Bedna na nakloněné rovině

Úloha číslo: 97

Bednu je možné posouvat rovnoměrným pohybem nahoru po nakloněné rovině silou o velikosti F1, dolů po nakloněné rovině silou o velikosti F2. Určete koeficient smykového tření f mezi bednou a nakloněnou rovinou, platí-li F1 = 6F2 a obě síly jsou rovnoběžné s nakloněnou rovinou, která svírá s vodorovnou rovinou úhel α = 15°.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m hmotnost bedny
    α = 15° sklon roviny
    F2 velikost síly potřebné pro rovnoměrný pohyb bedny dolů po nakloněné rovině.
    F1 = 6F2 velikost síly potřebné pro rovnoměrný pohyb bedny nahoru po nakloněné rovině.
    f = ? koeficient tření mezi bloky a rovinou
  • Nápověda 1 – síly působící na bednu, pohybové rovnice

    Nakreslete si obrázek a vyznačte do něho všechny síly působící na bednu:

    1) Bednu posouváme silou F1 směrem nahoru.

    2) Bednu posouváme silou F2 směrem dolů.

    Napište pohybovou rovnici pro každý z těchto případů.

  • Nápověda 2 – třecí síla, výpočet koeficientu tření

    Uvědomte si, na čem závisí třecí síla a jak se dá vyjádřit. Vztah pro třecí sílu pak dosaďte do pohybových rovnic (1) a (3). Získáte 2 rovnice se dvěma neznámými. Spočtěte z nich koeficient tření.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku vyznačíme všechny síly působící na bednu v obou případech a napíšeme pro ni pohybové rovnice.

    Síly působící na bednu:

    Na bednu v obou případech působí tyto síly:

    \(\vec{F}_{G}\)…síla tíhová

    \(\vec{F}_1(\vec{F}_2)\)…síla, kterou tlačíme bednu

    \(\vec{N}\)…síla, kterou tlačí podložka

    \(\vec{F}_{t}\)…síla třecí

    Orientace sil je patrná z obrázků.

    Pohyb nahoru:

    Síly působící na bednu při pohybu nahoru

    Pohyb dolů:

    Síly působící na bednu při pohybu dolu

    Pohybové rovnice:

    Pohybová rovnice pro pohyb bedny do kopce:

    \[\vec{F}_G+\vec{N}+\vec{F}_1+\vec{F}_t\,=\,m\vec{a}_1\,=\,0\,.\]

    Pohybová rovnice pro pohyb bedny z kopce:

    \[\vec{F}_G+\vec{N}+\vec{F}_2+\vec{F}_t\,=\,m\vec{a}_2\,=\,0\,.\]

    Oba pohyby jsou rovnoměrné přímočaré, zrychlení bedny je v obou případech nulové.

    Pohybové rovnice přepíšeme skalárně:

    Soustavu souřadnic volíme tak, že osu x orientujeme ve směru pohybu bedny. Osa y je kolmá na osu x.

    Sílu \(F_G\) rozložíme na 2 složky do směru těchto os:

    \[F_{{G}_x}\,=\,F_G\sin\alpha,\] \[F_{{G}_y}\,=\,F_G\cos\alpha.\]

    Pohyb bedny nahoru:

    \[x:\qquad -F_G\sin\alpha+F_1-F_t\,=\,0,\tag{1}\] \[y:\qquad N-F_G\cos\alpha\,=\,0.\tag{2}\]
    Síly působící na bednu při pohybu nahoru(se souřadnicemi)

    Pohyb bedny dolů:

    \[x:\qquad F_G\sin\alpha+F_2-F_t\,=\,0,\tag{3}\] \[y:\qquad N-F_G\cos\alpha\,=\,0.\tag{4}\]
    Síly působící na bednu při pohybu dolu (se souřadnicemi)

    Třecí síla:

    Třecí síla působící na bednu je úměrná tlakové síle, kterou bedna působí na nakloněnou rovinu. Ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká jako síla, kterou tlačí nakloněná rovina na bednu. Zapíšeme to rovnicí:

    \[F_t\,=\,fN\,.\]

    Sílu N vyjádříme z rovnice (2):

    \[N\,=\,F_G\cos\alpha\,. \]

    Pro třecí sílu platí:

    \[F_t\,=\,fF_G\cos\alpha\,.\]

    Výpočet koeficientu tření:

    Dosadíme do pohybových rovnic (1) a (3) vztah pro třecí sílu. Sílu F1 vyjádříme jako 6F2.

    \[-F_G\sin\alpha+6F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0,\tag{5}\] \[F_G\sin\alpha+F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0.\tag{6}\]

    Rovnici (6) vynásobíme šesti a odečteme od ní rovnici (5):

    \[-F_G\sin\alpha+6F_2-F_Gf\cos\alpha\,=\,0,\] \[6F_G\sin\alpha+6F_2-6F_Gf\cos\alpha\,=\,0,\]
    \[7F_G\sin\alpha-5F_Gf\cos\alpha\,=\,0,\] \[7F_G\sin\alpha\,=\,5F_Gf\cos\alpha\hspace{20px}|:(5F_G\cos\alpha),\] \[f\,=\,\frac{7}{5}\mathrm{tg}\alpha.\tag{7}\]

    Dosadíme do vztahu (7) číselně:

    \[f\,=\,\frac{7}{5}\,\mathrm{tg}15^{\circ}\,\dot=\,\frac{7}{5}\,\cdot0{,}258\,\dot=\,0{,}36.\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Koeficient smykového tření mezi bednou a nakloněnou rovinou je \[f\,=\,\frac{7}{5}\mathrm{tg}\alpha\,\dot=\,0{,}36.\]

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze