Sbírka řešených úloh

Hydraulický lis

Úloha číslo: 1001

Obsahy průřezů válců hydraulického lisu jsou 20 cm² a 800 cm². Na menší píst působí síla o velikosti 100 N. Určete:

1. Tlak, který tato síla vyvolá v kapalině.
2. Velikost tlakové síly působící na větší píst.
3. Dráhu, o kterou se posune větší píst, jestliže se menší píst posune o 8 cm.
4. Práci, kterou při tomto posunutí vykoná tlaková síla.

• Zápis

  S1 = 20 cm2 = 2·10−3 m2	obsah plochy průřezu menšího válce
  S2 = 800 cm2 = 8·10−2 m2	obsah plochy průřezu většího válce
  F1 = 100 N	síla působící na menší píst
  s1 = 8 cm = 8·10−2 m	posunutí menšího pístu
  p = ?	tlak vyvolaný silou F1 v kapalině
  F2 = ?	tlaková síla na větší píst
  s2 = ?	posunutí většího pístu
  W = ?	práce vykonaná tlakovou silou

• Nápověda 1 (k části a.)

  Jak je definován tlak? K výpočtu využijte definičního vztahu.

• Řešení nápovědy 1

  Tlak p je definován jako podíl síly F, která působí kolmo na plochu o obsahu S (není-li jinak uvedeno, obvykle předpokládáme právě kolmé působení síly na plochu). V našem případě jde o sílu F₁ a obsah plochy menšího pístu S₁, tedy:

  $$p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{100}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,=\,50\,\mathrm{kPa}\,.$$

• Nápověda 2 (k části b.)

  Tlak v kapalině, určený v předchozím výpočtu, je způsoben vnější silou F₁. Znáte poučku, která říká, jak je to s velikostí tlaku způsobeného vnější silou v různých částech objemu kapaliny?

• Řešení nápovědy 2

  Podle tzv. Pascalova zákona je tlak vyvolaný vnější silou ve všech místech kapaliny stejný.

• Nápověda 3 (k části b.)

  Pomocí Pascalova zákona a definice tlaku určete tlakovou sílu F₂ (předpokládáme, že také ona má směr kolmý k ploše pístu).

• Řešení nápovědy 3

  Jestliže je podle Pascalova zákona tlak v kapalině vyvolaný vnější silou ve všech jejích místech stejný, lze jej vyjádřit nejen jako v části a., ale také pomocí plochy velkého pístu a síly na ni působící:

  $$p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.$$

  Odtud vyjádříme a číselně dopočítáme tlakovou sílu F₂:

  $$F_2\,=\,F_1\frac{S_2}{S_1}\,=\,100\,\frac{8{\cdot}10^{-2}}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{N}\,=\,4\,\mathrm{kN}\,.$$

• Nápověda 4 (k části c.)

  Jakou vlastnost kapalin vlastně hydraulický lis při své práci využívá? Kterou fyzikální veličinu kapaliny (na rozdíl třeba od plynů) při mechanických dějích nemění?

• Řešení nápovědy 4

  V případě hydraulického lisu využíváme fakt, že kapaliny jsou prakticky nestlačitelné (uvažujeme dokonce ideální nestlačitelnost). Kapaliny si tedy zachovávají svůj objem. (Neuvažujeme teplotní roztažnost apod.)

• Nápověda 5 (k části c.)

  O jaký objem se zmenší prostor pro kapalinu ve válci s menším pístem, posuneme-li ho o dráhu s₁ (směrem „do kapaliny“)? Stejný objem se zjevně musí (vzhledem k nestlačitelnosti kapalin) „uprázdnit“ ve válci s větším pístem – odtud určete posunutí většího válce.

• Řešení nápovědy 5

  Posunutím menšího pístu s obsahem plochy S₁ o dráhu s₁ (směrem „do kapaliny“) se ve válci s tímto pístem zmenší objem kapaliny o ΔV.

  O stejný objem se musí zvětšit objem kapaliny ve válci s velkým pístem, který má plochu S₂ a posune se o dráhu s₂.

  Objem ΔV určíme v obou případech jako objem válce, vynásobíme tedy obsah podstavy „výškou“, tj. posunutím:

  $${\Delta}V\,=\,S_1s_1\,=\,S_2s_2\,.$$

  Odtud vyjádříme posunutí s₂ jako:

  $$s_2\,=\,s_1\,\frac{S_1}{S_2}\,.$$

  Číselně:

  $$s_2\,=\,8{\cdot}10^{-2}{\cdot}\,\frac{2{\cdot}10^{-3}}{8{\cdot}10^{-2}}\,\mathrm{m}\,=\,2\,\mathrm{mm}\,.$$

• Nápověda 6 (k části d.)

