Sbírka řešených úloh

Šíp a rotující kolo

Úloha číslo: 214

Kolo s osmi loukotěmi (viz obr.) má poloměr 30 cm. Je upevněno na pevné ose a otáčí se s frekvencí 2,5 otáčky za sekundu. Chlapci střílejí z luku ve směru osy kola a snaží se, aby šíp volně prolétl mezerou. Délka šípu je 20 cm. Pro jednoduchost předpokládejme, že šíp i loukotě jsou zanedbatelně tenké.

a) Určete nejmenší možnou rychlost šípu.

b) Zjistěte, zda je rozhodující, do kterého místa mezi osou kola a jeho obvodem šíp míří. Pokud ano, určete, kam mají chlapci mířit.

• Zápis

  r = 30 cm	poloměr kola
  f = 2,5 Hz	frekvence otáčení kola
  l = 20 cm = 0,2 m	délka šípu
  v = ?	nejmenší možná rychlost šípu

• Nápověda 1 – nejmenší možná rychlost šípu

  Rozmyslete si, na čem závisí, zda šíp proletí čistě nebo zda se dotkne loukotě.

• Řešení nápovědy 1 – nejmenší možná rychlost šípu

  Šíp se dotkne loukotě, pokud doba jeho průletu bude delší než doba pootočení kola mezi dvěma loukotěmi.

  Nejtěsnější možný čistý průlet nastane, pokud šíp proletí mezerou mezi loukotěmi tak, aby se jeho špička skoro dotýkala jedné loukotě a jeho pera té následující.

• Nápověda 2 – nejmenší možná rychlost šípu

  Rozmyslete si jak dlouho trvá kolu, než se otočí o úhel mezi dvěma loukotěmi.

  Pomocí této doby spočítejte hledanou rychlost šípu.

• Řešení nápovědy 2 – nejmenší možná rychlost šípu

  Šíp má na průlet mezi dvěma loukotěmi čas dlouhý jednu osminu periody otáčení kola, protože kolo se celé otočí během jedné periody (T) a loukotě rozdělují kolo na osm částí. Protože frekvence otáčení kola je převrácená hodnota periody, platí pro hledanou dobu:

  \[t\,=\,\frac{T}{8}\,=\,\frac{1}{8f}\, .\]

  K určení hledané rychlosti využijeme čas určený výše a délku šípu, což je dráha, kterou šíp musí urazit. Pro rychlost šípu tedy musí platit:

  \[v\,=\,\frac{l}{t}\,=\,8fl\,.\]

  Číselně:

  \[v\,=\,\left( 8\,\cdot\,2{,}5\,\cdot\,0{,}2\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,=\,4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,.\]

• Nápověda 3

  Rozmyslete si, o jaký úhel se za danou dobu otočí jednotlivé body kola, které jsou různě vzdáleny od středu.

• Řešení nápovědy 3

  Všechny body kola mají stejnou úhlovou rychlost, tedy za danou dobu urazí stejný úhel. Proto je jedno, kam chlapci střílejí.

• Řešení

  a) Určení rychlosti šípu

  Šíp se dotkne loukotě, pokud doba jeho průletu bude delší než doba otočení kola mezi dvěma loukotěmi.

  Nejtěsnější možný čistý průlet nastane, pokud šíp proletí mezerou mezi loukotěmi tak, aby se jeho špička skoro dotýkala jedné loukotě a jeho pera té následující.

  Šíp má na průlet mezi dvěma loukotěmi čas dlouhý jednu osminu periody otáčení kola, protože kolo se celé otočí během jedné periody (T) a loukotě rozdělují kolo na osm částí. Protože frekvence otáčení kola je převrácená hodnota periody, platí pro hledanou dobu:

  \[t\,=\,\frac{T}{8}\,=\,\frac{1}{8f}\,.\]

  K určení hledané rychlosti využijeme čas určený výše a délku šípu, což je dráha, kterou šíp musí urazit. Pro rychlost šípu tedy musí platit:

  \[v\,=\,\frac{l}{t}\,=\,8fl\,=\, \left( 8\,\cdot\,2{,}5\,\cdot\,0{,}2\right)\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\,=\,4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}} .\]  

  b) Kam mají chlapci mířit

  Všechny body kola mají stejnou úhlovou rychlost, tedy za danou dobu urazí stejný úhel. Proto je jedno, kam chlapci střílejí.

• Odpověď

  a) \(v\,=\,8fl\,=\,4\,\mathrm{m\cdot s^{-1}}\)

  Aby šíp proletěl mezi dvěma loukotěmi kola, musí mít rychlost alespoň 4 m·s⁻¹.

  b) Místo, kam chlapci střílí, není rozhodující.