Filtr seznamu úloh?

Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.

Škály

Úroveň náročnosti

Štítky

Typy úloh
Poznávací operace
«
«
«

Pohyb částice II

Úloha číslo: 115

Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:

r(t)=15ms2t2i+(4m20ms2t2)j,

kde i, j jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.

Řešte následující úkoly:

a) Jaká je trajektorie částice? Napište její rovnici.

b) Nakreslete trajektorii částice.

c) Určete dráhu, kterou částice urazí v libovolném časovém intervalu (tk1, tk2).

d) Určete, jakou dráhu částice urazila na úseku trajektorie mezi osou x a y.

e) Za jakou dobu částice urazila dráhu na úseku mezi osami x, y?

f) Jaká je průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x, y?

g) Lze v tomto případě vypočítat průměrnou velikost rychlosti částice podle vzorce v=v1+v22, kde v1 je počáteční a v2 je konečná velikost rychlosti pohybu?

Odpověď zdůvodněte.

 

Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru jako například:

y=1m2ms1t.

Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  • Nápověda 1 pro a): Rovnice trajektorie částice

    Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?

    (Můžete vyjít z vyřešených úkolů v úloze Pohyb částice I.)

    Jak z parametrických rovnic x(t), y(t), z(t) získáte rovnici trajektorie částice?

  • Nápověda 2 pro b): Trajektorie částice

    Je třeba nakreslit přímku popsanou rovnicí y=4(43)x. Stačí najít dva body, kterými prochází. Zjistěte například, ve kterém bodě protíná osu x a ve kterém osu y.

  • Nápověda 3 pro c): Dráha částice v čas. intervalu (tk1, tk2)

    Z úlohy Pohyb částice I znáte, jak se s časem mění velikost rychlosti částice:

    v(t)=50t.

    Jaký je vztah mezi dráhou částice a velikostí její rychlosti?

    Dráhu vymezte pro časový úsek (tk1; tk2).

  • Nápověda 4 pro d): Dráha částice na úseku trajektorie mezi osou x a y

    Můžete vyjít z řešení bodu c) (viz předchozí nápověda). K tomu potřebujete znát ještě časy průchodu částice osami x a y. Tento úkol je řešen v úloze Pohyb částice I.

    Při určení dráhy můžete také vyjít z obrázku trajektorie částice.

  • Nápověda 5 pro e): Doba, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y

    Uvědomte si, že znáte čas průchodu částice osami x a y.

  • Nápověda 6 pro f): Průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x a y

    Jak je definovaná průměrná velikost rychlosti?

    Znáte všechny veličiny, které k výpočtu potřebujete?

  • Nápověda 7 pro g): Výpočet průměrné velikosti rychlosti částice

    Zkuste, zda můžete průměrnou velikost rychlosti částice vyjádřit jako aritmetický průměr počáteční rychlosti pohybu v1 a konečné rychlosti pohybu v2 v případě, kdy velikost rychlosti je lineární funkcí času.

    Lze tento vzorec použít obecně pro jakoukoli funkci velikosti rychlosti v(t)?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.

     

    Vycházíme z vyřešených úkolů z úlohy Pohyb částice I:

    a)

    Pohyb částice je ve směru jednotlivých souřadnicových os popsán vztahy:

    x(t)=15t2, y(t)=420t2, z(t)=0.

    Trajektorii získáme tak, že z rovnic x(t), y(t), z(t) vyloučíme parametr t.

    Z (1):

    t2=x15.

    Dosadíme do (2):

    y=4(2015)x=4(43)x, x0, z=0.

     

    b)

    Průsečík přímky s osou y:   x = 0;     y = 4

    Průsečík přímky s osou x:   y = 0;     4 = 4x/3     x = 3

    Přímka prochází body o souřadnicích: [0;4] a [3;0].

     

    Trajektorie částice:

     

    Trajektorie částice

     

    c)

    Dráhu částice vypočítáme z velikosti její rychlosti jako:

     

    s=v(t)dt.

     

    Pro dráhu částice v časovém intervalu (tk1, tk2) platí:

     

    s=tk2tk1v(t)dt=tk2tk150tdt=[25t2]tk2tk1=25(t2k2t2k1).

     

    d)

    Můžeme vyjít z řešení bodu c). K tomu potřebujeme znát ještě časy průchodu částice osami x a y.

    s=t2t1v(t)dt=t2t150tdt=[25t2]t2t1=25(t22t21),

    kde:

    t1=0sje čas průchodu osou y (viz úloha Pohyb částice I),

    t2=15sje čas průchodu osou x (viz úloha Pohyb částice I),

     

    s=25(15)2250, s=5m.

     

    Dráhu můžeme určit i z obrázku trajektorie částice:

     

    s=42+32m=5m.

     

    e)

    Dobu, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y, určíme jako:

     

    Δt=t2t1,

     

    kde:

    t1=0sje čas průchodu osou y,

    t2=15sje čas průchodu osou x.

     

    Pak platí:

     

    Δt=15s0s=15s.

     

    f)

    Průměrnou velikost rychlosti částice na úseku mezi osami x, y definujeme jako celkovou uraženou dráhu na tomto úseku dělenou celkovou dobou pohybu. Celkovou dráhu i celkovou dobu pohybu na tomto úseku známe z řešení bodu d) a e).

    Tedy:

     

    v=ΔsΔt=515ms1=55ms1.

     

    g)

    Průměrná velikost rychlosti je dána vztahem:

     

    vp=ΔsΔt=t2t1v(t)dtt2t1.

     

    V případě, že velikost rychlosti je lineární funkcí času  v(t)=kt, pak platí:

     

    vp=t2t1k.tdtt2t1=12kt2212kt21t2t1=k2(t2+t1)(t2t1)t2t1, vp=k2(t2+t1)=v1+v22.

     

    Uvedený vzorec je tedy obecně platný pro jakoukoli funkci v(t), která je lineární funkcí času.

    Lze ho tedy použít i pro náš konkrétní případ:

     

    v1=50t1=500ms1=0ms1, v2=50t2=5015ms1=505ms1=105ms1, vp=(v1+v2)2=1052=55ms1.
  • Odpověď

    a)

    Rovnice trajektorie pohybu částice:

    y=4(43)x, x0, z=0.

    Trajektorií je přímka v rovině xy.

     

    b)

    Trajektorie částice

     

    c)

    s=25(t2k2t2k1).

    d)

    s=25(t22t21)=5m,

    kde:

    t1=0sčas průchodu osou y,

    t2=15sje čas průchodu osou x.

     

    Nebo z obrázku trajektorie:

    s=42+32m=5m.

    e)

    Δt=t2t1, Δt=15s.

    f)

    v=ΔsΔt=55ms1,

    g)

    Uvedený vzorec je obecně platný pro jakoukoli funkci v, která je lineární funkcí času.

    Pro náš případ lze tedy uvedený vztah použít:

    vp=(v1+v2)2=55ms1.
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994. 
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994. Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
En translation
Zaslat komentář k úloze