Kulička v medu

Úloha číslo: 16

Ocelovou kuličku o hmotnosti m položíme do sklenice s medem. Odporová síla Fodp, působící na kuličku, je přímo úměrná její rychlosti.

1) Určete, jak velkou maximální rychlost vmax může kulička dosáhnout.

2) Určete průběh velikosti rychlosti v(t) kuličky.

Obrázek k zadání úlohy

Poznámka: Místo velikost rychlosti píšeme dále jen rychlost.

  • Zápis

    m hmotnost kuličky
    V objem kuličky
    ρm hustota medu
    \(\vec{F}_{odp}\) odporová síla působící na kuličku
    k konstanta přímé úměrnosti
    g = 9,81 m·s−2 tíhové zrychlení
    vmax = ? maximální rychlost, jakou může kulička dosáhnout
    v(t) = ? časový průběh velikosti rychlosti kuličky
  • Nápověda 1 – síly působící na kuličku, pohybová rovnice

    Rozmyslete si nejprve, které síly na kuličku působí, a zda se bude jejich velikost během pohybu měnit. Nakreslete si obrázek.

    Jak se bude měnit výslednice těchto sil?

    Jak se bude měnit zrychlení a rychlost kuličky?

  • Nápověda 2 – maximální rychlost

    Jaká je výslednice sil v okamžiku, kdy kulička dosáhne maximální rychlosti? Zapište to rovnicí.

  • Nápověda 3 – pohybová rovnice, průběh v(t)

    Podívejte se na obrázek se silami působícími na kuličku a napište pro ni pohybovou rovnici.

  • CELKOVÉ ŘEŠENÍ

    Nejprve si rozmyslíme, jaké síly působí na kuličku a zda se během pohybu mění jejich velikost a zjistíme maximální rychlost kuličky.

    Síly působící na kuličku jsou 3:

    \(\vec{F}_{odp}\)…síla odporová \(\vec{F}_{G}\)…síla tíhová \(\vec{F}_{vz}\)…síla vztlaková

    Vztahy pro velikosti předchozích sil:

    Fodp = kv…narůstá spolu s rychlostí

    FG = mg…zůstává konstantní

    Fvz = mg…zůstává konstantní

    k…konstanta přímé úměrnosti

    g…tíhové zrychlení o velikosti 9,81 m·s−2

    V…objem kuličky

    ρm…hustota medu

    Jak se mění velikost výsledné síly, zrychlení a rychlost během pohybu kuličky:

    1. Na počátku pohybu je rychlost kuličky a tedy i odporová síla nulová. Vzhledem k tomu, že hustota oceli je větší než hustota medu, směřuje výsledná síla dolů, stejně tak zrychlení, a rychlost kuličky narůstá.

    Síly působící na kuličku na počátku pohybu

    2. S tím, jak narůstá rychlost kuličky, zvětšuje se i odporová síla, velikost výsledné síly směřující dolů se zmenšuje, stejně jako velikost zrychlení. Rychlost kuličky stále narůstá, ale čím dál tím pomaleji.

    Síly působící na kuličku - zvětšování odporové síly
    Síly působící na kuličku - zvětšování odporové síly

    3. V jistém okamžiku odporová síla dosáhne takové velikosti, že se síly vyrovnají, zrychlení je nulové a kulička se dál pohybuje konstantní rychlostí.

    Síly působící na kuličku při konstantní rychlosti

    V okamžiku, kdy kulička dosáhne maximální rychlosti, je výsledná síla, která na ni působí, nulová.

    Pro síly působící na kuličku platí:

    \[\vec{F}_G+\vec{F}_{odp}+\vec{F}_{vz}\,=\,0\tag{1}\]

    Rovnici (1) přepíšeme skalárně:

    \[F_G-F_{odp}-F_{vz}\,=\,0\,.\tag{2}\]

    V rovnici (2) rozepíšeme síly:

    \[mg\,-\,kv_{max}\,-\,V\rho_mg\,=\,0\,.\tag{3}\]

    Maximální rychlost:

    Z rovnice (3) si vyjádříme vmax:

    \[v_{max}\,=\,\frac{mg-V\rho_mg}{k}\,.\]

    Za objem V můžeme ještě dosadit \[V\,=\,\frac{m}{\rho_k}\]

    ρk…hustota kuličky

    \[v_{max}\,=\,\frac{mg\,-\,m\frac{\rho_m}{\rho_k}g}{k}\,.\tag{4}\]

    Nyní zjistíme časový průběh velikosti rychlosti kuličky. Vyjdeme z její pohybové rovnice.

