Havárie ropovodu

Úloha číslo: 943

Ropovod IKL (Ingolstadt, Kralupy, Litvínov), který dodává ropu pro Českou republiku, má přepravní kapacitu 1510 m3 ropy za hodinu. Poloměr trubek ropovodu je 35 cm. Havarijní technici vypočítávají, kolik ropy by vyteklo do okolí při jejím úniku. Počítají, že by ropa vytékala otvorem ven z trubek. Odstavení celé trasy ropovodu a uzavření všech ventilů trvá 15 minut. Uvažujeme, že rychlost ropy v trubce je stálá. Vypočítejte:

a) Jakou rychlostí ropa teče trubkou ropovodu?

b) Kolik tun ropy by otvorem uniklo do okolí během havárie? (Hustota ropy je asi 840 kg/m3.)

c) Kolik automobilových nádrží by šlo naplnit benzinem vyrobeným z ropy uniklé při havárii? (Počítejte s objemem nádrže osobního auta 55 l). Benzin se vyrábí se zhruba poloviční výtěžností – z 1 l ropy se vyrobí 0,5 l benzinu.

d) Kolik tun ropy se ropovodem přepraví za rok?

  • Zápis

    A = 1510 m3 přepravní kapacita ropovodu
    r = 35 cm = 0,35 cm poloměr trubek ropovodu
    t = 15 min = 900 s doba potřebná k odstavení ventilů
    ρ = 840 kg/m3 hustota ropy
    V1 = 55 l = 0,055 m3 objem jedné automobilové nádrže
  • Nápověda 1 - k části a)

    Jaké těleso tvoří ropa, která proteče trubkou za 15 minut? Napoví vám obrázek.

    Část ropovodu
  • Nápověda 2 - k části a)

    Jak určíme objem takového válce?

  • Nápověda 3 - k části a)

    Jak určíme vzdálenost, o kterou se ropa v trubce za 15 minut posune? Uvědomte si, že se ropa pohybuje rychlostí, která je stálá, nemění se. Jaký je to pohyb?

  • Nápověda 4 - k části a)

    Dosaďte ze vzorce (2) do (1) a rozmyslete si, které veličiny znáte a kterou chcete určit. Neznámou veličinu ze vzorce vyjádřete.

  • Nápověda 5 - k části a)

    Co ještě potřebujeme zjistit, abychom ze vzorce (4) mohli vypočítat rychlost ropy v trubce?

  • Nápověda 6 - k části a)

    Víme, že ropovodem proteče 1510 m3 ropy za hodinu. Jak určíme objem ropy, který proteče za 15 minut? Určete ho.

  • Nápověda 7 - k části a)

    Určete obsah průřezu trubky S.

  • Nápověda 8 - k části a)

    Nyní už znáte všechny potřebné veličiny ve vztahu (4). Dopočítejte tedy rychlost ropy v ropovodu (Nezapomeňte převést čas z minut na sekundy.).

  • Nápověda 1 - k části b)

    Uvědomte si, co - kterou veličinu vlastně chceme určit?

  • Nápověda 2 - k části b)

    Jak určíme hmotnost ropy, která vyteče otvorem v potrubí za 15 minut?

  • Nápověda 3 - k části b)

    Abychom mohli určit hmotnost m podle vztahu (6), potřebuje znát objem V ropy, která vyteče otvorem v potrubí za 15 minut. Jak tento objem zjistíme? Zjistěte objem V a pomocí něho číselnou hodnotu hmotnosti vyteklé ropy.

  • Nápověda 1 - k části c)

    Jaký je objem ropy, která by se použila k výrobě benzinu?

  • Nápověda 2 - k části c)

    Kolik by se z vyteklé ropy dalo vyrobit benzinu? Vypočtěte tento objem a převeďte výsledek na litry.

  • Nápověda 3 - k části c)

    Kolik automobilových nádrží by se tímto objemem benzinu mohlo naplnit?

  • Nápověda 1 - k části d)

    Postupujeme podobně jako v části b). V čem bude jediný rozdíl?

  • Nápověda 2 - k části d)

    Jak se změní objem V ropy, která se přepraví za rok a tudíž i hmotnost ropy, která se přepraví?

  • Nápověda 3 - k části d)

    Kolikrát je rok převedený na minuty delší než 15 minut? (Uvažujeme, že rok má 365 dní.)

  • Nápověda 4 - k části d)

    S využitím vztahu (6) v části b) dopočítejte hmotnost ropy přepravené za rok.

  • Celkové řešení

    Řešení části a):

    Ropa, která proteče trubkou za 15 minut, tvoří válec. Tento válec má obsah podstavy rovný průřezu trubky S. Výška válce je rovna dráze s, kterou ropa (vybraný atom nebo část ropy) urazí za za daný čas, tedy 15 minut.

    Část ropovodu

    Objem takového válce určíme podle vzorce:

    \[V\,=\,S{\cdot}s\,,\tag{1}\]

    kde S je průřez trubky ropovodu (resp. jeho obsah) a s je vzdálenost, o kterou se ropa posune za 15 minut.

    Tuto vzdálenost umíme určit, když uvážíme, že ropa se pohybuje rovnoměrným pohybem (rychlost se nemění, je stálá). Pro dráhu rovnoměrného pohybu platí:

    \[s\,=\,v{\cdot}t\,,\tag{2}\]

    kde v je rychlost tohoto pohybu a t doba pohybu (v našem případě 15 min).

