Tato úloha neprošla kontrolou správnosti

Změna objemu železné tyče

Úloha číslo: 2150

Jak se změní objem železné tyče tvaru hranolu s rozměry 1 m a dvakrát 0,1 m, když je tyč ve směru svého největšího rozměru namáhaná tahem 10 kN/cm2? Modul pružnosti železa, z něhož je tyč zhotovena, je 200 GPa, a modul pružnosti ve smyku je 75 GPa.

Tyč tvaru hranolu
  • Zápis

    a = 100 cm, b = c = 10 cm rozměry železné tyče
    σ = 10 kN·cm−2 tah ve směru rozměru a
    E = 200 GPa modul pružnosti železa v tahu
    G = 75 GPa modul pružnosti železa ve smyku
    ΔV = ? změna objemu
  • Rozbor

    Relativní změna objemu je součtem všech relativních změn rozměrů tyče. Ve směrech kde nepůsobí napětí, jsou deformace stejné, a deformaci pro směr rozměru namáhaného tahem lze určit pomocí Hookova zákona. Poměr deformace ve směru působícího napětí a deformace v jiném směru lze vyjádřit pomocí vztahu závislého na modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku.

  • Nápověda

    Vyjádřete relativní objemovou deformaci jako součet relativních deformací, kde každá odpovídá určitému rozměru tyče. Relativní deformace ve směrech, kde nepůsobí tahové napětí uvažujte stejné. Použijte vztah pro Poissonovo číslo v závislosti na modulu v tahu a modulu ve smyku. Relativní objemovou deformaci vyjádřete závislou pouze na deformaci ve směru působícího napětí. Deformaci ve směru namáhaného tahem vyjádřete pomocí napětí a modulu v tahu.

  • Řešení

    Pro změnu objemu platí vztah:

    \[\Delta V\,=\,\left(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}\right)V_0.\tag{1}\]

    Když budeme uvažovat, že tyč je namáhaná v tahu ve směru x, pak můžeme uvažovat deformace v ostatních směrech jako rovnocenné, tedy:

    \[\varepsilon_{yy}=\varepsilon_{zz}.\tag{2}\]

    Poznámka: Vztah (2) platí pro izotropní materiály, obecněji už to tak jednoduché není.

    Pomocí (2) můžeme (1) upravit na:

    \[\Delta V\,=\,\left(\varepsilon_{xx}+2\varepsilon_{yy}\right)V_0.\tag{3}\]

    Jelikož máme zadaný modul pružnosti v tahu E a smykový modul pružnosti G, bude se zde hodit vztah:

    \[\frac{\varepsilon_{xx}}{\varepsilon_{yy}}\,=\,\frac{2G}{2G-E}.\tag{4}\]

    Vztah (4) vychází z toho, že poměr deformací v podélném a příčném směru je roven záporné hodnotě Poissonovy konstanty. Její vyjádření pomocí modulů pružnosti v tahu a ve smyku lze nalézt v úloze Poissonova konstanta.

    Z (4) vyjádříme:

    \[\varepsilon_{yy}\,=\,\frac{2G-E}{2G}\varepsilon_{xx}.\tag{5}\]

    Když (5) dosadíme do (3), potom dostáváme:

    \[\Delta V\,=\,\left(\varepsilon_{xx}+\frac{2G-E}{G}\varepsilon_{xx}\right)V_0\,=\,\left(\frac{3G-E}{G}\right)\varepsilon_{xx} V_0.\tag{6}\]

    Máme zadáno napětí, takže se nám bude hodit ještě vztah:

    \[\varepsilon_{xx}\,=\,\frac{\sigma_{xx}}{E}.\tag{7}\]

    Teď už pro hledaný vztah stačí dosadit (7) do (6):

    \[\Delta V\,=\,\left(\frac{3G-E}{G E}\right)\sigma_{xx} V_0.\tag{8}\]

    Dále už stačí jenom číselně dosadit, tedy:

    \[\Delta V\,=\,\left(\frac{3·75·10^{5}-200·10^{5}}{75·10^{5}·200·10^{5}}\right)·10^{4}·100·10·10 \mathrm{cm^{3}}\,=\,1{,}67 \mathrm{cm^{3}}.\]
  • Odpověď

    Objem železné tyče se změní o:

    \[\Delta V\,=\,1{,}67 \mathrm{cm^{3}}.\]
Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Zaslat komentář k úloze