Kostky spoutané vlákny

Úloha číslo: 141

Trojice kostek o hmotnostech m1, m2 a m3 je vzájemně spoutána vlákny, jak ukazuje obrázek. Součinitel smykového tření je mezi všemi styčnými plochami stejný a má hodnotu f. Určete zrychlení kostek a tahovou sílu napínající obě vlákna. Hmotnost obou kladek ani vlákna neuvažujte.

Obrázek k zadání úlohy
  • Zápis

    m1 hmotnost první kostky
    m2 hmotnost druhé kostky
    m3 hmotnost třetí kostky
    f součinitel smykového tření mezi libovolnými dvěma plochami
    a = ? velikost zrychlení kostek
    T1 = ? velikost tahové síly napínající vlákno mezi kostkami m2 a m3
    T2 = ? velikost tahové síly napínající vlákno mezi kostkami m3 a m1
  • Nápověda 1– síly působící na jednotlivé kostky, pohybové rovnice

    Uvědomte si, jaké síly působí na jednotlivé kostky a napište pro každou z nich pohybovou rovnici.

    Doporučení: Pro přehlednost si nakreslete pro každou kostku zvlášť obrázek, do kterého budete zakreslovat síly, které na ni působí.

  • Nápověda 2 – pohybové rovnice skalárně, vztahy mezi tahy vláken, třecími a tlakovými silami

    Zvolte vhodně souřadný systém a přepište pohybové rovnice skalárně. Uvědomte si, jaké vztahy budou mezi některými tahy vláken, třecími a tlakovými silami – použijte 3. Newtonův zákon.

  • Nápověda 3 – třecí síly

    Uvědomte si, na čem závisí velikost třecí síly a jak se dá vyjádřit. Vyjádřete velikosti třecích síl \(F_{t_2}\) a \(F_{t_3}\).

  • Nápověda 4 – výpočet zrychlení a tahových sil vláken

    Využijte rovnice (1), (2) a (6). Po dosazení za třecí síly dostanete tři rovnice o třech neznámých. Spočtěte z nich velikost zrychlení a tahové síly vláken T1 a T2.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Do obrázku nejprve nakreslíme síly působící na jednotlivé kostky a napíšeme pro ně pohybové rovnice.

    Síly působící na jednotlivé kostky:

    Síly působící na první a druhou kostku

    Kostka m1:

    \(\vec{F}_{G_1}\)…síla tíhová,

    \(\vec{T}_{1}\)…tahová síla, kterou na kostku působí vlákno.

    Kostka m2:

    \(\vec{F}_{G_2}\)…síla tíhová,

    \(\vec{N}_{2}\)…tlaková síla, kterou na kostku m2 tlačí kostka m3,

    \(\vec{T}_{2}\)…tahová síla, kterou na kostku působí vlákno,

    \(\vec{F}_{t_2}\)…síla třecí mezi kostkami.

    Síly působící na třetí kostku

    Kostka m3:

    \(\vec{F}_{G_3}\)…síla tíhová,

    \(\vec{T}_{2}\prime\)…tahová síla, kterou na kostku působí vlákno,

    \(\vec{T}_{1}\prime\)…tahová síla, kterou na kostku působí vlákno,

    \(\vec{F}_{t_3}\)…síla třecí mezi kostkou a podložkou,

    \(\vec{F}_{t_2}\prime\)…síla třecí mezi kostkami,

    \(\vec{N}_{2}\prime\)…tlaková síla, kterou na kostku m3 tlačí kostka m2,

    \(\vec{N}_{3}\)…tlaková síla, kterou na kostku tlačí podložka.

    Pohybové rovnice pro jednotlivé kostky:

    Všechny 3 kostky jsou propojeny provázky, pohybují se se stejným zrychlením.

    \[m_1:\qquad \vec{F}_{G_1} + \vec{T}_1=m_1\vec{a},\] \[m_2:\qquad \vec{F}_{G_2}+\vec{N}_2+\vec{F}_{t_2}+ \vec{T}_2=m_2\vec{a},\] \[m_3:\qquad \vec{F}_{G_3}+\vec{T}_1\prime +\vec{T}_2\prime+\vec{N}_3+\vec{N}_2\prime+\vec{F}_{t_3}+\vec{F}_{t_2}\prime=m_3\vec{a}.\]

    Abychom mohli pohybové rovnice přepsat skalárně, zvolíme si souřadný systém os x, y tak, že osu x zvolíme ve směru pohybu kostek. Osa y je kolmá na osu x.

    Síly působící na první a druhou kostku (se souřadnicemi)
    Síly působící na třetí kostku (se souřadnicemi)

    Pohybové rovnice přepíšeme skalárně:

    Kostka m1:

    \[x:\qquad F_{G_1} - T_1\,=\,m_1a.\tag{1}\]

    Kostka m2:

    \[x:\qquad T_2-F_{t_2}\,=\,m_2a,\tag{2}\] \[y:\qquad N_2-F_{G_2}\,=\,0.\tag{3}\]

    Kostka m3:

    \[x:\qquad T_1\prime-T_2\prime-F_{t_3}-F_{t_2}\prime\,=\,m_3a,\tag{4}\] \[y:\qquad N_3-N_2\prime-F_{G_3}\,=\,0.\tag{5}\]

    Ve směru osy y se kostky nepohybují, proto je zrychlení rovno nule.

