Pohyb částice II

Úloha číslo: 115

Polohový vektor částice se mění s časem podle vztahu:

\[\vec{r}\left(t\right)\,=\,15\,\mathrm{m\,s^{-2}}t^2\vec{\,i\,}+\left(4\,\mathrm{m}-20\,\mathrm{m\,s^{-2}}t^2\right)\vec{\,j\,}\,,\]

kde \(\vec{\,i\,}\), \(\vec{\,j\,}\) jsou jednotkové vektory ve směru souřadnicových os x a y.

Řešte následující úkoly:

a) Jaká je trajektorie částice? Napište její rovnici.

b) Nakreslete trajektorii částice.

c) Určete dráhu, kterou částice urazí v libovolném časovém intervalu (tk1, tk2).

d) Určete, jakou dráhu částice urazila na úseku trajektorie mezi osou x a y.

e) Za jakou dobu částice urazila dráhu na úseku mezi osami x, y?

f) Jaká je průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x, y?

g) Lze v tomto případě vypočítat průměrnou velikost rychlosti částice podle vzorce \[v\,=\,\frac{v_1+v_2}{2},\] kde v1 je počáteční a v2 je konečná velikost rychlosti pohybu?

Odpověď zdůvodněte.

 

Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

\[y\,=\,1\,\mathrm{m} - 2\,\mathrm{m\,s^{-1}}\cdot t\,.\]

Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  • Nápověda 1 pro a): Rovnice trajektorie částice

    Jakými vztahy je popsán pohyb částice ve směrech souřadnicových os x, y, z?

    (Můžete vyjít z vyřešených úkolů v úloze Pohyb částice I

    Jak z parametrických rovnic x(t), y(t), z(t) získáte rovnici trajektorie částice?

  • Nápověda 2 pro b): Trajektorie částice

    Je třeba nakreslit přímku popsanou rovnicí \(y\,=\,4-\left(\frac{4}{3}\right)x\). Stačí najít dva body, kterými prochází. Zjistěte např., ve kterém bodě protíná osu x a ve kterém osu y.

  • Nápověda 3 pro c): Dráha částice v čas.intervalu (tk1, tk2)

    Z úlohy Pohyb částice I znáte, jak se s časem mění velikost rychlosti částice:

    \[v\left(t\right)\,=\,50t\,.\]

    Jaký je vztah mezi dráhou částice a velikostí její rychlosti?

    Dráhu vymezte pro časový úsek (tk1; tk2).

  • Nápověda 4 pro d): Dráha částice na úseku trajektorie mezi osou x a y

    Můžete vyjít z řešení bodu c) (viz předchozí nápověda). K tomu potřebujete znát ještě časy průchodu částice osami x a y. Tento úkol je řešen v úloze Pohyb částice I.

    Při určení dráhy můžete také vyjít z obrázku trajektorie částice.

  • Nápověda 5 pro e): Doba, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y

    Uvědomte si, že znáte čas průchodu částice osami x a y.

  • Nápověda 6 pro f): Průměrná velikost rychlosti na úseku mezi osami x a y

    Jak je definovaná průměrná velikost rychlosti?

    Znáte všechny veličiny, které k výpočtu potřebujete?

  • Nápověda 7 pro g): Výpočet průměrné velikosti rychlosti částice

    Zkuste, zda můžete průměrnou velikost rychlosti částice vyjádřit jako aritmetický průměr počáteční rychlosti pohybu v1 a konečné rychlosti pohybu v2 v případě, kdy velikost rychlosti je lineární funkcí času.

    Lze tento vzorec použít obecně pro jakoukoli funkci velikosti rychlosti v(t)?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Poznámka: Pro přehlednost zápisu nepíšeme ve vztazích jednotky.

     

    Vycházíme z vyřešených úkolů z úlohy Pohyb částice I:

    a)

    Pohyb částice je ve směru jednotlivých souřadnicových os popsán vztahy:

    \[x(t)\,=\,15t^{2}\,,\tag{1}\] \[y(t)\,=\,4-20t^{2}\,,\tag{2}\] \[z(t)\,=\,0\,.\tag{3}\]

    Trajektorii získáme tak, že z rovnic x(t), y(t), z(t): vyloučíme parametr t.

    Z (1):

    \[t^{2}\,=\,\frac{x}{15}\,.\]

    Dosadíme do (2):

    \[y\,=\,4-(\frac{20}{15})x\,=\,4-(\frac{4}{3})x\,,\] \[x\,\geq\,0\,,\] \[z\,=\,0\,.\]

     

    b)

    Průsečík přímky s osou y:   x = 0;     y = 4

    Průsečík přímky s osou x:   y = 0;     4 = 4x/3     x = 3

    Přímka prochází body o souřadnicích: [0;4] a [3;0].