  Vyjděte z definice mechanické práce. Je podstatné, zda budeme počítat práci tlakových sil na menší nebo na větší píst?

• Řešení nápovědy 6

  V případě, že je působící síla konstantní a působí ve směru posunutí, můžeme mechanickou práci spočítat jako součin této konstantní síly F a posunutí s. V našem případě tedy půjde o posunutí malého pístu silou F₁ o dráhu s₁ nebo o posunutí velkého pístu silou F₂ o dráhu s₂. Výpočtem lze ukázat, že vykonaná práce je v obou případech stejná. Tedy:

  $$W\,=\,F_1s_1\,=\,100{\cdot}8{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.$$ A také: $$W\,=\,F_2s_2\,=\,4000{\cdot}2{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.$$

• Celkové řešení

  Část a.:

  Tlak p je definován jako podíl síly F, která působí kolmo na plochu o obsahu S (není-li jinak uvedeno, obvykle předpokládáme právě kolmé působení síly na plochu). V našem případě jde o sílu F₁ a obsah plochy menšího pístu S₁, tedy:

  $$p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{100}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{Pa}\,=\,50\,\mathrm{kPa}\,.$$
  Část b.:

  Výše určený tlak v kapalině je způsoben vnější silou o velikosti F₁. Podle Pascalova zákona je tlak vyvolaný vnější silou ve všech místech kapaliny stejný. Lze jej tedy vyjádřit nejen jako v části a., ale také pomocí plochy velkého pístu a síly na ni působící:

  $$p\,=\,\frac{F_1}{S_1}\,=\,\frac{F_2}{S_2}\,.$$

  Odtud vyjádříme a číselně dopočítáme tlakovou sílu F₂:

  $$F_2\,=\,F_1\frac{S_2}{S_1}\,=\,100\,\frac{8{\cdot}10^{-2}}{2{\cdot}10^{-3}}\,\mathrm{N}\,=\,4\,\mathrm{kN}\,.$$
  Část c.:

  V případě hydraulického lisu využíváme fakt, že kapaliny jsou prakticky nestlačitelné (uvažujeme dokonce ideální nestlačitelnost) a zachovávají si tedy svůj objem. (Neuvažujeme-li teplotní roztažnost apod.) Posunutím menšího pístu s obsahem plochy S₁ o dráhu s₁ (směrem „do kapaliny“) se ve válci s tímto pístem zmenší objem kapaliny o ΔV.

  O stejný objem se musí zvětšit objem kapaliny ve válci s velkým pístem, který má plochu S₂ a posune se o dráhu s₂.

  Objem ΔV určíme v obou případech jako objem válce, vynásobíme tedy obsah podstavy „výškou“, tj. posunutím:

  $${\Delta}V\,=\,S_1s_1\,=\,S_2s_2\,.$$

  Odtud vyjádříme posunutí s₂ jako:

  $$s_2\,=\,s_1\,\frac{S_1}{S_2}\,.$$

  Číselně:

  $$s_2\,=\,8{\cdot}10^{-2}{\cdot}\,\frac{2{\cdot}10^{-3}}{8{\cdot}10^{-2}}\,\mathrm{m}\,=\,2\,\mathrm{mm}\,.$$
  Část d.:

  Mechanická práce je v případě konstantní síly působící ve směru posunutí definována jako součin této konstantní síly F a posunutí s. V našem případě tedy půjde o posunutí malého pístu silou F₁ o dráhu s₁ nebo o posunutí velkého pístu silou F₂ o dráhu s₂. Výpočtem lze ukázat, že vykonaná práce je v obou případech stejná. Tedy:

  $$W\,=\,F_1s_1\,=\,100{\cdot}8{\cdot}10^{-2}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.$$

  A také:

  $$W\,=\,F_2s_2\,=\,4000{\cdot}2{\cdot}10^{-3}\,\mathrm{J}\,=\,8\,\mathrm{J}\,.$$

• Odpověď

  1. Síla o velikosti 100 N vyvolává v kapalině tlak 50 kPa.
  2. Na větší píst působí tlaková síla o velikosti 4 kN.
  3. Velký píst se posune o 2 mm.
  4. Tlaková síla vykoná práci 8 J.