Sbírka řešených úloh

Soustava Země–Měsíc

Úloha číslo: 1133

• Zápis

  m	hmotnost Měsíce
  M = 81m	hmotnost Země
  a = 384 000 km	vzdálenost středů Měsíce a Země
  xT = ?	vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země

• Nápověda 1

  Výše uvedenou situaci zakreslete do obrázku a vhodně do ní zaveďte souřadný systém. Které souřadnice hmotného středu soustavy musíte vypočítat a které se dají určit pouze z obrázku, bez výpočtu?

• Řešení nápovědy 1

  Zadanou soustavu ukazuje obrázek níže. Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

  

  Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice y_T, z_T hmotného středu platí:

  \[y_\mathrm{T}\,=\,z_\mathrm{T}\,=\,0.\]

  Výpočtem je tedy třeba určit zbývající souřadnici hmotného středu x_T.

• Nápověda 2

  V dané situaci můžeme Zemi a Měsíc považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6 378 km). Pro výpočet neznámé x_T proto použijte vztah pro polohu hmotného středu soustavy hmotných bodů – jak tento vztah vypadá?

• Řešení nápovědy 2

  Vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů vypadá následovně:

  \[\vec{r}_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}\vec{r}_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici x_T v naší soustavě:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}x_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}}}.\tag{1}\]

• Nápověda 3

  Do vztahu (1) dosaďte konkrétní hodnoty a číselně dopočítejte. Vyjádřete vzdálenost hmotného středu soustavy od středu Země jako procentuální část zemského poloměru.

• Řešení nápovědy 3

  Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

  Číselně:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

  Protože poloměr Země je 6 378 km, představuje vzdálenost x_T přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země–Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

• Celkové řešení

  Na úvod nakreslíme obrázek situace (viz níže). Zemi a Měsíc můžeme považovat za hmotné body, neboť jejich vzdálenost (384 000 km) je mnohonásobně větší než jejich rozměry (poloměr Země je 6 378 km). Zvolený souřadný systém má počátek ve středu Země a je zvolen tak, že osa x prochází středem Měsíce:

  

  Protože v takto zvoleném souřadném systému leží hmotné středy obou uvažovaných těles na ose x, bude také hmotný střed jejich soustavy ležet na ose x. Všechny body na ose x mají ale y-ovou a z-ovou souřadnici nulovou, tedy také pro souřadnice y_T, z_T hmotného středu platí:

  \[y_\mathrm{T}\,=\,z_\mathrm{T}\,=\,0.\]

  Pro výpočet zbývající neznámé x_T použijeme obecný vztah pro polohu hmotného středu soustavy n hmotných bodů:

  \[\vec{r}_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}\vec{r}_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^n{m_\mathrm{i}}},\]

  kde m_i jsou hmotnosti jednotlivých hmotných bodů a r_i jim příslušející polohové vektory. Protože souřadnice hmotného středu lze počítat po složkách, platí pro souřadnici x_T v naší soustavě:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}x_\mathrm{i}}}{\sum_{i=1}^2{m_\mathrm{i}}}.\tag{1}\]

  Při dosazení do vztahu (1) dostáváme:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{M{\cdot}0\,+\,m{\cdot}a}{M\,+\,m}\,=\,\frac{ma}{81m\,+\,m}\,=\,\frac{a}{82}.\]

  Číselně:

  \[x_\mathrm{T}\,=\,\frac{384\,000}{82}\,\mathrm{km}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km}.\]

  Protože poloměr Země je 6 378 km, představuje vzdálenost x_T přibližně 73,4 % tohoto poloměru. Hmotný střed soustavy Země–Měsíc se tedy nachází pod zemským povrchem (vidíme zde nekonzistentnost s obrázkem).

• Odpověď

  Polohu hmotného středu soustavy Země–Měsíc můžeme v našem souřadném systému popsat těmito souřadnicemi:

  \[x_\mathrm{T}\,\dot=\,4683\,\mathrm{km},\] \[y_\mathrm{T}\,=\,0\,\mathrm{km},\] \[z_\mathrm{T}\,=\,0\,\mathrm{km}.\]

  Hmotný střed soustavy se nachází ve vzdálenosti 0,734-násobku zemského poloměru od středu Země.