Sbírka řešených úloh

Skákající míček

Úloha číslo: 4498

Malý míček hodíme svisle nahoru z výšky h₀ nad zemí. Když míček dosáhl nejvyššího bodu, začal klesat směrem k zemi, odrazil se od země a začal opět stoupat.....

Graf vlevo dole znázorňuje časový průběh rychlosti míčky při svislém vrhu nahoru a volném pádu. Obrázek vpravo dole ukazuje, jak se míček pohyboval od začátku až do prvního odrazu.

a)	Z grafu odečtěte, jak velká byla počáteční rychlost míčku a za jak dlouho od začátku pohybu měl míček poprvé rychlost 0 m·s-1.
b)	S jakým zrychlením se míček pohyboval od vyhození do prvního odrazu?
c)	Pod grafem závislosti rychlosti na čase je červeně vybarvená plocha v časovém intervalu od 0 s do 0,80 s. Pojmenujte fyzikální veličinu reprezentovanou vybarvenou plochou.
d)	Vypočítejte velikost fyzikální veličiny reprezentované vybarvenou plochou v grafu v zadání c) této úlohy. Nezapomeňte na správnou jednotku.
e)	Vypočítejte, do jaké maximální výšky od země se míček dostal a z jaké výšky jsme ho vyhodili kolmo nahoru.
f)	Nakreslete časový průběh výšky míčku h nad zemí pro časový interval od 0 s do 2,0 s.
g)	Z grafu závislosti rychlosti míčku na čase odečtěte jeho rychlost bezprostředně po prvním odrazu a těsně před druhým odrazem. Byla práce vykonaná odporovou silou vzduchu působící na míček zanedbatelná? Svoji odpověď zdůvodněte.
h)	Vypočítejte průměrnou výslednou sílu působící na míček při prvním dopadu na zem, jestliže kontakt s podložkou trval 10 ms. Hmotnost míčku je 10 g.

• Zápis

  m = 10 g	hmotnost míčku
  \(\Delta t\) = 10 ms	doba 1. kontaktu s podložkou

  ---

  a) v0 = ?	počáteční rychlost míčku
  t0 = ?	čas, kdy měl míček poprvé nulovou rychlost
  b) a0 = ?	zrychlení míčku od začátku po první odraz
  d) S = ?	obsah vybarvené plochy pod grafem
  e) hmax = ?	nejvyšší výška, do které se míček dostal
  h0 = ?	výška, z které míček házíme
  g) vpo-1 = ?	rychlost míčku po 1. odrazu
  vpřed-2 = ?	rychlost míčku před 2. odrazem
  h) F = ?	průměrná síla působící na míček během 1. odrazu

• Nápověda a) Počáteční rychlost

  Na svislou osu vynášíme rychlost míčku, na vodorovnou čas od začátku pohybu (tj. našeho hodu). Počáteční rychlost je tedy rychlost v čase t = 0 s. Jaká je její hodnota?

  Vidíme, že nulové hodnoty rychlosti odpovídají průsečíkům s vodorovnou osou. V jakém čase se graf poprvé protíná s vodorovnou osou?

• Řešení nápovědy a)

  Velikost počáteční rychlosti míčku je v₀ = 8 m·s^-1.

  Míček měl poprvé od začátku pohybu rychlost 0 m·s^-1 v čase t₀ = 0,8 s.

• Nápověda b) Zrychlení míčku

  Vidíme, že graf závislosti rychlosti na čase je lineární. Co můžeme na základě toho říci o velikosti zrychlení? Kde je v grafu závislosti rychlosti na čase zrychlení schované? Využijte toho k jeho výpočtu.

• Řešení nápovědy b) Zrychlení míčku

  Velikost zrychlení je v první části pohybu míčku, od jeho vyhození po 1. odraz, konstantní. Zrychlení je schované ve sklonu přímky udávající závislost rychlosti na čase a určíme ho jako její směrnici, tedy jako tangens úhlu, který přímka svírá s vodorovnou osou.

  \[a_0 = \frac{(0 - 8) \ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{(0{,}8 - 0) \ \text{s}} = -10 \ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\]

  Znaménko mínus znamená, že je zrychlení orientované proti směru rychlosti, tedy svisle dolů.