    Pohybová rovnice pro kuličku:

    \[\vec{F}_G+\vec{F}_{odp}+\vec{F}_{vz}\,=\, m\vec{a}\tag{5}\]

    Souřadný systém zvolíme tak, že osu y zorientujeme dolů ve směru pohybu kuličky a rovnici (5) přepíšeme skalárně:

    \[F_G-F_{odp}-F_{vz}\,=\,ma\tag{6}\]

    V rovnici (6) rozepíšeme síly:

    \[mg-kv-V\rho_mg\,=\,ma\tag{7}\]

    Ve vztahu (7) přepíšeme zrychlení a jako změnu rychlosti za čas.

    Průběh v(t):

    \[mg-kv-V\rho_mg\,=\,m\frac{dv}{dt}\tag{8}\]

    Objem kuličky můžeme vyjádřit:

    \[V\,=\,\frac{m}{\rho_k}\,.\tag{9}\]

    m…hmotnost kuličky

    ρk…hustota kuličky

    Vztah (9) dosadíme do rovnice (8):

    \[mg-kv-\frac{m}{\rho_k}\rho_mg\,=\,m\frac{dv}{dt}\tag{10}\]

    Označme si pro zjednodušení zápisu:

    \[\frac{m}{\rho_k}\rho_m\,=\,m^\prime\tag{11}\]

    Vztah (11) dosadíme do vztahu (10):

    \[mg-kv-m^\prime g\,=\,m\frac{dv}{dt}\tag{12}\]

    Získali jsme diferenciální rovnici 1. řádu s konstantními koeficienty. Vyřešíme ji separací proměnných:

    Rovnici nejprve vydělíme m a upravíme:

    \[\frac{m-m^\prime}{m}g-\frac{kv}{m}\,=\,\frac{dv}{dt}\] \[-\frac{k}{m}\left(v-\frac{m-m^\prime}{k}g\right)\,=\,\frac{dv}{dt}\]

    Nyní separujeme proměnné v a t a rovnici zintegrujeme:

    \[-\frac{k}{m}dt\,=\,\frac{dv}{v-\frac{m-m^\prime}{k}g} \hspace{20px}/\int\,.\] \[-\frac{k}{m}t + C\,=\,ln|v-\frac{m-m^\prime}{k}g|\]

    Rovnici odlogaritmujeme:

    \[e^{\left(-\frac{k}{m}t+C\right)} \,=\,|v-\frac{m-m^\prime}{k}g|\,.\] \[e^{-\frac{k}{m}t}\cdot e^{C} \,=\,|v-\frac{m-m^\prime}{k}g|\]

    Konstantu eC označíme jako K:

    \[e^{-\frac{k}{m}t}\cdot K\,=\,|v-\frac{m-m^\prime}{k}g|\,.\tag{13}\]

    Výraz \[\frac{m-m^\prime}{k}g,\] je roven vztahu (4), který jsme spočítali pro maximální rychlost \[v_{max}\,=\,\frac{mg-m\frac{\rho_m}{\rho_k}g}{k}.\]

    Pro rychlost v platí, že v ≤ vmax, proto:

    \[|v-\frac{m-m^\prime}{k}g|\,=\,-v+\frac{m-m^\prime}{k}g\,.\]

    Hodnotu konstanty K zjistíme z počátečních podmínek. Pro t = 0 s je v = 0 m·s−1, platí tedy:

    \[e^0\cdot K\,=\,-0+\frac{m-m^\prime}{k}g\,.\] \[K\,=\,\frac{m-m^\prime}{k}g\]

    Dosadíme do vztahu (13):

    \[\frac{m-m^\prime}{k}ge^{-\frac{k}{m}t}\,=\,-v+\frac{m-m^\prime}{k}g\,.\] \[v(t)\,=\,\frac{m-m^\prime}{k}g\left(1-e^{-\frac{k}{m}t}\right).\tag{14}\]
  • CELKOVÁ ODPOVĚĎ

    Kulička může dosáhnout maximální rychlosti \[v_{max}\,=\,\frac{mg\,-\,m\frac{\rho_m}{\rho_k}g}{k}.\]

    Průběh velikosti rychlosti kuličky v závislosti na čase je dán vztahem \[v(t)\,=\,\frac{m-m\prime}{k}g(1-e^{-\frac{k}{m}t})\,.\]

Úroveň náročnosti: Vysokoškolská úloha
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994 - upraveno
Zpracováno v bakalářské práci Karolíny Slavíkové (2008).
Zaslat komentář k úloze