Dívka táhne sáňky po zasněženém chodníku

Úloha číslo: 23

Dívka táhne naložené sáňky o hmotnosti 20 kg po vodorovném zasněženém chodníku. Rychlost saní je konstantní. Koeficient dynamického tření mezi skluznicí a chodníkem je 0,1 a úhel, který svírá provaz s chodníkem je 30°. Určete:

1) zrychlení sáněk

2) velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky

3) velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník

4) velikost třecí síly působící na sáňky

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m = 20 kg hmotnost naložených sáněk
    fd = 0,1 koeficient dynamického tření mezi skluznicí a chodníkem
    φ = 30° úhel, který svírá provaz s chodníkem
    a = ? (m·s-2) zrychlení sáněk
    T = ? (N) velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky
    N = ? (N) velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník
    Ft = ? (N) velikost třecí síly působící na sáňky
  • Nápověda 1 - zrychlení saní, síly působící na sáně

    Uvědomte si, co to znamená pro zrychlení (a tedy i výslednou sílu), když je rychlost konstantní. Nakreslete si obrázek a vyznačte v něm všechny síly, které působí na sáňky. Použijte 2. Newtonův zákon \(\mathrm{\Sigma}\vec{F}\,=\,m\vec{a}\) a napište pohybovou rovnici pro sáňky.

  • Nápověda 2 - pohybová rovnice skalárně

    Pohybovou rovnici je třeba zapsat skalárně. Zvolte vhodně souřadný systém, najděte průměty sil do příslušných směrů a přepište v těchto směrech pohybovou rovnici.

  • Nápověda 3 - velikost tažné síly, třecí síla

    Uvědomte si, na čem závisí velikost třecí síly a jak se dá vyjádřit.

  • Nápověda 4 - velikost tlakové síly

    Síla, kterou tlačí sáňky na chodník, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Velikost síly N, kterou tlačí chodník na sáně, je již vyjádřena vztahem (5):

    \[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]

    Stačí pouze dosadit.

  • Nápověda 5 - velikost třecí síly

    Velikost třecí síly Ft je již vyjádřena vztahem (4):

    \[F_{t} \,=\, Nf_{d}.\tag{4}\]

    Stačí pouze dosadit.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 1 - zrychlení saní

    Pokud je rychlost sáněk konstantní, jejich rychlost se s časem nemění a zrychlení sáněk je tedy rovno nule (\(\vec{a} \,=\, 0\)).

    Odpověď: Zrychlení sáněk a je nulové.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 2 - velikost tažné síly

    Síly působící na sáňky:

    Síly působící na sáňky

    \(\vec{F}_{G} \)...síla tíhová

    \(\vec{N} \)...síla, kterou tlačí chodník na sáňe

    \(\vec{T}\)...hledaná tahová síla, kterou dívka táhne sáňky po chodníku

    \(\vec{F}_{t}\)...síla třecí, určuje, jak se sáňky „brzdí“ o chodník

    Pohybová rovnice pro sáňky:

    \[\vec{F}_{G}+\vec{N}+\vec{T}+\vec{F}_{t}\,=\,m\vec{a}\,=\,0\tag{1}\]

    m…hmotnost saní

    \(\vec{a}\)…zrychlení saní

    Protože rychlost \(\vec{v}\) je konstantní, pak je zrychlení \(\vec{a}\) nulové a výslednice sil působících na sáně je tedy také nulová.

    Síly působící na sáňky (se souřadnicemi)

    Zvolíme vhodně souřadný systém a pohybovou rovnici (1) přepíšeme skalárně. Osu x volíme vodorovně ve směru pohybu a osu y volíme svisle - podle obrázku.

    Průmět do osy x:

    \[ T\cos\varphi - F_{t} \,=\, 0. \tag{2}\]

    Průmět do osy y:

    \[N + T\sin\varphi - F_G \,=\, 0. \tag{3}\]

    Třecí síla je úměrná síle, kterou tlačí sáňky na chodník, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky.