    Dosazením (2) do (1) získáme:

    \[V\,=\,S {\cdot} v{\cdot} t\,,\tag{3}\]

    kde S je průřez trubky ropovodu (resp. jeho obsah), v je rychlost, kterou ropa teče, a t doba pohybu ropy (v našem případě 15 min).

    Vyjádříme neznámou rychlost v:

    \[v\,=\,\frac {V}{S{\cdot} t}\,,\tag{4}\]

    kde V je objem ropy, která proteče ropovodem za 15 minut, S je průřez trubky ropovodu (resp. jeho obsah) a t doba pohybu ropy (v našem případě 15 min).

    Potřebujeme ještě zjistit obsah průřezu trubky S a objem V – jaký objem ropy proteče ropovodem za 15 minut.

    Objem V určíme trojčlenkou:

    za 60 minut……………1510 m3 ropy

    za 15 minut……………V m3 ropy

    ------------------------------------------------------

    \(\frac{V}{1510}\,=\,\frac{15}{60}\,,\)

    tedy \(V\,=\,\frac{1510{\cdot}15}{60}\,\,\mathrm{m}^3\,=\,377{,}5\,\mathrm{m}^3\,.\)

    Za 15 minut proteče ropovodem 377,5 m3 ropy.

    Známe poloměr trubky r, takže můžeme vypočítat obsah průřezu jako obsah kruhu s poloměrem r:

    \[S\,=\,{\pi}r^2\,.\tag{5}\]

    Číselně:

    \[S\,=\,{\pi}{\cdot}(0{,}35)^2\,\mathrm{m}^2\,\dot=\,0{,}38\,\mathrm{m}^2\,.\]

    Rychlost ropy spočítáme dosazením do vzorce (4). Číselně:

    \[v\,=\,\frac{V}{S{\cdot}t}\,=\,\frac{377{,}5}{0{,}38{\cdot}15{\cdot}60} \,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,\dot=\,1{,}1\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

     

    Řešení části b):

    Nyní chceme určit hmotnost ropy, která za 15 minut vyteče otvorem.

    Tuto hmotnost určíme jako:

    \[m\,=\,{\rho}{\cdot}V\,,\tag{6}\]

    kde ρ je hustota ropy (z tabulek ρ = 840 kg/m3) a V je objem ropy, která vyteče otvorem v potrubí za 15 minut.

    Tento objem jsme již zjistili v  předchozí části a). Stačí dosadit číselné hodnoty do (6) a dostáváme:

    \[m\,=\,840{\cdot}377{,}5\,\mathrm{kg}\,=\,317\,100\,\mathrm{kg}\,\dot=\,317\,\mathrm{t}\,.\]

     

    Řešení části c):

    Nejprve potřebujeme určit objem ropy použité k výrobě benzinu. Je to objem ropy vyteklé při havárii, tedy 377,5 m3 ropy (viz část a).

    Víme, že z vyteklé ropy by se dalo vyrobit poloviční množství benzinu. Tento objem označíme VB a platí:

    \[V_B\,=\,\frac{V}{2}\,=\,188{,}75\,\mathrm{m}^3\,=\,188\,750\,\mathrm{dm}^3\,=\,188\,750\,\mathrm{l}\,.\]

    Počet automobilových nádrží, které by šlo vyrobeným benzinem naplnit, označíme n. Platí:

    \[n\,=\,\frac{V_B}{V_1}\,,\tag{7}\]

    kde VB je celkový objem benzinu a V1 je objem jedné automobilové nádrže. Číselně:

    \[n\,=\,\frac{188 750}{55}\,\dot=\,3431 \,.\]

    (Pozor, uvažujeme celé číslo, protože nás zajímají celé naplněné nádrže, nezaokrouhlujeme nahoru, ale dolů.)

     

    Řešení části d):

    Postupujeme podobně jako v části b). Jediný rozdíl je v časovém úseku, pro který počítáme. Nyní nás zajímá, kolik ropy proteče za rok.

    Objem (i hmotnost) přepravené ropy budou tolikrát větší, kolikrát je rok převedený na minuty delší než 15 minut.

    Jedna hodina je čtyřikrát delší než 15 minut. Den má 24 hodin a rok má 365 dní. Jestliže označíme, že rok převedený na minuty je x-krát delší než 15 minut, máme:

    \[x\,=\,4{\cdot}24{\cdot}365\,=\,35040\,.\tag{8}\]

    S využitím vztahu (6) v části b) a po dosazení:

    \[m\,=\,({840{\cdot}377{,}5{\cdot}35040})\,\mathrm{kg}\,=\,11\,111\,184\,000\,\mathrm{kg}\,,\] \[m\,=\,11\,111\,184\,\mathrm{t}\,.\]
  • Odpověď

    a) Ropa teče ropovodem rychlostí přibližně 1,1 m/s.

    b) Během havárie by otvorem uniklo asi 317 tun ropy.

    c) Ropa uniklá při havárii by stačila k naplnění 3431 automobilových nádrží.

    d) Za jeden rok se ropovodem přepraví 11 111 184 tun ropy.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro žáky základní školy
Úloha rutinní
Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
×Původní zdroj: sbírka Petra Nekoly, ZŠ Plzeň
Zaslat komentář k úloze