  Poznámka: Zrychlení můžeme také určit tak, že napíšeme rovnici přímky vyjadřující závislost rychlosti na čase. Z ní zrychlení vyjádříme a do vztahu dosadíme některou z dvojic hodnot v, t, kterými graf prochází:

  \[v = v_0 + a_0t \rightarrow a_0 = \frac{v - v_0}{t}\]

  Rychlost v čase t = 2 s je v = -12 m·s^-1. Dosadíme:

  \[a_0 = \frac{v - v_0}{t} = \frac{(-12 - (8)) \ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}}{2 \ \text{s}} = -10 \ \text{m}\cdot \text{s}^{-2}\]

• Nápověda c), d) Vybarvená plocha

  K interpretaci veličiny, kterou plocha symbolizuje, nám pomůže podívat se na jednotku této veličiny. Na svislé ose je rychlost v m·s^-1, na vodorovné čas v s. Plocha je pravoúhlým trojúhelníkem, vzpomenete si na vztah pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníku? Jaký bude obsah této plochy, jaká bude výsledná jednotka po dosazení?

• Řešení nápovědy c), d) Vybarvená plocha

  Pro obsah S pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami a, b platí

  \[S = \frac{1}{2}a\cdot b,\]

  v našem případě budeme dosazovat a = 0,8 s, b = 8 m·s^-1. Rozměr veličiny, kterou plocha reprezentuje, je metr a význam této plochy je dráha, kterou míček za daný čas urazil.

  \[S = \frac{1}{2}(0{,}8 \ \text{s})\cdot (8 \ \text{m}\cdot \text{s}^{-1}) = \frac{1}{2}\cdot 6{,}4 \ \text{m} = 3{,}2 \ \text{m}\]

• Poznámka - Plocha pod grafem

  Plocha pod grafem rychlosti symbolizuje vzdálenost pro libovolnou křivku (viz níže), nejenom pro přímky.

  

  Navíc plocha pod grafem zrychlení symbolizuje rychlost (také pro libovolnou křivku).

  

• Nápověda e) Maximální výška

  Uvědomte si, jaká je rychlost míčku v nejvyšším bodě. V jakém čase dosáhl míček maximální výšky? A v jakém čase dopadl z této výšky na podložku? Jak z grafu závislosti rychlosti na čase určíte vzdálenost, kterou za dobu pádu z maximální výšky na podložku urazil?

  Výšku, ze které jsme míček házeli, již snadno určíte s pomocí výsledku části d).

• Řešení nápovědy e) Maximální výška

  V nejvyšším bodě, kterého míček dosáhne, má nulovou rychlost (mění se v něm její směr). Maximální výšku míček dosáhl v čase 0,8 s. K prvnímu kontaktu s podložkou pak došlo v čase 2 s.

  Mezi časem 0,80 s a 2,0 s musí míček klesnout z maximální výšky až na zem. Vzdálenost, kterou míček za tento časový interval urazí, reprezentuje obsah zeleného trojúhelníku (viz graf dole).

  \[h_{max} = \frac{1}{2}vt = \frac{12 \ \text{m}\cdot\text{s}^{-1} \ \cdot \ (2 - 0{,}8) \ \text{s}}{2} = 7{,}2 \ \text{m}\]

  Vzdálenost, kterou míček urazí od okamžiku, kdy jsme ho vyhodili, do dosažení nejvyššího bodu, reprezentuje obsah červeného trojúhelníku v grafu dole. Spočítali jsme ji již v části d. Výška nad zemí, ze které jsme míček vyhodili, je pak rovna rozdílu obsahů zelené a červené plochy.

  \[h_0 = h_{max} - s = 7{,}2 \ \text{m} - 3{,}2 \ \text{m} = 4 \ \text{m}\]

  

• Nápověda f) Graf polohy míčku

  Rozmyslete si, jak se míček pohybuje od svého vyhození do dosažení maximální výšky, jak se mění jeho rychlost a zrychlení. Totéž si pak promyslete pro část, kdy padá volným pádem z maximální výšky na podložku. Jaký tvar bude mít graf závislosti jeho polohy na čase? Zkuste závislost popsat i matematicky.

