Hydraulický lis

Úloha číslo: 1001

Obsahy průřezů válců hydraulického lisu jsou 20 cm2 a 800 cm2. Na menší píst působí síla o velikosti 100 N. Určete:

  1. Tlak, který tato síla vyvolá v kapalině.
  2. Velikost tlakové síly působící na větší píst.
  3. Dráhu, o kterou se posune větší píst, jestliže se menší píst posune o 8 cm.
  4. Práci, kterou při tomto posunutí vykoná tlaková síla.
Hydraulický lis
  • Zápis

    S1 = 20 cm2 = 2·10−3 m2 obsah plochy průřezu menšího válce
    S2 = 800 cm2 = 8·10−2 m2 obsah plochy průřezu většího válce
    F1 = 100 N síla působící na menší píst
    s1 = 8 cm = 8·10−2 m posunutí menšího pístu
    p = ? tlak vyvolaný silou F1 v kapalině
    F2 = ? tlaková síla na větší píst
    s2 = ? posunutí většího pístu
    W = ? práce vykonaná tlakovou silou
  • Nápověda 1 (k části a.)

    Jak je definován tlak? K výpočtu využijte definičního vztahu.

  • Nápověda 2 (k části b.)

    Tlak v kapalině, určený v předchozím výpočtu, je způsoben vnější silou F1. Znáte poučku, která říká, jak je to s velikostí tlaku způsobeného vnější silou v různých částech objemu kapaliny?

  • Nápověda 3 (k části b.)

    Pomocí Pascalova zákona a definice tlaku určete tlakovou sílu F2 (předpokládáme, že také ona má směr kolmý k ploše pístu).
  • Nápověda 4 (k části c.)

    Jakou vlastnost kapalin vlastně hydraulický lis při své práci využívá? Kterou fyzikální veličinu kapaliny (na rozdíl třeba od plynů) při mechanických dějích nemění?

  • Nápověda 5 (k části c.)

    O jaký objem se zmenší prostor pro kapalinu ve válci s menším pístem, posuneme-li ho o dráhu s1 (směrem „do kapaliny“)? Stejný objem se zjevně musí (vzhledem k nestlačitelnosti kapalin) „uprázdnit“ ve válci s větším pístem - odtud určete posunutí většího válce.

  • Nápověda 6 (k části d.)

    Vyjděte z definice mechanické práce. Je podstatné, zda budeme počítat práci tlakových sil na menší nebo na větší píst?

  • Celkové řešení

    Část a.:

    Tlak p je definován jako podíl síly F, která působí kolmo na plochu o obsahu S (není-li jinak uvedeno, obvykle předpokládáme právě kolmé působení síly na plochu). V našem případě jde o sílu F1 a obsah plochy menšího pístu S1, tedy:

    \[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{100}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,=\,50\,\mathrm{kPa}\,.\]
    Část b.:

    Výše určený tlak v kapalině je způsoben vnější silou o velikosti F1. Podle Pascalova zákona je tlak vyvolaný vnější silou ve všech místech kapaliny stejný. Lze jej tedy vyjádřit nejen jako v části a., ale také pomocí plochy velkého pístu a síly na ni působící:

    \[p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.\]

    Odtud vyjádříme a číselně dopočítáme tlakovou sílu F2:

    \[F_2\,=\,F_1\frac{S_2}{S_1}\,=\,100\,\frac{8{\cdot}10^{-2}}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{N}\,=\,4\,\mathrm{kN}\,.\]
    Část c.:

    V případě hydraulického lisu využíváme fakt, že kapaliny jsou prakticky nestlačitelné (uvažujeme dokonce ideální nestlačitelnost) a zachovávají si tedy svůj objem. (Neuvažujeme-li teplotní roztažnost apod.) Posunutím menšího pístu s obsahem plochy S1 o dráhu s1 (směrem „do kapaliny“) se ve válci s tímto pístem zmenší objem kapaliny o ΔV.

    O stejný objem se musí zvětšit objem kapaliny ve válci s velkým pístem, který má plochu S2 a posune se o dráhu s2.

    Objem ΔV určíme v obou případech jako objem válce, vynásobíme tedy obsah podstavy „výškou“, tj. posunutím:

    \[{\Delta}V\,=\,S_1s_1\,=\,S_2s_2\,.\]

    Odtud vyjádříme posunutí s2 jako:

    \[s_2\,=\,s_1\,\frac{S_1}{S_2}\,.\]

    Číselně:

    \[s_2\,=\,8{\cdot}10^{-2}{\cdot}\,\frac{2{\cdot}10^{-3}}{8{\cdot}10^{-2}}\,\mathrm{m}\,=\,2\,\mathrm{mm}\,.\]
    Část d.:

    Mechanická práce je v případě konstantní síly působící ve směru posunutí definována jako součin této konstantní síly F a posunutí s. V našem případě tedy půjde o posunutí malého pístu silou F1 o dráhu s1 nebo o posunutí velkého pístu silou F2 o dráhu s2. Výpočtem lze ukázat, že vykonaná práce je v obou případech stejná. Tedy:

    \[W\,=\,F_1s_1\,=\,100{\cdot}8{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.\]

    A také:

    \[W\,=\,F_2s_2\,=\,4000{\cdot}2{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.\]
  • Odpověď

    1. Síla o velikosti 100 N vyvolává v kapalině tlak 50 kPa.
    2. Na větší píst působí tlaková síla o velikosti 4 kN.
    3. Velký píst se posune o 2 mm.
    4. Tlaková síla vykoná práci 8 J.
Úroveň náročnosti: Úloha vhodná pro studenty střední školy
Úloha rutinní
Multimediální encyklopedie fyziky
Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ
sdělovací techniky Praha
×Původní zdroj: Jaroslav Reichl, Sbírka příkladů z fyziky pro 1. ročník, SPŠ sdělovací techniky Praha
Zaslat komentář k úloze