Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Pohyb částice II
Úloha číslo: 115
Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:
→r(t)=15ms−2t2→i+(4m−20ms−2t2)→j,kde →i, →j jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.
Řešte následující úkoly:
a) Jaká je trajektorie částice? Napište její rovnici.
b) Nakreslete trajektorii částice.
c) Určete dráhu, kterou částice urazí v libovolném časovém intervalu (tk1, tk2).
d) Určete, jakou dráhu částice urazila na úseku trajektorie mezi osou x a y.
e) Za jakou dobu částice urazila dráhu na úseku mezi osami x, y?
f) Jaká je průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x, y?
g) Lze v tomto případě vypočítat průměrnou velikost rychlosti částice podle vzorce v=v1+v22, kde v1 je počáteční a v2 je konečná velikost rychlosti pohybu?
Odpověď zdůvodněte.
Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru jako například:
y=1m−2ms−1⋅t.Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.
Nápověda 1 pro a): Rovnice trajektorie částice
Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?
(Můžete vyjít z vyřešených úkolů v úloze Pohyb částice I.)
Jak z parametrických rovnic x(t), y(t), z(t) získáte rovnici trajektorie částice?
Nápověda 2 pro b): Trajektorie částice
Je třeba nakreslit přímku popsanou rovnicí y=4−(43)x. Stačí najít dva body, kterými prochází. Zjistěte například, ve kterém bodě protíná osu x a ve kterém osu y.
Nápověda 3 pro c): Dráha částice v čas. intervalu (tk1, tk2)
Z úlohy Pohyb částice I znáte, jak se s časem mění velikost rychlosti částice:
v(t)=50t.Jaký je vztah mezi dráhou částice a velikostí její rychlosti?
Dráhu vymezte pro časový úsek (tk1; tk2).
Nápověda 4 pro d): Dráha částice na úseku trajektorie mezi osou x a y
Můžete vyjít z řešení bodu c) (viz předchozí nápověda). K tomu potřebujete znát ještě časy průchodu částice osami x a y. Tento úkol je řešen v úloze Pohyb částice I.
Při určení dráhy můžete také vyjít z obrázku trajektorie částice.
Nápověda 5 pro e): Doba, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y
Uvědomte si, že znáte čas průchodu částice osami x a y.
Nápověda 6 pro f): Průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x a y
Jak je definovaná průměrná velikost rychlosti?
Znáte všechny veličiny, které k výpočtu potřebujete?
Nápověda 7 pro g): Výpočet průměrné velikosti rychlosti částice
Zkuste, zda můžete průměrnou velikost rychlosti částice vyjádřit jako aritmetický průměr počáteční rychlosti pohybu v1 a konečné rychlosti pohybu v2 v případě, kdy velikost rychlosti je lineární funkcí času.
Lze tento vzorec použít obecně pro jakoukoli funkci velikosti rychlosti v(t)?
CELKOVÉ ŘEŠENÍ
Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.
Vycházíme z vyřešených úkolů z úlohy Pohyb částice I:
a)
Pohyb částice je ve směru jednotlivých souřadnicových os popsán vztahy:
x(t)=15t2, y(t)=4−20t2, z(t)=0.Trajektorii získáme tak, že z rovnic x(t), y(t), z(t) vyloučíme parametr t.
Z (1):
t2=x15.Dosadíme do (2):
y=4−(2015)x=4−(43)x, x≥0, z=0.b)
Průsečík přímky s osou y: x = 0; y = 4
Průsečík přímky s osou x: y = 0; 4 = 4x/3 x = 3
Přímka prochází body o souřadnicích: [0;4] a [3;0].
Trajektorie částice:
c)
Dráhu částice vypočítáme z velikosti její rychlosti jako:
Pro dráhu částice v časovém intervalu (tk1, tk2) platí:
d)
Můžeme vyjít z řešení bodu c). K tomu potřebujeme znát ještě časy průchodu částice osami x a y.
s=∫t2t1v(t)dt=∫t2t150tdt=[25t2]t2t1=25(t22−t21),kde:
t1=0sje čas průchodu osou y (viz úloha Pohyb částice I),
t2=1√5sje čas průchodu osou x (viz úloha Pohyb částice I),
Dráhu můžeme určit i z obrázku trajektorie částice:
e)
Dobu, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y, určíme jako:
kde:
t1=0sje čas průchodu osou y,
t2=1√5sje čas průchodu osou x.
Pak platí:
f)
Průměrnou velikost rychlosti částice na úseku mezi osami x, y definujeme jako celkovou uraženou dráhu na tomto úseku dělenou celkovou dobou pohybu. Celkovou dráhu i celkovou dobu pohybu na tomto úseku známe z řešení bodu d) a e).
Tedy:
g)
Průměrná velikost rychlosti je dána vztahem:
V případě, že velikost rychlosti je lineární funkcí času v(t)=k⋅t, pak platí:
Uvedený vzorec je tedy obecně platný pro jakoukoli funkci v(t), která je lineární funkcí času.
Lze ho tedy použít i pro náš konkrétní případ:
Odpověď
a)
Rovnice trajektorie pohybu částice:
y=4−(43)x, x≥0, z=0.Trajektorií je přímka v rovině xy.
b)
c)
s=25(t2k2−t2k1).d)
s=25(t22−t21)=5m,kde:
t1=0sčas průchodu osou y,
t2=1√5sje čas průchodu osou x.
Nebo z obrázku trajektorie:
s=√42+32m=5m.e)
Δt=t2−t1, Δt=1√5s.f)
v=ΔsΔt=5√5ms−1,g)
Uvedený vzorec je obecně platný pro jakoukoli funkci v, která je lineární funkcí času.
Pro náš případ lze tedy uvedený vztah použít:
vp=(v1+v2)2=5√5ms−1.