• Řešení nápovědy f) Graf polohy míčku

  Směrem vzhůru bude míček rovnoměrně zpomalovat až do nejvyššího bodu, jeho rychlost bude mířit svisle vzhůru a lineárně klesat, v nejvyšším bodě bude nulová. Zrychlení bude konstantní a bude mířit svisle dolů. Směrem dolů bude míček rovnoměrně zrychlovat. V nejvyšším bodě se směr rychlosti otočí a rychlost začne z nuly lineárně narůstat. Směr ani velikost zrychlení se nezmění, bude stále konstantní a bude mířit svisle dolů.

  Grafem závislosti polohy na čase bude část paraboly otočená směrem dolů. Začínat bude ve 4 m.

  Jde o vrh svislý vzhůru, který můžeme matematicky popsat takto:

  \[h = h_0 + v_0t - \frac{1}{2}|a_0|t^2,\]

  kde h₀ je výška, ze které míček vyhazujeme, tedy 4 m; v₀ je velikost počáteční rychlosti, kterou míček vyhazujeme, tedy 8 ms^-1; |a₀| je velikost zrychlení, se kterým se míček pohybuje, tedy 10 ms^-2; t je čas, který se mění od 0 s do 2,0 s.

  Do vztahu budeme postupně dosazovat hodnoty času po 0,2 s a dopočítáme příslušnou výšku míčku nad zemí.

  t (s) h (m) 0 4,0 0,2 5,4 0,4 6,4 0,6 7,0 0,8 7,2 1.0 7,0 1,2 6,4 1,4 5,4 1,6 4,0 1,8 2,2 2,0 0

• Nápověda g) Rychlosti a práce

  Rozmyslete si, jakým směrem míří rychlost těsně před a těsně po odrazu a jaká znaménka bude mít. V grafu odečtěte příslušné hodnoty.

  K zodpovězení druhé otázky vám pomůže porovnání velikosti obou rychlostí.

• Řešení nápovědy g) Rychlosti

  Po 1. odrazu míří rychlost svisle vzhůru a má kladné znaménko. Před 2. odrazem míří rychlost svisle dolů a má tedy záporné znaménko.

  v_po-1 = 10 m·s^-1

  v_před-2 = - 10 m·s^-1

  Jelikož mají rychlosti stejnou velikost, byla práce vykonána vzduchem zanedbatelná.

• Nápověda h) Průměrná síla

  Během kontaktu s podložkou se mění hybnost míčku v důsledku působení sil. Časový účinek síly vyjadřuje veličina impuls síly. Napište si, jak spolu impuls síly a změna hybnosti souvisí. Dejte pozor, ať správně zapíšete změnu hybnosti. Uvědomte si, že nejprve klesá, pak narůstá a mění se její směr.

• Řešení nápovědy h) Průměrná síla

  Impuls síly je roven změně hybnosti. Velikost výsledné síly působící na míček se v průběhu kontaktu s podložkou mění. My budeme uvažovat průměrnou velikost síly. Pak platí:

  \[F \Delta t = \Delta p = m\Delta v \rightarrow F = \frac{m\Delta v}{\Delta t}\] \[\Delta v = v_{po-1} - v_{před-1}\]

  v_po-1 = 10 m·s^-1

  v_před-1 = - 12 m·s^-1

  \[F = \frac{0{,}01 \ \text{kg}\cdot [10 \ \text{m}\cdot \ \text{s}^{-1} - (- 12 \ \text{m}\cdot \ \text{s}^{-1})]}{10{\cdot} 10^{-3} \ \text{s}} = 22 \ \text{N}\]

• Odpovědi

  a)	Míček měl poprvé od začátku pohybu rychlost 0 m·s-1 v čase t0 = 0,8 s.
  b)	Zrychlení míčku od prvního hodu do prvního odrazu bylo a0 = -10 m·s-2.
  c)	Plocha symbolizuje dráhu, kterou míček urazil
  d)	Velikost plochy, která symbolizuje dráhu, je S = 3,2 m.
  e)	Míček se dostal do maximální výšky hmax = 7,2 m. Míček jsme hodili z výšky h0 = 4,0 m.
  g)	Rychlost míčku po prvním odrazu byla vpo-1 = 10 m·s-1, rychlost před druhým odrazem byla vpřed-2 = -10 m·s-1.
  f)	Průměrná síla působící na míček během prvního dopadu měla velikost F = 22 N.