Želva

Úloha číslo: 828

V akváriu plave ostrůvek a na něm odpočívá vodní želva. Jak se změní výška hladiny vody v akváriu, jestliže želva opustí ostrůvek, potopí se a na dně akvária bude opět odpočívat?

Želva
  • Nápověda 1

    Jaké síly působí na ostrůvek v obou případech? Nakreslete je do obrázku.

  • Nápověda 2

    Ostrůvek je v obou případech v rovnováze. Co z toho můžeme vyvodit z hlediska působících sil?

  • Nápověda 3

    Jak vypočítáme velikost tíhové síly působící na ostrůvek, vztlakové síly vody a tíhu želvy?

  • Nápověda 4

    Dosaďte do vztahů (1), (2) a vyjádřete, jaký objem vytlačí ostrůvek a želva v prvním a ve druhém případě.

  • Nápověda 5

    Porovnejte celkový vytlačený objem v prvním (7)  a ve druhém případě  (10).

  • Poznámka

    Experimentálně zjištěná hustota vodní želvy chované na gymnáziu Špitálská je 1100 kg·m-3. Její hustota se od hustoty vody příliš neliší, proto pokles hladiny nebude moc patrný.

    Pokud nemáte vodní želvu na ostrůvku, můžete je nahradit kamenem a miskou od Termixu. Místo akvária použijte misku s vodou.

  • Celkové řešení

    Nakreslíme síly působící na ostrůvek v obou případech.

    První případ

    První případ

    Druhý případ

    Druhý případ

    Na obrázcích vidíme, že v obou případech působí na ostrůvek tíhová síla (Fo) a vztlaková síla vody (Fvz). V prvním případě působí na ostrůvek ještě želva svou tíhou (Fz).

    Ostrůvek je v obou případech v rovnováze, proto je výsledná síla působící na ostrůvek nulová. Z toho důvodu budou platit následující vztahy.

    V prvním případě:

    \[F_{o}+F_{z}=F_{vz1}\,.\tag{1}\]

    Ve druhém případě:

    \[F_{o}=F_{vz2}\,.\tag{2}\]

     

    Vyjádření tíhové síly působící na ostrůvek, vztlakové síly vody a tíhy želvy:

    Pro tíhovou sílu působící na ostrůvek Fo platí vztah:

    \[F_{o}=m_{o}g\,,\tag{3}\]

    kde mo je hmotnost ostrůvku a g je tíhové zrychlení.

     

    Pro tíhu želvy Fz platí vztah:

    \[F_{z}=m_{z}g\,,\tag{4}\]

    kde mz je hmotnost želvy.

     

    Pro vztlakovou sílu Fvz platí vztah:

    \[ F_{vz} =V_{pct}\rho_{kap}g\,,\]

    kde Vpct je objem ponořené části tělesa a ρkap je hustota kapaliny.

     

    První případ

    Pro vztlakovou sílu v prvním případě Fvz1 bude \(V_{pct}=V_{1}\) a \(\rho_{kap}=\rho_{H_{2}O}\),  kde V1 je objem který vytlačil ostrůvek s želvou a ρ H2O je hustota vody. Platí tedy vztah:

    \[F_{vz_{1}}=V_{1}\rho_{H_{2}O}g\,.\tag{5}\]

     

    Druhý případ

    Pro vztlakovou sílu ve druhém případě Fvz2 bude \(V_{pct}=V_{2}\) a \(\rho_{kap}=\rho_{H_{2}O}\),  kde V2 je objem, který vytlačil ostrůvek. Platí tedy vztah:

    \[F_{vz_{2}}=V_{2}\rho_{H_{2}O}g\,.\tag{6}\]

     

    Objem vytlačený ostrůvkem a želvou:

    První případ

    Pro ostrůvek se želvou se dle (1) součet tíhové síly působící na ostrůvek a tíhy želvy rovná vztlakové síle.

    \[F_{o}+F_{z}=F_{vz1}\]

    Dle (3), (4) a (5) dostáváme:

    \[m_{o}g+m_{z}g=V_{1}\rho_{H_{2}O}g\,.\]

    g vykrátíme a obě strany rovnice upravíme tak, že je vydělíme ρH2O a tím získáme V1.

    \[V_{1}=\frac{m_{o}+m_{z}}{\rho_{H_{2}O}}\tag{7}\]

     

    Druhý případ

    Pro ostrůvek se dle (2) velikost tíhové síly působící na ostrůvek rovná vztlakové síle.

    \[F_{o}=F_{vz_{2}}\]

    Dle (3) a (6) dostáváme:

    \[m_{o}g=V_{2}\rho_{H_{2}O}g\,.\]

    g vykrátíme a obě strany rovnice upravíme tak, že je vydělíme ρH2O a tím získáme V2.

    \[V_{2}=\frac{m_{o}}{\rho_{H_{2}O}}\tag{8}\]

     

    Želva vytlačí objem V3

    \[V_{3}=\frac{m_{z}}{\rho_{z}},\tag{9}\]

     kde ρz je hustota želvy.

     

    Celkově vytlačí ostrůvek a želva objem Vc, pro který platí:

    \[V_{c}=V_{2}+V_{3}\,.\]

    Dle (8) a (9) dostáváme:

    \[V_{c}=\frac{m_{o}}{\rho_{H_{2}O}}+\frac{m_{z}}{\rho_{z}}\,.\tag{10}\]

     

    Porovnání celkového vytlačeného objemu v prvním a ve druhém případě:

    Porovnáme vztah (7) se vztahem (10).

    \[V_{1}=\frac{m_{o}}{\rho_{H_{2}O}} + \frac{m_{z}}{\rho_{H_{2}O}}\] \[V_{c}=\frac{m_{o}}{\rho_{H_{2}O}}+\frac{m_{z}}{\rho_{z}}\]

    Hustota želvy je větší než hustota vody \(\rho_{z}\gt\rho_{H_{2}O}\,.\)

    Ve vzorci (10) je pak člen  \(\frac{m_{z}}{\rho_{z}}\) menší než člen \(\frac{m_{z}}{\rho_{H_{2}O}}\) ve vztahu (7).

    Proto je \(V_{c}\lt\ V_{1}\) a z toho důvodu hladina vody klesne.

  • Odpověď

    Objem, který vytlačí želva a ostrůvek ve druhém případě je menší než v prvním případě, proto hladina vody klesne.

Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha na zjišťování vztahu mezi fakty
Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
×Původní zdroj: Bakalářská práce Michaely Jungové (2013).
Zaslat komentář k úloze