     

    Trajektorie částice:

     

    Trajektorie částice

     

    c)

    Dráhu částice vypočítáme z velikosti její rychlosti jako:

     

    \[s\,=\,\int{v\left(t\right)}\mathrm{d}t\,.\]

     

    Pro dráhu částice v časové intervalu (tk1, tk2) platí:

     

    \[s\,=\,\int_{t_{k1}}^{t_{k2}}{v(t)}\,\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_{k1}}^{t_{k2}}{50t}\,\mathrm{d}t\,=\,\left[25t^{2}\right]_{t_{k1}}^{t_{k2}}\,=\,25\left(t_{k2}^{2}-t_{k1}^{2}\right)\,.\]

     

    d)

    Můžeme vyjít z řešení bodu c). K tomu potřebujeme znát ještě časy průchodu částice osami x a y.

    \[s\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{v\left(t\right)}\,\mathrm{d}t\,=\,\int_{t_1}^{t_2}{50t}\,\mathrm{d}t\,=\,\left[25t^{2}\right]_{t_1}^{t_2}\,=\,25\left(t_2^{2}-t_1^{2}\right)\,,\]

    Kde:

    \(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou y (viz úloha Pohyb částice I)

    \(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x (viz úloha Pohyb částice I)

     

    \[s\,=\,25\cdot(\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}-25{\cdot}0\,,\] \[s\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]

     

    Dráhu můžeme určit i z obrázku trajektorie částice:

     

    \[s\,=\,\sqrt{4^{2}+3^{2}}\,\mathrm{m}\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]

     

    e)

    Dobu, za kterou částice urazila dráhu na úseku mezi osami x a y určíme jako:

     

    \[\Delta{t}\,=\,t_2-t_1\,.\]

     

    Kde:

    \(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou y

    \(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x

     

    Pak platí:

     

    \[\Delta{t}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]

     

    f)

    Průměrnou velikost rychlosti částice na úseku mezi osami x, y definujeme jako celkovou uraženou dráhu na tomto úseku dělenou celkovou dobou pohybu. Celkovou dráhu i celkovou dobu pohybu na tomto úseku známe z řešení bodu d) a e).

    Tedy:

     

    \[v\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,\frac{5}{\frac{1}{\sqrt{5}}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]

     

    g)

    Průměrná velikost rychlosti je dána vztahem:

     

    \[v_p\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,\frac{ \int_{t_1}^{t_2}{v(t)}\,\mathrm{d}t }{t_2-t_1}\,.\]

     

    V případě, že velikost rychlosti je lineární funkcí času  \(v\left(t\right)\,=\,k\cdot t\), pak platí:

     

    \[v_p\,=\,\frac{\int_{t_1}^{t_2}{k.t}\,dt}{t_2-t_1}\,=\,\frac{\frac{1}{2}kt_2^{2}-\frac{1}{2}kt_1^{2}}{t_2-t_1}\,=\,\frac{\frac{k}{2}(t_2+t_1)(t_2-t_1)}{t_2-t_1}\,,\] \[v_p\,=\,\frac{k}{2}(t_2+t_1)\,=\,\frac{v_1+v_2}{2}\,.\]

     

    Uvedený vzorec je tedy obecně platný pro jakoukoli funkci v(t), která je lineární funkcí času.

    Lze ho tedy použít i pro náš konkrétní případ:

     

    \[v_1\,=\,50t_1\,=\,50{\cdot} 0 \,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\, 0\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\] \[v_2\,=\, 50t_2\,=\,50\cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,\frac{50}{\sqrt{5}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,=\,10\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\] \[v_p\,=\,\frac{(v_1+v_2)}{2}\,=\,\frac{10\sqrt{5}}{2}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]
  • Odpověď

    a)

    Rovnice trajektorie pohybu částice:

    \[y\,=\,4-\left(\frac{4}{3}\right)x\,,\] \[x\,\geq\,0\,,\] \[z\,=\,0\,.\]

    Trajektorií je přímka v rovině xy.

     

    b)

    Trajektorie částice

     

    c)

    \[s\,=\,25\left(t_{k2}^{2}-t_{k1}^{2}\right)\,.\]

    d)

    \[s\,=\,25\left(t_2^{2}-t_1^{2}\right)\,=\,5\,\mathrm{m}\,,\]

    Kde:

    \(t_1\,=\,0\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)čas průchodu osou y

    \(t_2\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\hspace{15px}\)je čas průchodu osou x

     

    Nebo z obrázku trajektorie:

    \[s\,=\,\sqrt{4^{2}+3^{2}}\,\mathrm{m}\,=\,5\,\mathrm{m}\,.\]

    e)

    \[\Delta{t}\,=\,t_2-t_1\,,\] \[\Delta{t}\,=\,\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}\,.\]

    f)

    \[v\,=\,\frac{\Delta{s}}{\Delta{t}}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,,\]

    g)

    Uvedený vzorec je obecně platný pro jakoukoli funkci v, která je lineární funkcí času.

    Pro náš případ uvedený vztah lze tedy použít:

    \[v_p\,=\,\frac{(v_1+v_2)}{2}\,=\,5\sqrt{5}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\,.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Komplexní úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze