    Zrychlení hmotného středu válce můžeme spočítat také pomocí zákona zachování mechanické energie.

     

    b) Velikost třecí síly

    Hledanou třecí sílu vyjádříme z rovnice (3).

    Z rovnice (3) dosazením za F1:

    \[F_t=F_1-\frac{1}{2}Ma_S=\frac{3}{4}Ma_S-\frac{1}{2}Ma_S=\frac{Ma_S}{4}\,.\] aS známe: \[F_t=\frac{Mmg}{8m+3M}\,.\]
  • Odpověď

    Zrychlení středu válce je vyjádřeno vztahem \(a_S=\frac{4mg}{3M+8m}\,.\)

    Síla klidového tření \(F_t=\frac{Mmg}{8m+3M}.\)

Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: RNDr. Marta Chytilová , CSc.: Mechanika – studijní texty pro
soutěžící ve fyzikální olympiádě. Vydalo Státní pedagogické
nakladatelství, Praze 1988, Edice Pomocné knihy pro žáky.
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
×Původní zdroj: RNDr. Marta Chytilová , CSc.: Mechanika – studijní texty pro soutěžící ve fyzikální olympiádě. Vydalo Státní pedagogické nakladatelství, Praze 1988, Edice Pomocné knihy pro žáky.
Zpracováno v bakalářské práci Marka Soukupa (2010).
Zaslat komentář k úloze