Zahřátí ocelové tyče

Úloha číslo: 2094

Ocelová tyč je pevně upnutá na obou koncích a při teplotě 10 °C je v nenapjatém stavu. Jaké je v tyči napětí, stoupne-li její teplota na 100°C?

Tyč před zahřátím
  • Zápis

    t1 = 10 °C původní teplota v nenapjatém stavu
    t2 = 100 °C teplota po změně

    Z tabulek:

    E = 210·103 MPa Youngův modul pružnosti oceli v tahu
    α = 1,2·10-5 K−1 koeficient teplotní délkové roztažnosti oceli
    σ = ? Pa napětí v tyči po změně teploty
  • Rozbor

    Při změně teploty dochází ke změně délky tyče. Tyč je ale pevně upnutá a nemůže se prodloužit. V tyči bude proto vznikat napětí. Když budeme znát závislost změny délky tyče na změně teploty, tak si můžeme vyjádřit její relativní prodloužení. Pak již stačí napsat vztah mezi napětím a relativním prodloužením tyče.

  • Nápověda

    Připomeňte si, jak závisí prodloužení tyče na změně teploty a vyjádřete si relativní prodloužení tyče při dané změně teploty. Dále využijte vztah vyjadřující závislost napětí na relativním prodloužení tyče.

  • Řešení

    Prodloužení tyče závisí na změně teploty následujícím vztahem:

    \[\Delta l\,=\, l_1 \alpha \left({t_2-t_1}\right),\]

    kde l1 je počáteční délka tyče při teplotě t1.

    Relativní prodloužení tyče je pak rovno:

    \[\varepsilon\,=\,\frac{\Delta l}{l_1}\,=\,\alpha \left({t_2-t_1}\right).\tag{1}\]

    Tyč po zahřátí

    Tyč je pevně upnutá, musí si tedy uchovat svoji délku. K tomu je zapotřebí tlakového napětí:

    \[\sigma\,=\,E\varepsilon.\tag{2}\]

    Stačí už jenom dosadit (1) do (2):

    \[\sigma\,=\,E\alpha \left({t_2-t_1}\right).\tag{3}\]

    Po číselném dosazení do (3) máme:

    \[\sigma\,=\,210{\cdot}10^{9}\cdot1{,}2{\cdot}10^{-5}\cdot\left({100-10}\right)\mathrm{Pa}\,=\,22{,}68{\cdot}10^{7} \mathrm{Pa}.\]
  • Odpoveď

    Po změně teploty je v tyči napětí:

    \[\sigma\,=\,22{,}68{\cdot}10^{7} \mathrm{Pa}.\]
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium
učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
×Původní zdroj: Mandíková,D., Rojko, M.: Soubor úloh z mechaniky pro studium učitelství. I. část. Interní materiál, MFF UK, Praha 1994
Zaslat komentář k úloze