Myš a kočka

Úloha číslo: 107

Myš se pohybuje rovnoměrně přímočaře z bodu A = [0; 1] m rychlostí \(\vec{v}_m\,=\,(3;\,-2)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\) a kočka rovnoměrně přímočaře z bodu B = [0; −1] m rychlostí \(\vec{v}_k\,=\,(4;\,1)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\).

a) Určete místo, kde se jejich cesty protnou. Setkají se zde?

b) Určete čas, kdy jsou si kočka a myš nejblíže.

c) Určete nejmenší vzdálenost kočky a myši.

 

Poznámka: Parametrické rovnice by měly být zapsány ve tvaru např.

\(y\,=\,1\,\mathrm{m} \,-\, 2\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\cdot t\,.\)

Pro zjednodušení zápisu jednotky ve vztazích nepíšeme.

  • Nápověda 1 pro a): Průsečík cest kočky a myši

    Do souřadného systému vyznačte počáteční polohu kočky a myši. Dokážete nakreslit přímky, po kterých se pohybují, když znáte směry jejich rychlostí? Pokud jste rýsovali přesně, průsečík přímek snadno odečtete z obrázku.

    Průsečík můžete také spočítat, pokud si napíšete rovnice přímek, po kterých se kočka a myš pohybují. U každé znáte jeden bod, kterým prochází, a směrnici.

  • Nápověda 2 pro a): Setkání kočky a myši

    Za jakou dobu dorazí do bodu P myš a za jakou kočka? Je čas stejný?

  • Nápověda 3: Závislost vzdálenosti kočky a myši na čase

    Víte, jak se s časem mění souřadnice kočky a myši. Dokážete vyjádřit, jak se s časem mění jejich vzdálenost? Vztah pro výpočet vzdáleností dvou bodů snadno odvodíte z obrázku nebo se podívejte do tabulek.

  • Nápověda 4 pro b): Čas, kdy jsou si myš a kočka nejblíže

    Víte, jak se s časem mění vzdálenost kočky a myši. Jak najdete minimum této funkce?

  • Nápověda 5 pro c): Nejmenší vzdálenost kočky a myši

    Znáte čas, kdy jsou si kočka s myší nejblíže i jak se mění s časem jejich vzdálenost. Jak určíte nejmenší vzdálenost?

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    a)

    Grafické řešení:

    Obrázek 1:

    Grafické znázornění pohybu
    \[A\,=\,[0;\,1]\,\mathrm{m}\]         \[v_m\,=\,(3;\,-2)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\]
    \[B\,=\,[0;\,-1]\,\mathrm{m}\]         \[v_k\,=\,(4;\,1)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\]

     

    Početní řešení:

    Parametrické rovnice přímky, po které se pohybuje myš:

    \[x_m\,=\,0+3t_m\,,\] \[y_m\,=\,1\,-\,2t_m\,.\]

    Vyloučením parametru tm získáme rovnici trajektorie, po které se pohybuje myš.

    \[t_m\,=\,\frac{x_m}{3}\,.\]

    Trajektorie pro myš:

    \[y_m\,=\,1\,-\,2\frac{x_m}{3}\,,\] \[3y_m\,=\,3\,-\,2x_m\,.\]

    Parametrické rovnice přímky, po které se pohybuje kočka:

    \[x_k\,=\,0\,+\,4t_k\,,\] \[y_k\,=\,-1\,+\,t_k\,.\]

    Vyloučením parametru tk získáme rovnici trajektorie, po které se pohybuje kočka.

    \[t_k\,=\,\frac{x_k}{4}\,.\]

    Trajektorie pro kočku:

    \[y_k\,=\,-1\,+\,\frac{x_k}{4}\,,\] \[4y_k\,=\,x_k\,-\,4\,.\]

    Průsečík trajektorií:

    \[x_m \,=\, x_k \,=\, x\,,\] \[y_m \,=\, y_k \,=\, y\,.\]

    Řešíme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých x, y:

    \[3y \,=\, 3\,-\,2x\,,\tag{1}\] \[4y \,=\, x\,-\,4\,.\tag{2}\]

    Z (2):

    \[x \,=\, 4y \,+\, 4\,.\]

    Dosadíme do (1):

    \[3y \,=\, 3 \,-\, 8y \,-\, 8\,.\]

    Odtud:

    \[y\,=\,-\frac{5}{11}\,,\] \[x\,=\,\frac{24}{11}\,.\]

    Souřadnice průsečíku P:

    \[P \,=\, \left[\frac{24}{11};\,-\frac{5}{11}\right]\,\mathrm{m}\,.\]

    Myš se v bodě P

    \[\left[\frac{24}{11};\,-\frac{5}{11}\right]\,\mathrm{m}\]

    ocitne v čase

    \[t_m \,=\, \frac{x}{3}\ \,=\, \frac{24}{11{\cdot}3}\ \,\mathrm{s} \,=\, \frac{8}{11}\,\mathrm{s}\,.\]

    Kočka se v bodě P

    \[\left[\frac{24}{11};\,-\frac{5}{11}\right]\,\mathrm{m}\]

    ocitne v čase

    \[t_k\, =\, \frac{x}{4}\ \,=\, \frac{24}{11{\cdot}4}\ \,\mathrm{s}= \frac{6}{11}\,\mathrm{s}\,.\]

    Časy jsou různé, to znamená, že se v tomto bodě nesetkají.

     

    b)

    Závislost vzdálenosti kočky a myši na čase L(t) můžeme odvodit z obrázku.

     

    Obrázek 2:

    Grafické znázornění pohybu
    \[x_k\,-\,x_m\,=\,4t\,-\,3t\,=\,t\] \[y_k\,-\,y_m\,=\,t-1\,+\,2t-1\,=\,3t-2\]

    Z Pythagorovy věty:

    \[L(t)\,=\,\sqrt{(x_k\,-\,x_m)^{2}+(y_k\,-\,y_m)^{2}}=\sqrt{10t^{2}\,-12t\,+\,4}\,.\]

    Najít čas, kdy jsou si kočka a myš nejblíže, znamená najít minimum funkce L(t).

    Zderivujeme funkci L(t) podle času t a zjistíme extrém:

    \[\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\,=\,\frac{1}{2}\,\frac{20t_{min}\,-12}{\sqrt{10t_{min}^{2}\,-12t_{min}\,+4}}\,=\,0\,,\] \[20t_{min}\,-\,12 \,=\, 0\,,\] \[t_{min}\,=\,\frac{3}{5}\,\mathrm{s}\,.\]

    Tedy čas, kdy jsou si myš a kočka nejblíže, je:

    \[t_{min} \,=\, 0{,}6\,\mathrm{s}\,.\]

    c)

    Čas, kdy jsou si myš a kočka nejblíže, je:

    \[t_{min}\,=\, 0{,}6 \,\mathrm{s}\,.\]

    Po dosazení této hodnoty do funkce L(t) získáme nejmenší vzdálenost myši a kočky.

    \[L_{min} \,=\,\sqrt{10t_{min}^{2}-12t_{min}\,+\,4}\,, \] \[L_{min} \,=\, \sqrt{10{\cdot} 0{,}6^{2}\,-12{\cdot}0{,}6\,+4}\,\mathrm{m}\,=\,\sqrt{0{,}4}\,\mathrm{m} \,=\, 0{,}63 \,\mathrm{m}\,. \]
  • Odpověď

    a) Cesty myši a kočky se protnou v bodě:

    \[P \,=\, \left[\frac{24}{11};\,-\frac{5}{11}\right]\,\mathrm{m}\,.\]

    Myš a kočka se v bodě P nesetkají, protože myš se v tomto bodě ocitne v čase

    \[t_m\,=\,\frac{8}{11}\,\mathrm{s}\]

    a kočka se v tomto bodě ocitne v čase

    \[t_k\,=\,\frac{6}{11}\,\mathrm{s}\,.\]

    b) Čas, kdy jsou si myš a kočka nejblíže, je:

    \[t_{min} \,=\, 0{,}6 \,\mathrm{s}\,.\]

    c) Nejmenší vzdálenost myši a kočky je:

    \[L_{min}\, =\, \sqrt{10t_{min}^{2}\,-\,12t_{min}\,+\,4} \,=\, 0{,}63\,\mathrm{m}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v diplomové práci Jany Moltašové (2011).
Zaslat komentář k úloze