    Třecí sílu Ft můžeme tedy vyjádřit jako:

    \[F_t = Nf_d.\tag{4}\]

    Sílu N, kterou tlačí chodník na sáňky, vyjádříme z rovnice (3):

    \[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]

    Z rovnic (4) a (5):

    \[F_{t} \,=\, f_{d}\left(mg - T\sin\varphi\right).\tag{6}\]

    Po dosazení rovnice (6) do rovnice (2) můžeme průmět sil do osy x napsat jako:

    \[T\cos\varphi - f_{d}\left(mg - T\sin\varphi\right) \,=\, 0.\tag{7}\]

    Z rovnice (7) už jen vyjádříme tahovou sílu:

    \[T \,=\, \frac{mgf_{d}}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}.\tag{8}\]

    Do rovnice (8) dosadíme číselně:

    \[T \,=\, \frac{20{\cdot}9{,}81{\cdot}0{,}1}{\cos 30^{\circ} + 0{,}1\cdot\sin30^{\circ}}\,\mathrm{N} \,=\,\frac{19{,}62}{\frac{\sqrt{2}}{2} + 0{,}1{\cdot}0{,}5}\,\mathrm{N},\] \[T\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}.\]

    Odpověď: Velikost tažné síly T, kterou táhne dívka sáňky, je 21,4 N.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 3 - velikost tlakové síly

    Síla, kterou tlačí sáňky na chodník, je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou tlačí chodník na sáňky. Síla N, kterou tlačí chodník na sáně, je daná vztahem (5):

    \[N \,=\, mg - T\sin\varphi.\tag{5}\]

    Dosadíme-li za T ze vztahu (7), dostaneme výraz:

    \[N \,=\, mg - \frac{mgf_{d}}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\sin\varphi \,=\, mg \left(1 - \frac{f_{d}\sin\varphi}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\right)\,=\,\] \[\,=\, mg\left(\frac{\cos\varphi}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\right) \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan\varphi}\right).\tag{9}\]

    Dosadíme číselně do rovnice (9):

    \[N \,=\, 20{\cdot}9{,}81\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\tan30^{\circ}}\right)\,\textrm{N}\,=\, 196{,}2\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N},\] \[N\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}.\]

    Odpověď: Velikost tlakové síly N, kterou působí sáňky na chodník, je 185,5 N.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ BODU 4 - velikost třecí síly

    Třecí síla Ft je dána vztahem (4):

    \[F_{t} \,=\, Nf_d.\tag{4}\]

    Dosadíme-li do rovnice (4) za N z rovnice (9), pak:

    \[F_{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_d\tan{\varphi}}\right)f_d.\tag{10}\]

    Do rovnice (10) dosadíme číselně:

    \[F_t\,=\, 20{\cdot} 9{,}81\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\,\tan{30^{\circ}}}\right)0{,}1\,\mathrm{N}\,=\, 19{,}62\,\left(\frac{1}{1 + 0{,}1\frac{\sqrt{3}}{3}}\right)\,\mathrm{N},\] \[F_t\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}.\]

    Odpověď: Velikost třecí síly Ft působící na sáňky je 18,6 N.

  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    1) Zrychlení sáněk a je rovno nule.

    2) Velikost tažné síly, kterou dívka působí na sáňky je

    \[T \,=\, \frac{mgf_{d}}{\cos\varphi + f_{d}\sin\varphi}\,=\,21{,}4\,\mathrm{N}.\] .

    3) Velikost tlakové síly, kterou působí sáňky na chodník je

    \[N \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan\varphi}\right)\,=\,185{,}5\,\mathrm{N}.\] .

    4) Velikost třecí síly působící na sáňky je

    \[F_{t} \,=\, mg\left(\frac{1}{1 + f_{d}\tan\varphi}\right)f_{d}\,=\,18{,}6\,\mathrm{N}.\] .

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Úloha na odvozování (dedukci)
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2011).
Zaslat komentář k úloze