    Tahové síly vláken:

    Jelikož hmotnost kladek zanedbáváme, nemají tedy žádný moment setrvačnosti a neovlivňují tahové síly vláken. Kostka m3 působí prostřednictvím vlákna na kostku m2 a kostka m2 zase naopak na kostku m3. Obdobně je tomu s kostkou m1 a m3. Podle 3. Newtonova zákona platí pro velikosti sil:

    \[|\vec{T}_1| \,=\, |\vec{T}_1\prime|,\] \[|\vec{T}_2| \,=\, |\vec{T}_2\prime|.\]

    Třecí síly:

    Kostka m3 působí třecí silou na kostku m2 a naopak kostka m2 působí opačným směrem třecí silou na kostku m3. Podle 3. Newtonova zákona platí:

    \[|\vec{F}_{t_2}| \,=\, |\vec{F}_{t_2}\prime|.\]

    Tlakové síly:

    Kostka m3 působí tlakovou silou na kostku m2 a naopak kostka m2 působí opačným směrem tlakovou silou na kostku m3. Podle 3. Newtonova zákona platí:

    \[|\vec{N}_2| \,=\, |\vec{N}_2\prime|.\]

    Přepíšeme rovnice (4) a (5):

    \[x:\qquad T_1-T_2-F_{t_3}-F_{t_2}\,=\,m_3a,\tag{6}\] \[y:\qquad N_3-N_2-F_{G_3}\,=\,0.\tag{7}\]

    Vyjádření třecích sil:

    Třecí síla \(F_{t_2}\) je úměrná síle, kterou tlačí kostka m2 na kostku m3, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou tlačí kostka m3 na kostku m2.

    Třecí sílu \(F_{t_2}\) můžeme tedy vyjádřit jako:

    \[F_{t_2} \,=\, N_2f.\]

    Dosadíme za \(N_2\) ze vztahu (3):

    \[F_{t_2} \,=\, F_{G_2}f\,=\,m_2gf.\tag{8}\]

    Třecí síla \(F_{t_3}\) je úměrná síle, kterou tlačí kostka m3 na stůl, ta je podle 3. Newtonova zákona stejně velká, jako síla, kterou tlačí stůl na kostku m3.

    Třecí sílu \(F_{t_3}\) můžeme tedy vyjádřit jako:

    \[F_{t_3} \,=\, N_3f.\]

    Dosadíme za \(N_3\) ze vztahu (7):

    \[F_{t_3} \,=\, (N_2+F_{G_3)}f\,=\,(F_{G_2}+F_{G_3})f,\] \[F_{t_3} \,=\, (m_2+m_3)gf.\tag{9}\]

    Přepíšeme rovnice (1), (2) a (6), do rovnice (2) dosadíme třecí sílu \(F_{t_2}\) a do rovnice (6) dosadíme třecí síly \(F_{t_2}\) a \(F_{t_3}\):

    \[m_1g - T_1\,=\,m_1a,\tag{10}\] \[T_2-m_2gf\,=\,m_2a,\tag{11}\] \[T_1-T_2-(m_2+m_3)gf-m_2gf\,=\,m_3a.\tag{12}\]

    Výpočet zrychlení:

    Sečteme rovnice (10) – (12).

    \[m_1g-m_2gf-m_3gf-2m_2gf\,=\,\left(m_3+m_2+m_1\right)a,\] \[m_1g-m_3gf-3m_2gf\,=\,\left(m_3+m_2+m_1\right)a,\]

    \[a\,=\,\frac{g\left(m_1-m_3f-3m_2f\right)}{m_3+m_2+m_1}.\tag{13}\]

    Výpočet tahové síly vlákna T1:

    Vyjádříme sílu T1 ze vztahu (10):

    \[T_1\,=\,m_1g-m_1a\,=\,m_1g-m_1\frac{m_1g-m_3gf-3m_2gf}{m_3+m_2+m_1}.\]

    Převedeme na společného jmenovatele:

    \[T_1\,=\,\frac{m_1^2g+m_1m_2g+m_1m_3g-m_1^2g+m_1m_3gf+3m_1m_2gf} {m_3+m_2+m_1},\] \[T_1\,=\,\frac{m_1m_3gf+3m_1m_2gf+m_1m_2g+m_1m_3g} {m_3+m_2+m_1},\] \[T_1\,=\,\frac{m_1g\left[m_3(f+1)+ m_2(3f+1)\right]} {m_3+m_2+m_1}.\tag{14}\]

    Výpočet tahové síly vlákna T2:

    Vyjádříme sílu T2 ze vztahu (11):

    \[T_2\,=\,m_2a\,+\,m_2gf\,=\,m_2\frac{m_1g-m_3gf-3m_2gf} {m_3+m_2+m_1}\,+\,m_2gf.\]

    Převedeme na společného jmenovatele:

    \[T_2\,=\,\frac{m_1m_2g-m_2m_3gf-3m_2^2gf+m_1m_2gf+m_2^2gf+m_2m_3gf} {m_3+m_2+m_1},\] \[T_2\,=\,\frac{m_1m_2g-2m_2^2gf+m_1m_2gf} {m_3+m_2+m_1},\] \[T_2\,=\,\frac{m_2g\left[m_1(1+f)-2m_2f\right]} {m_3+m_2+m_1}.\tag{15}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Velikost zrychlení kostek je \[a\,=\,\frac{g\left(m_1-m_3f-3m_2f\right)}{m_3+m_2+m_1}.\]

    Velikost tahové síly napínající vlákno mezi kostkami m2 a m3 je

    \[T_1\,=\,\frac{m_1g\left[m_3\left(f+1\right)+ m_2\left(3f+1\right)\right]}{m_3+m_2+m_1}\,.\]

    Velikost tahové síly napínající vlákno mezi kostkami m3 a m1 je

    \[T_2\,=\,\frac{m_2g\left[m_1\left(1+f\right)-2m_2f\right]}{m_3+m_2+m_1}\,.\]
Úroveň náročnosti: Obtížnější středoškolská či velmi jednoduchá vysokoškolská úloha
Úloha na odvozování (dedukci)
Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková, D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze