Vodní nádrž Orlík

Úloha číslo: 666

Vodní nádrž Orlík je největší českou přehradou co do objemu zadržované vody. Pata hráze leží v nadmořské výšce 275 m n.m., maximální povolená kóta hladiny v nádrži je 354 m n.m. Plocha vodní nádrže je přibližně 2730 ha.

a) Během povodní v roce 2002 byla maximální povolená výška hladiny překročena o 2 m. Určete, jak velký byl tlak na dně u paty hráze.

b) V době kulminace Vltavy byl přítok do nádrže 4400 m3/s, odtok z nádrže 3100 m3/s. Určete, za jak dlouho by v této situaci stoupla hladina v nádrži o 1 m. (Uvažujte, že zvýšení hladiny nezmění plochu nádrže.)

Vodní nádrž Orlík
(Obrázek je převzatý z webových stránek http://hazmuka.rajce.idnes.cz/Orlik-Letecke_fotky/)
  • Zápis

    h0 = 2 m výška, o kterou byla překročena maximální kóta hladiny
    h1 = 354 m n.m. nadmořská výška kóty hladiny
    h2 = 275 m n.m. nadmořská výška dna u paty hráze
    S = 2730 ha = 27 300 000 m2 plocha vodní nádrže
    = 1 m přírůstek výšky hladiny v nádrži
    p = ? výsledný hledaný tlak
    Z tabulek:
    g = 10 N/kg číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu
    ρ = 1000 kg/m3 hustota vody
    pa = 101,325 kPa normální atmosférický tlak
  • Nápověda 1 - k úkolu a)

    Jak velký bude výsledný tlak na dně nádrže, o který se zajímáme? Co vše se na něm podílí?

  • Nápověda 2 - k úkolu a)

    Jak velký je přibližně atmosférický tlak?

  • Nápověda 3 - k úkolu a)

    Jak se spočítá hydrostatický tlak? Jaká byla v době povodní maximální hloubka přehrady u hráze?

  • Nápověda 4 - k úkolu a)

    Dosaďte do vztahu (1) ze vztahů (2) a (3) a vypočítejte celkový tlak p.

  • Nápověda 5 - k úkolu b)

    Jaký přírůstek objemu v nádrži znamená zvýšení hladiny o h´ = 1 m?

    Situace je znázorněna na následujícím obrázku:

    Obrázek k řešení úlohy
  • Nápověda 6 - k úkolu b)

    Kolik metrů krychlových vody přibude v nádrži za sekundu? Jak dlouho tedy potrvá, než přibude objem V? (Nešlo by to třeba trojčlenkou?)

  • Celkové řešení

    Část a):

    Absolutní tlak nepřepočítaný na hladinu moře, který je na dně nádrže, je součtem atmosférického tlaku pa a hydrostatického tlaku ph:

    \[p\,=\,p_a\,+\,p_h\,.\tag{1}\]

    Atmosférický tlak je vyvolán tíhou vzduchového sloupce nad hladinou nádrže, hydrostatický tlak tíhou vodního sloupce nade dnem nádrže.


    Hodnota tzv. normálního atmosférického tlaku je stanovena jako:

    \[p_a\,=\,101{,}325\,\mathrm{kPa}\,=\,101325\,\mathrm{Pa}\,.\tag{2}\]

    Pro náš výpočet postačí uvažovat přibližnou hodnotu 100 000 Pa.


    Pro hydrostatický tlak platí vztah:

    \[p_h\,=\,h{\rho}g\,,\tag{3}\]

    kde h je hloubka přehrady, \({\rho}\) hustota kapaliny a g = 10 N/kg (číslo, kterým musíme vynásobit hmotnost, abychom dostali příslušnou gravitační sílu).

    Maximální hloubku určíme z rozdílu nadmořských výšek a přičtením přebytku 2 m jako:

    \[h\,=\,((h_{1}\,-\,h_2)\,+\,h_0)\,=\,((354\,-\,275)\,+\,2)\,\mathrm{m}\,=\,81\,\mathrm{m}\,.\tag{4}\]

    Spojením vztahů (1), (2), (3) a (4) dostáváme:

    \(p\,=\,p_a\,+\,((h_{1}\,-\,h_2)\,+\,h_0){\rho}g\,,\)

    \(p=(100 000\,+\,((354\,-\,275)\,+2\,){\cdot}1000{\cdot}10)\,\mathrm{Pa}\,=\,910 000\,\mathrm{Pa}\,,\)

    \(p=910\,\mathrm{kPa}\,.\)

    Tlak na dně nádrže u paty hráze byl asi 910  kPa.


    Část b):

    Situace je znázorněna na následujícím obrázku:

    Obrázek k řešení úlohy

    Stoupne-li hladina o h´, přibude v nádrži voda o objemu:

    V = S·h´

    Příklad řešíme dále trojčlenkou:

    Za 1 sekundu přibude v nádrži (4400-3100) m3 vody, tedy:

    1 s... 1300 m3

    x s... S·h´

    Odtud:

    \[x\,=\,\frac{S{\cdot}h'{\cdot}1}{1300}\,\mathrm{s}\,=\,(\frac{27300000{\cdot}1{\cdot}1}{1300})\,\mathrm{s}\,=\,21000\,s\,\dot=\,5{,}8\,\mathrm{h}\,.\]

    Při zadaném přítoku a odtoku by stoupla hladina nádrže o 1 m za přibližně 5,8 hodin.

  • Odpověď

    a) \(p\,=\,p_a\,+\,((h_{1}\,-\,h_2)\,+\,h_0){\rho}g = 910 \,\mathrm{kPa}\)

    Na dně u paty hráze byl tlak asi 910 kPa.

    b) \(x\,=\,\frac{S{\cdot}h'{\cdot}1}{1300}\,\mathrm{s}\,\dot=\,5{,}8\,\mathrm{h}\)

    Při zadaném přítoku a odtoku by stoupla hladina nádrže o 1 m za přibližně 5,8 hodin.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
K řešení úlohy je třeba vyhledat nějaké údaje.
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
×Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
Zaslat komentář k úloze